旋转矩阵公式推导

　　
　　1.在二维平面中：如下图所示，在 xoy  平面中有一向量 op⃗=(x,y) T   ，旋转 ϕ  角后变为向量 op⃗ ′ =(x ′ ,y ′ ) T   。
　　

　　据图可得： x=|op⃗|cosθ；y=|op⃗|sinθ  ，经旋转 ϕ  角后有:
　　 x ′ =|op⃗|cos(θ+ϕ)=|op⃗|(cosθcosϕ−sinθsinϕ)=xcosϕ−ysinϕ 
　　 y ′ =|op⃗|sin(θ+ϕ)=|op⃗|(sinθcosϕ+cosθsinϕ)=xsinϕ+ycosϕ； 
写成矩阵形式：
　　 (x ′ y ′  )=(cosϕsinϕ −sinϕcosϕ )(xy ) 
　　2.在三维空间中：如下图所示，若以坐标系的三个坐标轴X、Y、Z分别作为旋转轴，则点实际上只在垂直坐标轴的平面上作二维旋转。

　　例： op⃗  绕X轴旋转 ϕ  角，有：
旋转前：
旋转后：
写成矩阵形式：
则绕X轴旋ϕ角的旋转矩阵为： R x (ϕ)=（100 0cosϕ−sinϕ 0sinϕcosϕ ） 
同理可得绕X、Y、Z轴旋转的不同角度的旋转矩阵（方向余弦矩阵）分别为：

　　最后，若 op⃗  绕某一定轴旋转，从欧拉定律中可知，绕着固定轴做一个角值的旋转，可以被视为分别以坐标系的三个坐标轴X、Y、Z作为旋转轴的旋转的叠加。