LU分解是指将一个 NxN 矩阵 A 分解为一个上三角矩阵 U 和下三角矩阵 L 的过程， 即： ＬU＝Ａ。
比如我们可以将一个 ３ｘ３ 矩阵分解为：
如果我们需要求解方程 Ax = b，即求解 ＬU x = b。 那么令 Ux = y， 即求解 Ly=b， 得到y。接着求解Ux=y，得到x。由于L和U都是三角矩阵，极易使用追赶法得到解。在实际使用中，通常为了防止在分解过程中产生主元为零的情况，我们会带一个排列矩阵 P， 即： PA = LU。
我们还可以使用LU分解来求矩阵的逆：设 A的逆为B， 那么 AB = I 即 A [b1, b2, …,bN] = [e1, e2, …,eN]
也就是说 A bj = ej； 其中 j = 1, 2, …, N。那么我们只有使用上面的解方程法解N次就可以求出逆矩阵的N列。
另外就是可以用来求行列式的值即det(A) = det(LU) = det(L)det(U).
下面我给出一个C++版本的实现：
/*
* Decompose matrix: PA=LU
*
*/
template< int M>
bool LUDecomposition::decompose(const Matrix &matrix,
Matrix &ll,
Matrix &uu,
int pivot[M])
{
uu = matrix;
ll.identity();
for (int iRow=0; iRow
bool LUDecomposition::solve(const Matrix &ll,
const Matrix &uu,
float bb[M],
float xx[M])
{
// first, let y=Ux, solve Ly=b
float yy[M];
for (int ii=0; ii< M; ++ii)
{
yy[ii] = bb[ii];
for(int jj=0; jj=0; --ii)
{
if (almostZero(uu(ii, ii)))
return false;
xx[ii] = yy[ii];
for (int jj=ii+1; jj