Logistic回归、传统多层神经网络
1.1 线性回归、线性神经网络、Logistic/Softmax回归
线性回归是用于数据拟合的常规手段，其任务是优化目标函数：$h(\theta )=\theta+\theta_{1}x_{1}+\theta_{2}x_{2}+....\theta_{n}x_{n}$
线性回归的求解法通常为两种：
①解优化多元一次方程（矩阵）的传统方法，在数值分析里通常被称作”最小二乘法"，公式$\theta=(X^{T}X)^{-1}X^{T}Y$
②迭代法：有一阶导数（梯度下降）优化法、二阶导数（牛顿法）。
方程解法局限性较大，通常只用来线性数据拟合。而迭代法直接催生了用于模式识别的神经网络诞生。
最先提出Rosenblatt的感知器，借用了生物神经元的输入-激活-传递输出-接受反馈-矫正神经元的模式，将数学迭代法抽象化。
并且在线性回归输出的基础上，添加了输出校正，通常为阶跃函数，将回归的数值按正负划分。
为了计算简单，此时梯度下降优化法被广泛采用，梯度优化具有计算廉价，但是收敛慢的特点（一次收敛，而牛顿法是二次收敛)。
为了应对精确的分类问题，基于判别概率模型$P(Y|X)$被提出，阶跃输出被替换成了广义的概率生成函数Logistic/Softmax函数，从而能平滑生成判别概率。
这三个模型，源于一家，本质都是对输入数据进行线性拟合/判别，当然最重要的是，它们的目标函数是多元一次函数，是凸函数。
1.2 双层经典BP神经网络
由Hinton协提出多层感知器结构、以及Back-Propagation训练算法，在80年代~90年代鼎盛一时。
经过近20年，即便是今天，也被我国各领域的CS本科生、研究生，其他领域（如机械自动化）学者拿来吓唬人。
至于为什么是2层，因为3层效果提升不大，4层还不如2层，5层就太差了。[Erhan09]
这是让人大跌眼镜的结果，神经网络，多么高大上的词，居然就两层，这和生物神经网络不是差远了？
所以在90年代后，基于BP算法的MLP结构被机器学习界遗弃。一些新宠，如决策树/Boosing系、SVM、RNN、LSTM成为研究重点。
1.3 多层神经网络致命问题：非凸优化
这个问题得从线性回归一族的初始化Weight说起。线性家族中，W的初始化通常被置为0。
如果你曾经写过MLP的话，应该犯过这么一个错误，将隐层的初始化设为0。
然后，这个网络连基本的异或门函数[参考]都难以模拟。先来看看，线性回归和多层神经网络的目标函数曲面差别。
线性回归，本质是一个多元一次函数的优化问题，设$f(x,y)=x+y$
多层神经网络（层数K=2)，本质是一个多元K次函数优化问题，设$f(x,y)=xy$
值得一提的是，SVM是个K=2的神经网络，但是Vapnik转换了目标函数，将二次优化变成了二次规划。
相对于盲目搜索的优化问题，规划问题属于凸优化，容易搜到精确解。但是缺陷是，没人能将三次优化变成三次规划。
也就是说，K>=3的神经网络，如果训练到位，是可以轻松超越SVM的。
在线性回归当中，从任意一个点出发搜索，最终必然是下降到全局最小值附近的。所以置0也无妨。
而在多层神经网络中，从不同点出发，可能最终困在（stuck）这个点所在的最近的吸引盆（basin of attraction）。[Erhan09, Sec 4.2]
吸引盆一词非常蹩脚，根据百度的解释：它像一个汇水盆地一样,把处于山坡上的雨水都集中起来,使之流向盆底。
其实就是右图凹陷的地方，使用梯度下降法，会不自觉的被周围最近的吸引盆拉近去，达到局部最小值。此时一阶导数为0。从此训练停滞。
局部最小值是神经网络结构带来的挥之不去的阴影，随着隐层层数的增加，非凸的目标函数越来越复杂，局部最小值点成倍增长。[Erhan09, Sec 4.1]
因而，如何避免一开始就吸到一个倒霉的超浅的盆中呢，答案是权值初始化。为了统一初始化方案，通常将输入缩放到$[-1,1]$
经验规则给出，$W\sim Uniform(-\frac{1}{\sqrt{N}},\frac{1}{\sqrt{N}})$，Uniform为均匀分布。
Bengio组的Xavier在2010年推出了一个更合适的范围，能够使得隐层Sigmoid系函数获得最好的激活范围。[Glorot10]
对于Log-Sigmoid： $[-4*\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{LayerInput+LayerOut}},4*\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{LayerInput+LayerOut}}]$
对于Tanh-Sigmoid： $[\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{LayerInput+LayerOut}},\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{LayerInput+LayerOut}}]$
这也是为什么多层神经网络的初始化隐层不能简单置0的原因，因为0很容易陷进一个非常浅的吸引盆，意味着局部最小值非常大。
糟糕的是，随机均匀分布尽管获得了一个稍微好的搜索起点，但是却又更高概率陷入到一个稍小的局部最小值中。[Erhan10, Sec 3]
所以，从本质上来看，深度结构带来的非凸优化仍然不能解决，这限制着深度结构的发展。
1.4 多层神经网络致命问题：Gradient Vanish
这个问题实际上是由激活函数不当引起的，多层使用Sigmoid系函数，会使得误差从输出层开始呈指数衰减。见[ReLu激活函数]
因而，最滑稽的一个问题就是，靠近输出层的隐层训练的比较好，而靠近输入层的隐层几乎不能训练。
以5层结构为例，大概仅有第5层输出层，第4层，第3层被训练的比较好。误差传到第1、2层的时候，几乎为0。
这时候5层相当于3层，前两层完全在打酱油。当然，如果是这样，还是比较乐观的。
但是，神经网络的正向传播是从1、2层开始的，这意味着，必须得经过还是一片混乱的1、2层。（随机初始化，乱七八糟)
这样，无论你后面3层怎么训练，都会被前面两层给搞乱，导致整个网络完全退化，真是连鸡肋都不如。
幸运的是，这个问题已经被Hinton在2006年提出的逐层贪心预训练权值矩阵变向减轻，最近提出的ReLu则从根本上提出了解决方案。
2012年，Hinton组的Alex Krizhevsky率先将受到Gradient Vanish影响较小的CNN中大规模使用新提出的ReLu函数。
2014年，Google研究员贾扬清则利用ReLu这个神器，成功将CNN扩展到了22层巨型深度网络，见知乎。
对于深受Gradient Vanish困扰的RNN，其变种LSTM也克服了这个问题。
1.5 多层神经网络致命问题：过拟合
Bengio在Learning Deep Architectures for AI 一书中举了一个有趣的例子。
他说：最近有人表示，他们用传统的深度神经网络把训练error降到了0，也没有用你的那个什么破Pre-Training嘛！
然后Bengio自己试了一下，发现确实可以，但是是建立在把接近输出层的顶隐层神经元个数设的很大的情况下。
于是他把顶隐层神经元个数限到了20，然后这个模型立马露出马脚了。
无论是训练误差、还是测试误差，都比相同配置下的Pre-Training方法差许多。
也就是说，顶层神经元在对输入数据直接点对点记忆，而不是提取出有效特征后再记忆。
这就是神经网络的最后一个致命问题：过拟合，庞大的结构和参数使得，尽管训练error降的很低，但是test error却高的离谱。
过拟合还可以和Gradient Vanish、局部最小值混合三打，具体玩法是这样的：
由于Gradient Vanish，导致深度结构的较低层几乎无法训练，而较高层却非常容易训练。
较低层由于无法训练，很容易把原始输入信息，没有经过任何非线性变换，或者错误变换推到高层去，使得高层解离特征压力太大。
如果特征无法解离，强制性的误差监督训练就会使得模型对输入数据直接做拟合。
其结果就是，A Good Optimation But a Poor Generalization，这也是SVM、决策树等浅层结构的毛病。
Bengio指出，这些利用局部数据做优化的浅层结构基于先验知识（Prior）: Smoothness
即，给定样本$(x_{i},y_{i})$，尽可能从数值上做优化，使得训练出来的模型，对于近似的x，输出近似的y。
然而一旦输入值做了泛型迁移，比如两种不同的鸟，鸟的颜色有别，且在图像中的比例不一，那么SVM、决策树几乎毫无用处。
因为，对输入数据简单地做数值化学习，而不是解离出特征，对于高维数据（如图像、声音、文本），是毫无意义的。
然后就是最后的事了，由于低层学不动，高层在乱学，所以很快就掉进了吸引盆中，完成神经网络三杀。
特征学习与Pre-Training
2.1 Local Represention VS Distrubuted Represention
经典的使用Local Represention算法有：
①在文本中常用的：One-Hot Represention，这种特征表达方式只是记录的特征存在过，
而不能体现特征之间的关联（ 比如从语义、语法、关联性上）。且特征表示过于稀疏，带来维数灾难。
②高斯核函数：看起来要高明一些，它将输入悬浮在核中心，按照距离远近来决定哪些是重要的，哪些是不重要的。
将特征转化成了连续的数值，避免了表达特征需要的维数过高。但是正如KNN一样，片面只考虑重要的，忽视不重要的，
会导致较差的归纳能力，而对于高度特征稠密的数据（如图像、声音、文本），则可能都无法学习。
③簇聚类算法：将输入样本划分空间，片面提取了局部空间特征，导致较差的归纳能力。
④决策树系：同样的将输入样本划分空间问题。
以上，基本概括了数据挖掘十大算法中核心角色，这说明，数据挖掘算法基本不具备挖掘深度信息的能力。
相比之下，处理经过人脑加工过的统计数据，则更加得心应手。
因而，模式识别与数据挖掘的偏重各有不同，尽管都属于机器学习的子类。
为了提取出输入样本模式中的泛型关联特征，一些非监督学习算法在模式识别中被广泛使用，如PCA、ICA。
PCA的本质是：$[Input]=>(Decompose)[Output]*[LinearBase]$。
即线性分解出特征向量，使得输入->输出之间做了一层线性变换，有用的关联特征信息被保留，相当于做了一个特征提取器。
分解出来的特征称之为Distrubuted Represention，NLP中词向量模型同样属于这类特征。
而RBM、AutoEncoder的本质是：$[Input]=>(Decompose)[Output]*[Non-LinearBase]$。
显而易见，非线性变换要比线性变换要强大。
2.2 判别模型与生成模型
这是个经典问题，非监督学习的生成模型$P(X)$和监督学习的判别模型$P(Y|X)$之间的关系，到底是亲兄弟，还是世仇呢？
这个问题目前没有人能给出数学上解释，但是从生物学上来讲，肯定是关系很大的。
尽管CNN目前取得了很大的成功，但是也带来的很大忧虑，[知乎专栏]的评论区，看到有人这么评论：
Ng说，你教一个小孩子认一个苹果，是不会拿几百万张苹果的图给他学的。
如果两者之间没有关系，那么$P(X)$初始化得出的参数，会被之后$P(Y|X)$改的一团糟，反之，则只是被$P(Y|X)$进行小修小改。
Hinton在DBN(深信度网络)中，则是利用此假设，提出了逐层贪心初始化的方法，进行实验：
①Stage 1：先逐层用RBM使得参数学习到有效从输入中提取信息。进行生成模型$P(X)$。(Pre-Training)。
②Stage 2: 利用生成模型得到的参数作为搜索起点，进行判别模型$P(Y|X)$。(Fine-Tuning)。
[Erhan10 Sec6.4]将Stage1、Stage2、纯监督学习三种模型训练到完美之后的参数可视化之后，是这个样子：
可以看到，由于Gradient Vanish影响，较高层比较低层有更大的变动。
但是从整体上，Fine-Tuning没有太大改变Pre-Training的基础，也就是说$P(Y|X)$的搜索空间是可以在$P(X)$上继承的。
2.3 殊途同归的搜索空间
神经网络的目标函数到底有多复杂，很难去描述，大家只知道它是超级非凸的，超级难优化。
但是，带来的一个好处就是，搜索到终点时，可能有几百万个出发起点，几百万条搜索路径，路径上的权值有几百万种组合。
[Erhan09 Sec4.6]给出了基于Pre-Training和非Pre-Training的各400组随机初始化W，搜索输出降维后的图示，他指出：
①Pre-Training和非Pre-Training的模型参数，在搜索空间中，从不同点出发，最后停在了不同的搜索空间位置。
②散开的原因，是由于陷入的吸引盆的局部最小值中，明显不做Pre-Training，散开的范围更广，说明非常危险。
可以看到，尽管两种模型取得了近似的train error和test error，但是搜索空间是完全不同的，参数形成也不同的。
从图论的网络流角度，多层神经网络，构成了一个复杂的有向无环流模型：
原本最大流模型下，每个结点的流量就有不同解。但是神经网络的要求的流是近似流，也就是说，近似+不同衍生出更多不同的解。
目前关于Pre-Training的最好的理解是，它可以让模型分配到一个很好的初始搜索空间，按照[Erhan09, Sec 4.2]中说法：
The advantage of pre-training could be that it puts us in a region of parameter space
where basins of attraction run deeper than when picking starting parameters
at random. The advantage would be due to a better optimization.
来自Bengio的采访稿的一段，~Link~
通常来讲，我所知道的模型都会受到不可计算性的影响（至少从理论上看，训练过程非常困难）。
SVM之类的模型不会受到此类影响，但是如果你没有找到合适的特征空间，这些模型的普适性会受到影响。
（寻找是非常困难的，深度学习正是解决了寻找特征空间的问题）。
从Bengio的观点来看，Pre-Training带来的搜索空间，不仅有更好的计算（Optimation）性，还有更好的普适（Generalization）性。
2.4 特殊的特征学习模型——卷积神经网络
CNN经过20年发展，已经是家喻户晓了，即便你不懂它的原理，你一样可以用强大的Caffe框架做一些奇怪的事情。
Bengio指出，CNN是一种特殊的神经网络，参数少，容易层叠出深度结构。
最重要的是，它根据label，就能有效提取出稀疏特征，将其卷积核可视化之后，居然达到了近似生成模型的效果，确实可怕。
（CNN第一层卷积核可视化 by AlexNet） （DBN第二层可视化)
上面是对自然图片的学习结果，Hinton指出，自然图片的参数可视化后，应该近似Gabor特征。
CNN的强大，归结起来有四大创新点：
①块状神经元局部连接：CNN的神经元比较特殊，它是一个2D的特征图，这意味着每个像素点之间是没有连接的。
全连接的只是特征图，特征图是很少的。由于这种特殊的连接方式，使得每个神经元连接着少量上一层经过激活函数的神经元。
减轻了Gradient Vanish问题。使得早期CNN在非ReLU激活情况下，就能构建不退化的深度结构。
其中，降采样层、为非全连接的"虚层"，也就是说，真正构成压力的只有卷积层。
Hinton的Dropout观点来看，块状神经元使得一个卷积核在一张feature map中固定学习一部分输入，而不依赖全部输入。
这是为什么卷积核的可视化效果较好的原因。因为它模仿出了输入的局部特征。
左图是FC网络非Dropout，右图是Dropout。[Hinton12]
②参数权值共享: 直观上理解是一个小型卷积核（如5x5)在30x30的图上扫描，30x30像素用的都是5x5参数。
实际原因是1D连接变成了2D连接，原来的点对点参数现在变成了块对块参数，且卷积核块较小。更加容易提取出鲁棒性特征。
当然，局部最小值问题也被减轻，因为参数量的减少，使得目标函数较为简单。
③卷积计算：对比原来的直接点对点乘，卷积方法能快速响应输入中的关键部分。
④降采样计算：添加了部分平移缩放不变性。
Alex Krizhevsky在[Krizhevsky12]对传统CNN提出的几点改进，使得CNN结构变得更加强大：
①将Sigmoid系激活函数全部换成ReLu，这意味着多了稀疏性，以及超深度结构成为可能（如GoogleNet)
②添加局部响应归一化层，在计算神经学上被称作神经元的侧抑制，根据贾扬清说法，暂时似乎没发现有什么大作用。[知乎]
Caffe中之所以保留着，是为了尊敬长辈遗留的宝贵成果。
③弱化FC层神经元数：ReLu使得特征更加稀疏，稀疏特征具有更好的线性可分性。[Glorot11]
这意味着FC层的多余？GoogleNet移除了FC层，根据贾扬清大牛的说法：[知乎]
因为全连接层（Fully Connected）几乎占据了CNN大概90%的参数，但是同时又可能带来过拟合（overfitting）的效果。
这意味着，CNN配SVM完全成为鸡肋的存在，因为FC层+Softmax≈SVM
④为卷积层添加Padding，使得做了完全卷积，又保证维度不会变大。
⑤使用重叠降采样层，并且在重叠降采样层，用Avg Pooling替换Max Pooling（第一仍然是Max Pooling）获得了5%+的精度支持。
⑥使用了Hinton提出的DropOut方法训练，减轻了深度结构带来的过拟合问题。
2.5 Pre-Training
Pre-Training的理论基石是生成模型$P(X)$。
Hinton提出了对比重构的方法，使得参数W可以通过重构，实现$arg\max \limits_{W}\prod_{v\epsilon V } P(v)$
生成模型的好处在于，可以自适应从输入中获取信息，尽管可能大部分都是我们不想要的。
这项专长，可以用来弥补某些模型很难提取特征的不足，比如满城尽是FC的传统全连接神经网络。
FC神经网络最大的缺陷在于很难提取到有用的特征，这点上最直观的反应就是 A Good Optimation But a Poor Generalization。
最近刷微博看到有人贴1993年的老古董[论文]，大概内容就是：
证明神经网络只需1个隐藏层和n个隐藏节点，即能把任意光滑函数拟合到1/n的精度。
然而并没有什么卵用，这是人工智能，不是数学函数模拟。你把训练函数拟合的再好，归纳能力如此之差，仍然会被小朋友鄙视的。
为了证明FC网络和CNN的归纳能力之差，我用了Cifar10数据集做了测试，两个模型都没有加L1/L2。
FC网络：来自[Glorot11]提出了ReLU改进FC网络，预训练：正向ReLU，反向Softplus，数据缩放至[0,1]
网络[1000,1000,1000]，lr三层都是0.01，pre-lr：0.005,0.005,0.0005。
CNN：来自Caffe提供的Cifar10快速训练模型，[参考]
[FC]
| 负似然函数 | 1.69 | 1.55 | 1.49 | 1.44 | 1.32 | 1.25 | 1.16 | 1.07 | 1.05 | 1.00 |
| 验证集错误率 | 55% | 53% | 52% | 51% | 49% | 48% | 49% |
49% | 49% | 49% |
[CNN]
| 负似然函数 | 1.87 | 1.45 | 1.25 | 1.15 | 1.05 | 0.98 | 0.94 | 0.89 | 0.7 | 0.63 |
| 验证集错误率 | 55% | 50% | 44% | 43% | 38% | 37% | 35% |
34% | 32% | 31% |
可以看到，尽管已经做了Pre-Training，在相同似然函数值情况下，FC网络的Generalization能力真是比CNN差太多。
这也是为什么要使用多层网络，而不是1层网络的原因，为了得到更好的归纳。根据人视觉皮层的机理，多层次组合特征。
可以获得更好的归纳效果，而不是就为了那点训练error，那点函数优化拟合。
来自Bengio的采访稿的一段，~Link~
全局逼近器并不会告诉你需要多少个隐含层。对于不确定的函数，增加深度并不会改进效果。
然而，如果函数能够拆分成变量组合的形式，深度能够起到很大作用。
无论从统计意义（参数少所需训练数据就少）来讲，还是从计算意义（参数少，计算量小）来讲。
模式识别三大领域：Speech，CV，NLP都已经被证明了，其高级特征可以由低级特征组合得到。
所以，在这些领域当中，使用深度结构多层叠加低级特征，以获取高级特征，会得到更好的Generalization。
训练error代表着样本的损耗度，一旦error逼近0，那么说明这个数据集已经玩完了。
如果此时仍然Generalization很差，真是神仙也救不了你。
深度学习，真的是很深度嘛？
3.1 DBN & Stack AutoEncoder
先让我们来看看百度词条是怎么解释[深度学习]的：
深度学习的概念由Hinton等人于2006年提出。基于深信度网(DBN)提出非监督贪心逐层训练算法，为解决深层结构相关的优化难题带来希望。
随后提出多层自动编码器深层结构。此外Lecun等人提出的卷积神经网络是第一个真正多层结构学习算法，它利用空间相对关系减少参数数目以提高训练性能。
DBN和SAE是原型结构都是基于FC网络的，使用的训练算法称为 "Greedy Layer-Wise Training”
然而，如果你仔细翻翻DBN和SAE的论文，发现其隐层结构不过就3~4层，和我们理解中的“深度”不知差了多远。
然而，最重要的是，通过Pre-Training之后，也就在FC网络基础上改进2~3%的错误率（Cifar10、MNIST)，
左图来自[Glorot11]，使用比DBN更优良的Stacked Denoising Autoencoder，对于Cifar10和MNIST依然是惨不忍睹。
右图来自[Erhan09, Sec 4.1], 即便Pre-Training，在加上第五隐层之后，网络也开始退化。
看来，FC结构真是祸害不浅，除了很难提取特征外，还给训练带来灾难，和CNN对抗？想得美！
所以说，Pre-Training给 解决深层结构相关的优化难题带来希望 而CNN才是 第一个真正多层结构。
至于基于FC结构的默认DBN和SAE，只能说不要想太多。
3.2 CNN倒是挺深度的
改进CNN在超深度方面确实惊人。[Going deeper with convolutions By GoogleNet]
尽管外界质疑超深度CNN是一种过拟合[知乎专栏],但我们起码离生物神经网络进了一步。
3.3 混合CNN与SDAE
DBN训练比SDAE慢(主要体现在GPU无法生成随机数，反复跑Gibbs Sampling很慢），而SDAE又比DBN效果好。
忘掉俗套的FC结构吧。我们有更先进的CNN结构。
最新进展
来自Hinton、Bengio、Lecun三位大师在Nature杂志AI开版的庆贺科普文[Deep Learning]。
其中提到了现在有不少人正在解决深度结构带来的局部最小值问题。如果数学上能够有突破，
能够有取代梯度下降，而且更加廉价、容易的训练算法，那么恐怕又是一个浪潮之巅。
这三位大师在DL的代表作品分别是，DBN&DBM，SAE&SDAE，CNN。
分别代表着深度学习的三大重镇：多伦多大学（Hinton组）、蒙特利尔大学（Bengio组）、纽约大学（Lecun组）。
还有一个比较容易忽视的大师是 Jürgen Schmidhuber，来自慕尼黑工大。
代表作是1997年提出的LSTM，一种解决了Gradient Vanish的深度RNN结构，在NLP、Speech领域非常火热。
他的学生Alex Graves最近加入了Hinton组，并且贡献出了预出版的RNN&LSTM的学习资料。~Link~