斐波那契数列求解以及时间空间复杂度分析

1 斐波那契数列定义 

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……

在数学上，斐波纳契数列以如下被以递推的方法定义：F(0)=0，F(1)=1， F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*） 

2 斐波那契数列求解

2.1 递归求解

    //递归求解
    public static int solveFibonacciByRE(int n){
        if(n==0){
            return 0;
        }
        if(n==1){
            return 1;
        }
        return solveFibonacciByRE(n-1)+solveFibonacciByRE(n-2);
    }

时间复杂度分析：递归的总次数*每次递归的数量

空间复杂度分析：递归的深度*每次递归创建变量的个数 

 

空间复杂度：

在上述递归调用过程中，要想求得Fib(5),需要先求得 Fib(4)与Fib(3)，依次重复调用

因此，调用的总次数为：(二叉树的最多结点数)，每次递归调用的时间可看为常数时间，所以空间复杂度为()

时间复杂度：

递归的深度为二叉树的深度n, 所以空间复杂度为()

 2.2 非递归求解

    //动态规划
    public static int solveFibonacciByDP(int n){
        int result[]=new int[n+1];
        result[1]=1;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            result[i]=result[i-1]+result[i-2];
        }
        return result[n];
    }

时间复杂度：

循环次数为n，所示时间复杂度为()

空间复杂度：

没有产生额外的空间开销，所以为()