JZ67 剪绳子——递归、动态规划

题目描述

给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成整数长的m段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为k[0],k[1],…,k[m]。请问k[0]xk[1]x…xk[m]可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

题解

1. 递归

分析：定义$f(n)$为我们所需要的长度为n的剪成m段的最大乘积。对于每一段来说，
可以选择不剪，即$f(n)$，
也可以选择剪，剪又可以分为$f(i)\ast f(n-i)(i=1,...,n/2)$，
===>因此可以得到递归公式：$f(n)=max\{f(n),f(i)\ast f(n-i)\}$。
代码：

function cutRope(number)
{
    if(number < 4){
        return number - 1
    }
    return cutRopeMain(number)
   
}
function cutRopeMain(n){
    if(n < 5){
        return n
    }
    let max = 0
    for(let i = 1; i < (n/2) + 1; i++){
        max = Math.max(cutRopeMain(i)*cutRopeMain(n - i), max)
    }
    return max
}

2. 动态规划

分析：上述递归的思想也可以写成动态规划的代码
代码：

function cutRope(number)
{
    if(number == 2){
        return 1
    }
    if(number == 3){
        return 2
    }
    let dp = []  //存放对于每一段的最大乘积
    dp[1] = 1  //初始条件
    dp[2] = 2
    dp[3] = 3
    for(let i = 4; i <= number; i++){
        dp[i] = 0  //初始值
        for(let j = 1; j <= i/2; j++){
           dp[i] = Math.max(dp[j]*dp[i-j], dp[i])
        }
    }
    return dp[number]
}

3. 数学公式法

分析：绳子长度为n，分成m分，那先设每分长度为x, 分数m=n/x，那么结果就是 n/x个 x 相乘 f(x)=x^(n/x)
求导：如下图

所以问题就回到了n/3的个数上面

• 当n能被3整除的时候，乘积=3^(n/3)；
• 当n除3余1的时候，这时候发现多了一个1，这个1是不是很鸡肋，但是把前面的一个3拿出来，把这个一个1和前面一个3 分解为2和2，就变大了，所以乘积为 3^(n/3 - 1) * 4；
• 当n除3余2的时候，乘积为3^(n/3) * 2。

代码：

function cutRope(number)
{
    if(number == 2) return 1
    if(number == 3) return 2
    let m = number % 3, n = Math.floor(number / 3)
    switch(m){
        case 0:return Math.pow(3, n);
        case 1:return Math.pow(3, n - 1)*4;
        case 2:return Math.pow(3, n)*2;
    }
}