PAT---堆总结

堆是一颗完全二叉树，一般用于优先队列的实现。

• 树中每个结点的值都不小于（或不大于）其左右孩子的值。
• 大顶堆：父结点大于或等于孩子结点的值
• 小顶堆：父结点小于或等于孩子结点的值

存储状态：

• 第一个结点将存储于数组中的1号位
• 左孩子是2i号位
• 右孩子为（2i+1）号位。

更新建堆方法：

最小堆
int heap[maxn],cnt=0;
void creat(int x) {
	heap[++cnt]=x;
	int t=cnt;
	while(t>1&&heap[t/2]>heap[t]) {
		swap(heap[t/2],heap[t]);
		t/=2;
	}
	heap[t]=x;
}
最大堆
int heap[maxn],cnt=0;
void creat(int x) {
	heap[++cnt]=x;
	int t=cnt;
	while(t>1&&heap[t/2]<heap[t]) {
		swap(heap[t/2],heap[t]);
		t/=2;
	}
	heap[t]=x;
}

定义数组表示堆：

const int maxn = 100;
//heap为堆，n为元素个数
int heap[maxn],n=10;

建堆过程，每次调整都是把结点从上往下调整。

• 向下调整：总是将当前结点V与它的左右孩子比较（如果有的话），假如孩子中存在权值比结点V的权值大的，就将其中权值最大的那个孩子结点与结点V的权值小或是结点V不存在孩子结点。时间复杂度为O（logn）

//对heap数组在[low,high]范围进行向下调整
void downAdjust(int low,int high){
	int i=low,j=i*2;//i为欲调整结点，j为其左孩子
	while(j<=high){//存在孩子结点
		//如果右孩子存在，且右孩子的值大于左孩子
		if(j+1<=high&&heap[j+1]>heap[j]){
			j+=1;//让j存储右孩子下标 
		}
		//如果孩子中最大的权值比欲调整结点i大
		if(heap[j]>heap[i]){
			swap(heap[j],heap[i]);//交换最大权值的孩子与欲调整结点i
			i=j;//保持i为欲调整结点、j为i的左孩子 
			j=i*2; 
		}else{
			break;//孩子的权值均比欲调整结点i小，调整结束 
		} 
	}
}

建堆：

void creatHeap(){
	for(int i=n/2;i>=1;i--){
		downAdjust(i,n);
	}
}

删除堆中堆顶，时间复杂度O（logn）

//删除堆顶元素 
void deleteTop(){
	heap[1]=heap[n--];//用最后一个元素覆盖堆顶元素，并让元素个数减1
	downAdjust(1,n);//向下调整堆顶元素 
}

添加一个元素，把它放在数组最后

向上调整：向上调整总是把欲调整结点与父亲结点比较，如果权值比父亲结点大，那么就交换其与父亲结点。时间复杂度为O（logn）

void upAdjust(int low,int high){
	int i=high,j=i/2;
	while(j>=low){
		if(heap[j]<heap[i]){
			swap(heap[j],heap[i]);
			i=j;
			j=i/2;
		}else{
			break;
		}
	}
}

void insert(int x){
	heap[++n] =x;
	upAdjust(1,n);
}

堆排序：

void heapSort(){
	createHeap();//建堆 
	for(int i=n;i>1;i--){	//倒着枚举，直到堆中只有一个元素 
		swap(heap[i],heao[1]);//交换heap[i]与堆顶 
		downAdjust(1,i-1);//调整堆顶 
	}
}