GCD算法详解（C语言）

                                              GCD算法详解

目录

    GCD算法详解

1.原理

证法一

证法二

2.普通方法

3.递归算法

4.最美妙算法

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1.原理

    GCD算法是用于求解最大公约数的方法，利用了欧几里得算法，即辗转相除法。

    最重要的等式莫过于（核心中的核心）：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) (不妨设a>b 且r=a mod b ,r不为0)

证法一

    a可以表示成a = kb + r（a，b，k，r皆为正整数，且r

    假设d是a,b的一个公约数，记作d|a,d|b，即a和b都可以被d整除。

    而r = a - kb，两边同时除以d，r/d=a/d-kb/d=m，由等式右边可知m为整数，因此d|r

    因此d也是b,a mod b的公约数

    假设d是b,a mod b的公约数, 则d|b,d|(a-k*b),k是一个整数。

    进而d|a.因此d也是a,b的公约数

    因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

证法二

    第一步：令c=gcd(a,b)，则设a=mc，b=nc

    第二步：可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c

    第三步：根据第二步结果可知c也是r的因数

    第四步：可以断定m-kn与n互素【否则，可设m-kn=xd,n=yd,(d>1)，则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)dc，    b=nc=ycd，故a与b最大公约数≥cd，而非c，与前面结论矛盾】

    从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r)，得证

    注意:两种方法是有区别的。

2.普通方法

#最大公因数普通算法
int gcd(int m,int n)
{    
    int t,r;    
    if (m

3.递归算法

//求最大公因数递归算法
int gcd(int x, int y)
{	if (y)			
            return gcd(y, x%y);		
        else			
            return x;
} 

4.最美妙算法

   注：巧用位运算，尤其是异或，会带来意想不到的方法。

#最美妙的最大公因数算法
int gcd(int x, int y)
{
    while(y^=x^=y^=x%=y);
    return x;
}

  怎么玩的呢？

  我来告诉你：核心不过是gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

  过程如下：

#首先声明^就是异或，a^a=0，a^0=a其次连等是从右往左结合，不要忘了哦！
x1=x%y;
y1=y^x1=y^(x%y)
x2=x1^y1=(x%y)^y^(x%y)=y
y2=y1^x2=y^(x%y)^y=x%y
即：
x'=y, y'=x%y
gcd(x,y) = gcd(y,x%y) = gcd(x',y')