(一.) 二阶常系数微分方程的通解的组成:
其对应二阶常系数微分方程的通解 + 二阶常系数微分方程的特解
(二.) 构造二阶常系数微分方程的特解
形如: y ′ ′ + p y ′ + q y = P m ( x ) e α x y''+py'+qy = P_{m(x)}e^{\alpha x} y′′+py′+qy=Pm(x)eαx 的二阶常系数微分方程。
( P m ( x ) 表 示 最 高 次 数 为 m 的 多 项 式 。 ) ( P_{m(x)}表示最高次数为m的多项式。) (Pm(x)表示最高次数为m的多项式。)
构 造 : y ∗ = Q ( X ) e α x 构造:y*=Q_{(X)}e^{\alpha x} 构造:y∗=Q(X)eαx
⇒ y ∗ ′ = Q ( X ) ′ e α x + α Q ( X ) e α x \Rightarrow y*'=Q_{(X)}'e^{\alpha x}+\alpha Q_{(X)}e^{\alpha x} ⇒y∗′=Q(X)′eαx+αQ(X)eαx,
y ∗ ′ ′ = Q ( X ) ′ ′ e α x + 2 α Q ( X ) ′ e α x + α 2 Q ( X ) e α x y*''= Q_{(X)}''e^{\alpha x}+2\alpha Q_{(X)}'e^{\alpha x} +{\alpha}^2Q_{(X)}e^{\alpha x} y∗′′=Q(X)′′eαx+2αQ(X)′eαx+α2Q(X)eαx
将 y ∗ , y ∗ ′ , y ∗ ′ ′ , 代 入 y ′ ′ + p y ′ + q y = P m ( x ) e α x 将 y*, y*', y*'' ,代入y''+py'+qy = P_{m(x)}e^{\alpha x} 将y∗,y∗′,y∗′′,代入y′′+py′+qy=Pm(x)eαx:
⇒ e α x [ Q ( X ) ′ ′ + ( 2 α + p ) Q ( X ) ′ + ( α 2 + p α + Q ( x ) ] = P m ( x ) e α x \Rightarrow e^{\alpha x}[Q_{(X)}''+(2\alpha +p)Q_{(X)}'+({\alpha}^2+p\alpha+Q_{(x)}]= P_{m(x)}e^{\alpha x} ⇒eαx[Q(X)′′+(2α+p)Q(X)′+(α2+pα+Q(x)]=Pm(x)eαx
即, [ Q ( X ) ′ ′ + ( 2 α + p ) Q ( X ) ′ + ( α 2 + p α + Q ( x ) ] = P m ( x ) [Q_{(X)}''+(2\alpha +p)Q_{(X)}'+({\alpha}^2+p\alpha+Q_{(x)}]= P_{m(x)} [Q(X)′′+(2α+p)Q(X)′+(α2+pα+Q(x)]=Pm(x)
讨 论 : 讨论: 讨论:
(1) α 不 是 特 征 方 程 r 2 + p r + q = 0 的 解 \alpha 不是特征方程 r^2 + pr +q=0 的解 α不是特征方程r2+pr+q=0的解
由 Q ( X ) ′ ′ + ( 2 α + p ) Q ( X ) ′ + ( α 2 + p α + Q ( x ) = 0 可 构 造 由Q_{(X)}''+(2\alpha +p)Q_{(X)}'+({\alpha}^2+p\alpha+Q_{(x)}=0 可构造 由Q(X)′′+(2α+p)Q(X)′+(α2+pα+Q(x)=0可构造:
Q ( X ) = a m x m + a ( m − 1 ) x ( x − 1 ) ⋯ a 1 x + a 0 Q_{(X)}=a_mx^m+a_{(m-1)}x^{(x-1)}\cdots a_1x+a_0 Q(X)=amxm+a(m−1)x(x−1)⋯a1x+a0
(2) α 是 特 征 方 程 r 2 + p r + q = 0 的 单 根 \alpha 是特征方程 r^2 + pr +q=0 的单根 α是特征方程r2+pr+q=0的单根
由 Q ( X ) ′ ′ + ( 2 α + p ) Q ( X ) ′ = 0 可 构 造 由Q_{(X)}''+(2\alpha +p)Q_{(X)}'=0 可构造 由Q(X)′′+(2α+p)Q(X)′=0可构造:
Q ( X ) ′ = a m x m + a ( m − 1 ) x ( x − 1 ) ⋯ a 1 x + a 0 Q_{(X)}'=a_mx^m+a_{(m-1)}x^{(x-1)}\cdots a_1x+a_0 Q(X)′=amxm+a(m−1)x(x−1)⋯a1x+a0
(3) α 是 特 征 方 程 r 2 + p r + q = 0 的 重 根 \alpha 是特征方程 r^2 + pr +q=0 的重根 α是特征方程r2+pr+q=0的重根
由 Q ( X ) ′ ′ = 0 可 构 造 由Q_{(X)}''=0 可构造 由Q(X)′′=0可构造:
Q ( X ) ′ ′ = a m x m + a ( m − 1 ) x ( x − 1 ) ⋯ a 1 x + a 0 Q_{(X)}''=a_mx^m+a_{(m-1)}x^{(x-1)}\cdots a_1x+a_0 Q(X)′′=amxm+a(m−1)x(x−1)⋯a1x+a0
最 后 , 根 据 多 项 式 相 等 , 则 其 对 应 系 数 相 等 可 求 解 最后,根据多项式相等,则其对应系数相等可求解 最后,根据多项式相等,则其对应系数相等可求解
1.) 求解二阶常系数非齐次微分方程对应的齐次微分方程的通解
2.) 遇到形式为 y ′ ′ + p y ′ + q y = P m ( x ) e α x y''+py'+qy = P_{m(x)}e^{\alpha x} y′′+py′+qy=Pm(x)eαx 的二阶常系数微分方程, 构造 y ∗ = Q ( X ) e α x y*=Q_{(X)}e^{\alpha x} y∗=Q(X)eαx
3.) 将 y ∗ , y ∗ ′ , y ∗ ′ ′ , 代 入 y ′ ′ + p y ′ + q y = P m ( x ) e α x 并 化 简 将 y*, y*', y*'' ,代入y''+py'+qy = P_{m(x)}e^{\alpha x}并化简 将y∗,y∗′,y∗′′,代入y′′+py′+qy=Pm(x)eαx并化简
4.) 判断 α \alpha α 是否为特征方程的根?单根?重根?
5. )根据 α \alpha α 确定所构造的多项式次数并求解。
【欧拉公式: e β x i e^{\beta xi} eβxi=cos β + i s i n β \beta+isin\beta β+isinβ x x x 】
e β x i e^{\beta xi} eβxi=cos β x + i s i n β \beta x+isin\beta βx+isinβ x x x
e − β x i e^{-\beta xi} e−βxi=cos β x − i s i n β x \beta x-isin\beta x βx−isinβx
⇒ \Rightarrow ⇒ cos β \beta β x= e β x i + e − β x i 2 \frac{e^{\beta xi}+e^{-\beta xi}}{2} 2eβxi+e−βxi
sin β \beta β x= e β x i − e − β x i 2 i \frac{e^{\beta xi}-e^{-\beta xi}}{2i} 2ieβxi−e−βxi
∴ \therefore ∴ [ P m ( x ) c o s [P_{m(x)}cos [Pm(x)cos β \beta β x + P n ( x ) s i n x+P_{n(x)}sin x+Pn(x)sin β \beta β x ] e α x x]e^{\alpha x} x]eαx
= [ P m ( x ) 2 + P n ( x ) 2 i ] [\frac{P_{m(x)}}{2}+\frac{P_{n(x)}}{2i}] [2Pm(x)+2iPn(x)] e ( α + β i ) x e^{(\alpha +\beta i) x} e(α+βi)x+ [ P m ( x ) 2 − P n ( x ) 2 i ] [\frac{P_{m(x)}}{2}-\frac{P_{n(x)}}{2i}] [2Pm(x)−2iPn(x)] e ( α − β i ) x e^{(\alpha -\beta i) x} e(α−βi)x
= [ P m ( x ) 2 − P n ( x ) i 2 ] [\frac{P_{m(x)}}{2}-\frac{P_{n(x)}i}{2}] [2Pm(x)−2Pn(x)i] e ( α + β i ) x e^{(\alpha +\beta i) x} e(α+βi)x+ [ P m ( x ) 2 − P n ( x ) i 2 ] [\frac{P_{m(x)}}{2}-\frac{P_{n(x)}i}{2}] [2Pm(x)−2Pn(x)i] e ( α − β i ) x e^{(\alpha -\beta i) x} e(α−βi)x
= P s ( x ) e ( α + β i ) x P_{s(x)} e^{(\alpha +\beta i) x} Ps(x)e(α+βi)x + P s ( x ) ‾ \overline{P_{s(x)} } Ps(x) e ( α − β i ) x e^{(\alpha -\beta i) x} e(α−βi)x ( 其 中 s = m a x m , n ) (其中s=max{m,n}) (其中s=maxm,n)
【 P s ( x ) , P s ( x ) ‾ P_{s(x)},\overline{P_{s(x)} } Ps(x),Ps(x) 为共轭复多项式。】