C语言实现快速幂

 快速幂取模算法

所谓的快速幂，实际上是快速幂取模的缩写，简单的说，就是快速的求一个幂式的模(余)。在程序设计过程中，经常要去求一些大数对于某个数的余数，为了得到更快、计算范围更大的算法，产生了快速幂取模算法。（求a的b次方，b很大很大）

先从简单的例子入手：

算法1.首先直接地来设计这个算法：

int ans = 1;

for(int i = 1;i<=b;i++)

{
    ans = ans * a;
}

ans = ans % c;

 

这个算法的时间复杂度体现在for循环中，为O（b）.这个算法存在着明显的问题，如果a和b过大，很容易就会溢出。

那么，先来看看第一个改进方案：在讲这个方案之前，要先有这样一个公式：

.这个公式在离散数学或者数论当中应该学过，不过这里为了方便大家的阅读，还是给出证明：

引理1：

上面公式为下面公式的引理，即积的取余等于取余的积的取余。

证明了以上的公式以后，我们可以先让a关于c取余，这样可以大大减少a的大小，

于是不用思考的进行了改进：

算法2：

int ans = 1;
a = a % c; //加上这一句

for(int i = 1;i<=b;i++)
{
    ans = ans * a;
}

 

既然某个因子取余之后相乘再取余保持余数不变，那么新算得的ans也可以进行取余，所以得到比较良好的改进版本。

 

算法3：

int ans = 1;

a = a % c; //加上这一句
for(int i = 1;i<=b;i++)
{
    ans = ans * a;
}
ans = ans % c;

 

这个算法在时间复杂度上没有改进，仍为O(b)，不过已经好很多的，但是在c过大的条件下，还是很有可能超时，所以，我们推出以下的快速幂算法。

 

快速幂算法依赖于以下明显的公式，我就不证明了。

有了上述两个公式后，我们可以得出以下的结论：

1. 当b为偶数时，a^b = a^(b/2) * a^(b/2)
2. 当b为奇数时，a^b = a^(b/2) * a^(b/2) * a

 

((k)b/2 mod c × a ) mod c =((k)b/2 mod c * a) mod c 就可以了。

那么我们可以得到以下算法：

算法4：

int ans = 1;
while (a&&b)
{

    if (b & 1) ans = ((ans*a) % p) % p;

    a = (a*a) % p;

    b >>= 1; //移位运算，右移一位

}

 

我们可以看到，我们把时间复杂度变成了O(b/2).当然，这样子治标不治本。但我们可以看到，当我们令k = (a * a) mod c时，状态已经发生了变化，我们所要求的最终结果即为(k)b/2 mod c而不是原来的ab mod c，所以我们发现这个过程是可以迭代下去的。当然，对于奇数的情形会多出一项a mod c，所以为了完成迭代，当b是奇数时，我们通过

 

ans = (ans * a) % c;来弥补多出来的这一项，此时剩余的部分就可以进行迭代了。

形如上式的迭代下去后，当b=0时，所有的因子都已经相乘，算法结束。于是便可以在O（log b）的时间内完成了。于是，有了最终的算法：快速幂算法。

算法5：快速幂算法

int ans = 1;
while (a&&b)
{

    if (b & 1) ans = ((ans*a) % p) % p;

    a = (a*a) % p;

    b >>= 1; //移位运算，右移一位

}

 

将上述的代码结构化，也就是写成函数：

 

long long fun(long long a, long long b,long long p)
{
	long long ans = 1;

	while (a&&b)
	{
		if (b & 1) ans = ((ans*a) % p) % p;

		a = (a*a) % p;

		b >>= 1; //移位运算，右移一位
	}

	return ans;
}

 

本算法的时间复杂度为O（logb），能在几乎所有的程序设计（竞赛）过程中通过，是目前最常用的算法之一。