KMP的next数组求法详解

部分参考了  BLOG

kmp算法的精髓就在于next数组，从而达到跳跃式匹配的高效模式。

而next数组的值是代表着字符串的前缀与后缀相同的最大长度,(不能包括自身)。

"前缀"指除了最后一个字符以外，一个字符串的全部头部组合；

"后缀"指除了第一个字符以外，一个字符串的全部尾部组合。

这里举个例子：

 

 

这样我们就求出来了next数组

模式串t	A	B	A	B	A	A
下标	0	1	2	3	4	5
next	0	0	1	2	3	1

当前后缀特别长的时候(假设该串大小为1000)，我们当然不可能挨个去比较前后缀，next数组怎样用代码去求呢？

仍然是上面那个例子

A B A B A A

模式串t	A	B	A	B	A	A
下标	0	1	2	3	4	5
next	？	？	？	？	？	？

此时next数组的值，全为未知，

1.初始化，next[0]为0；

因为next[0]代表t[0]~t[0]即"X","X"的前缀和后缀都为空集，共有元素的长度为0.

所以无论X的值为任意值，next[0]=0;

模式串t	A	B	A	B	A	A
下标	0	1	2	3	4	5
next	0	？	？	？	？	？

2.求解next[1],

• t[0] != t[1] next[1]为0； 假设此时为XY ，无最大前后缀，故next值为0.
• t[0]==t[1] next[1]为1, 假设此时为XX，最大前后缀为X，故next值为1.

得出next[1]=0;

模式串t	A	B	A	B	A	A
下标	0	1	2	3	4	5
next	0	0	？	？	？	？

3.求解next[2],

• t[0]!=t[2] next[2]为0； 假设此时为XYZ,前缀为 XY,后缀为YZ，无最大前后缀，故next值为0.

• t[0] == t[2] next[2]为1； 假设此时为XYX，前缀为XY,后缀为YX，最大前后缀为X，故next值为1.

在该题中，的next[2]=1

模式串t	A	B	A	B	A	A
下标	0	1	2	3	4	5
next	0	0	1	？	？	？

4.求解next[3]

在该题中，next[3]代表t[0]~t[3]即"ABAB"的最大前后缀，即"AB",长度为2.

在求next[3]时，如何用代码求

• t[next(3-1)]=t[3]：next[3] = next[next(3-1)+1]+1;

疑问：为什么求next[3]要把t[3]与t[next(3-1)]做对比，

首先我们要明白next[3]是什么，next数组的值是代表着字符串的前缀与后缀相同的最大长度,(不能包括自身)，

所以next[3]代表的是t[0]~t[3],这四个字符放入前缀与后缀相同的最大长度

t[next(3-1)]=t[1],为什么要将t[3]和t[1]对比，也就是t[3]与t[next(2)]对比，这是我之前搞不懂的一个地方！！！！

然后看了一些大佬的图解似乎好像仿佛明白了。

 

模式串t	A	B	A	B	A	A
下标	0	1	2	3	4	5
next	0	0	1	？	？	？

我们求next[3]的时候，已经求出next[0]~next[2]，此时我们知道了next[2]=1,意味着next[2]是代表着字符串的前缀与后缀相同的最大长度为1。

也就是对于ABA来说，前缀与后缀相同的最大长度为1，这是我们已知的条件，现在我们要知道对于ABAB来说，前缀与后缀相同的最大长度为？？？？？？

对于ABA来说，前缀"AB",后缀"BA"，对于ABAB来说，前缀“ABA”,后缀“BAB”，现在我们观察得出结论

ABAB的前缀和后缀必然分别包含ABA的前缀和后缀，即next[3]字符串的前缀和后缀必然分别包含next[2]的前缀和后缀,

无论该字符串是何值。

既然我们已经知道了next[2]=1,代表着ABA的前缀与后缀相同的最大长度为1，那我们计算next[3]的时候，就知道了第一个字符必然是相同的，所以我们无需再比较第一个字符了，（KMP算法就是为了省这一步！！！！），所以我们将t[3]直接与t[1]而不是t[0]比较，若t[3]=t[1],那我们可以直接说next[3]=2=next[1]+1.

• t[next(3-1)]!=t[3]：怎么办？ 看下面，这就是KMP算法的精髓

void makeNext(char s[],int next[])
{
    int len = strlen(s);
    next[0]=0;                    //初始化
    for(int i=1,k=0;i0 && s[k]!=s[i])  //这个while是最关键的部分
            k=next[k-1]; 
            //等价于  k=next[next[i-1]-1]
            //等号右边的k起的只是下标的作用
        if(s[k]==s[i])            
            k++;                  //相等就+1
        next[i]=k;                //赋值
    }
}

 

在该题中，t[0]="A",t[3]="B",显然不相等，

所以需要用该算法

如何求next[3]呢，将t[3]与t[next(3-1)]对比

即t[3]与t[next[2]]=t[1]做对比，

此时t[3]="B",t[1]="B",满足t[3]=t[next(3-1)],next[3]=next[t[[next(3-1]+1]+1;

得到t[3]=next[1+1]+1=1+1=2;

模式串t	A	B	A	B	A	A
下标	0	1	2	3	4	5
next	0	0	1	2	？	？

PS:这里为了理解可以推广为，若经过KMP算法得到t[3]=t[0],则next[3]=next[0+1]+1,若经过KMP算法得到t[4]=t[2],则next[4]=next[2+1]+1

(可以记忆为---里面加1外面也要加1)

这个时候我们虽然把next[3]计算出来了，但是肯定有人问了，要是t[3]与t[next(3-1)]还是不相等怎么办？？？？？

 

这个时候我们举另外一个例子

A B A B A B A C

0 1 2 3 4 5 6 7

next[6] = 5

即前缀为t[0]~t[4] A B A B A

后缀为t[2]~t[6] A B A B A

 

next[4] = 3

即前缀为t[0]~t[2] A B A

后缀为t[2]~t[4] A B A

 

next[4]的前缀一定是next[6]的前缀

next[4]的后缀也一定是next[6]的后缀

 

现在我们要求next[7]，将t[7]与t[next(7-1) ] 比较（此时t[next(7-1)]=t[5]），发现还是不相等

那么可以将t[7]与t[next(next(7-1)-1)]比较 (此时t[next(next(7-1)-1)]=t[3])，如果相等，则next[7] = next[3+1] +1;

 

(同前面所述一样，里面加1，外面也加1)

不相等就重复此过程，直到t[7]与t[0]比较.

好了，关于KMP算法我们已经通过例题全部解释了一遍，此时这个例子还没有算完，我们通过KMP算法得出最终结果来验证是否KMP算法是否可靠

模式串t	A	B	A	B	A	A
下标	0	1	2	3	4	5
next	0	0	1	2	？	？

这个时候求next[4]

1.判断t[4]与t[next(4-1)]是否相等 ，t[4]="A",t[next(4-1)]=t[2]="A"

2.next[4]=next[2+1]+1=2+1=3

再求next[5]

1.判断t[5]与t[next(5-1)]是否相等，t[5]="A",t[next(5-1)]=t[3]="B";

2.由于t[5]与t[next(5-1)]不相等，所以要继续循环，

     2.1 判断t[5]与t[next(next(5-1)-1)]是否相等，t[5]="A",t[next(next(5-1)-1)]=t[next(3-1)]="B";

     由于t[5]与t[next(next(5-1)-1)]还是不相等，继续循环

                   2.1.1 判断t[5]与t[next(next(next(5-1)-1))-1]是否相等,t[5]="A",t[next(next(next(5-1)-1))-1]=t[next(1-1)]=t[0]="A";

                   此时满足t[5]与t[next(next(next(5-1)-1))-1]相等，所以next[5]=next[0+1]+1=1(记忆口诀为里面加去，外面也加1)

模式串t	A	B	A	B	A	A
下标	0	1	2	3	4	5
next	0	0	1	2	3	1

这个时候我们就得到了完整的表格

与我们用非代码计算出来的结果对比

可以发现，用KMP算法所得的结果是可靠的。

下面附上kmp完整代码

#include
#include
#include
#include
#include

using namespace std;

void makeNext(char s[],int next[])
{
    int len = strlen(s);
    next[0]=0;
    for(int i=1,k=0;i0 && s[k]!=s[i])
            k=next[k-1];
        if(s[k]==s[i])
            k++;
        next[i]=k;
    }
}

int kmp(char t[],char s[])
{
    int len1 = strlen(t);
    int len2 = strlen(s);
    int next[len2];
    makeNext(s,next);
    for(int i=0,j=0;i0 && t[i]!=s[j])
        {
            j=next[j-1];
        }
        if(t[i]==s[j])
            j++;
        if(j==len2)
            return i-j+1;
    }
}

int main()
{
    char t[]="1234561123458412";
    char s[]="611";
    cout<