2411. Triangles

2411. Triangles

(File IO): input:triangles.in output:triangles.out
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题目描述

Farmer John 想要给他的奶牛们建造一个三角形牧场。有 N（3≤N≤10^5）个栅栏柱子分别位于农场的二维平面上不同的点 (X1,Y1)…(XN,YN)。他可以选择其中三个点组成三角形牧场，只要三角形有一条边与 x 轴平行，且有另一条边与 y 轴平行。
FJ 可以组成的所有可能的牧场的面积之和等于多少？

输入

第一行包含 N。
以下 N 行每行包含两个整数 Xi 和 Yi，均在范围 −10^4…104 之内，描述一个栅栏柱子的位置。

输出

由于面积之和不一定为整数且可能非常大，输出面积之和的两倍模 10^9+7 的余数。

样例输入

4
0 0
0 1
1 0
1 2

样例输出

3

数据范围限制
测试点 1-2 满足 N=200。
测试点 3-4 满足 N≤5000。
测试点 5-10 没有额外限制。

提示
栅栏木桩 (0,0)、(1,0) 和 (1,2) 组成了一个面积为 1 的三角形，(0,0)、(1,0) 和 (0,1) 组成了一个面积为 0.5 的三角形。所以答案为 2*(1+0.5)=3。

方法一：
我们每次去枚举一个点(i)，然后分别求出sumx[i](和i点同y坐标的点与i点的距离和）和sumy[i](和i点同x坐标的点与i点的距离和）;然后再求出以i点为直角顶点的三角形总面积（sumx[i]*sumy[i]）;

	sumx[p[i].num]=sumx[p[i-1].num]+(2*k-2-tot)*d;

同y坐标的点可以由它一个点的距离和推算出来，这样就不需要重复去计算，从而降低了程序的时间复杂度；

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define fre(x) freopen(#x".in","r",stdin),freopen(#x".out","w",stdout);
using namespace std;
const int Mod=1e9+7;
const int N=1e5+10;
struct node
{
	long long x,y,num;
} p[N];
long long n,sumx[N],sumy[N];
bool cmp1(node xx,node yy) {return (xx.y==yy.y)?xx.x<yy.x:xx.y<yy.y;}
bool cmp2(node xx,node yy) {return (xx.x==yy.x)?xx.y<yy.y:xx.x<yy.x;}
int main()
{
	fre(triangles);
	scanf("%lld",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld%lld",&p[i].x,&p[i].y),p[i].num=i;
	sort(p+1,p+1+n,cmp1);	
	int t,tot,k;
	p[0].x=p[0].y=-10000000;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(p[i].y!=p[i-1].y) t=i,tot=0,k=1;
		else
		{
			k++;
			int d=p[i].x-p[i-1].x;
			sumx[p[i].num]=sumx[p[i-1].num]+(2*k-2-tot)*d;
			continue;
		}
		for(int j=t;j<=n;j++)
		{
			if(p[i].y==p[j].y) sumx[p[i].num]+=p[j].x-p[i].x,tot++;
			else break;
		}
	}
	sort(p+1,p+1+n,cmp2);	
	t=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(p[i].x!=p[i-1].x) t=i,tot=0,k=1;
		else
		{
			k++;
			int d=p[i].y-p[i-1].y;
			sumy[p[i].num]=sumy[p[i-1].num]+(2*k-2-tot)*d;
			continue;
		}
		for(int j=t;j<=n;j++)
		{
			if(p[i].x==p[j].x) sumy[p[i].num]+=p[j].y-p[i].y,tot++;
			else break;
		}
	}
	long long ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) ans+=(sumx[i]*sumy[i])%Mod,ans%=Mod;
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}

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方法二：
与方法一区别：只是将一个点的三角形总面积和，分成了四个象限处理。当然求距离和公式会有不同。

sumx[xx]=(sumx[xx]+abs(sx[xx]-yy)*(tx[xx]-1))；

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define fre(x) freopen(#x".in","r",stdin),freopen(#x".out","w",stdout);
using namespace std;
const int MAX=2147483647;
const int N=100010;
const int Mod=1e9+7;
struct node
{
	long long x,y;
} p[N];
int n,ans;
bool cmp1(node xx,node yy) {return (xx.x!=yy.x)?xx.x<yy.x:xx.y<yy.y;}
bool cmp2(node xx,node yy) {return (xx.x!=yy.x)?xx.x<yy.x:xx.y>yy.y;}
bool cmp3(node xx,node yy) {return (xx.x!=yy.x)?xx.x>yy.x:xx.y<yy.y;}
bool cmp4(node xx,node yy) {return (xx.x!=yy.x)?xx.x>yy.x:xx.y>yy.y;}
void js()
{
	long long tx[20010]={},ty[20010]={};
	long long sumx[20010]={},sumy[20010]={};
	long long sx[20010]={},sy[20010]={};
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int xx=p[i].x,yy=p[i].y;
		tx[xx]++;
		sumx[xx]=(sumx[xx]+abs(sx[xx]-yy)*(tx[xx]-1))%Mod;
		sx[xx]=yy;
		
		ty[yy]++;
		sumy[yy]=(sumy[yy]+abs(sy[yy]-xx)*(ty[yy]-1))%Mod;
		sy[yy]=xx;
		ans=(ans+sumx[xx]*sumy[yy])%Mod;
	}
}
int main()
{
	fre(triangles);
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>p[i].x>>p[i].y,p[i].x+=10000,p[i].y+=10000;
	sort(p+1,p+1+n,cmp1); js(); 
	sort(p+1,p+1+n,cmp2); js(); 
	sort(p+1,p+1+n,cmp3); js(); 
	sort(p+1,p+1+n,cmp4); js();
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}