关于傅里叶变换，作为信息工程学院的同学一定不会陌生。从最开始的高等数学到复变函数再到数字信号处理再到数字图像处理，傅里叶是一直伴随着的。没办法，入了这个坑，想躲傅里叶是不可能了。
关于傅里叶变换，看看维基百科的解释
image.png
有梯子的同学可以点击链接傅里叶变换查看详情。
没有梯子，可以阅读知乎上大佬们的解释，很多答案都很好。知乎-傅里叶变换
简单地说，首先傅里叶变换是一种变换公式，作用是把信号在时域（或者空域)和频域间的转换。不同应用场景具体分类又不一样，比如有时域上的电信号转到频域，这是连续的。有图像的空域变换到频域，这是离散的，即下面要学习的程序例子。
关于图像处理里面的离散傅里叶变换，同样可以看看知乎上面的回答。图像傅里叶变换的频率怎么理解
下面直接上代码
//discrete fourier tranform, 离散傅里叶变换
//头文件
#include "opencv2/core.hpp" //Core functionality，核心函数相关
#include "opencv2/imgproc.hpp" //Image processing， 图像处理相关
#include "opencv2/imgcodecs.hpp"//Image file reading and writing， 图像的加载和写出相关
#include "opencv2/highgui.hpp" //High-level GUI，图形界面GUI相关
#include
/**
* 程序流程
* 1、加载图像，格式为灰度图
* 2、获取图片dft变换的最佳大小
* 3、边框加0的方式填充图片，即非0部分为dft变换的最佳大小
* 4、创建数组储存图像实部虚部，且合并到complexI
* 5、傅里叶变换 dft(complexI, complexI)
* 6、重新分离实部虚部，并且计算幅度
* 7、将幅度映射到对数域
* 8、以图像中心为原点划分象限，每个象限创建一个ROI
* 9、对角象限互换
* 10、显示结果
*/
//命名空间
using namespace cv;
using namespace std;
//帮助函数，输出程序的信息
static void help(void)
{
cout << endl
<< "This program demonstrated the use of the discrete Fourier transform (DFT). " << endl //离散傅里叶变换示例
<< "The dft of an image is taken and it's power spectrum is displayed." << endl //离散傅里叶变换后显示功率谱
<< "Usage:" << endl
<< "./discrete_fourier_transform [image_name -- default ../data/lena.jpg]" << endl; //默认加载图片路径
}
int main(int argc, char ** argv)
{
help();
//获取图像路径（文件名），命令行输入否则默认
const char* filename = argc >=2 ? argv[1] : "../data/lena.jpg";
//加载图像，方式为加载灰度图
Mat I = imread(filename, IMREAD_GRAYSCALE);
//检查是否成功加载
if( I.empty()){
cout << "Error opening image" << endl;
return -1;
}
//! [expand]
Mat padded;
//expand input image to optimal size， 将输入图像扩展到最佳大小
int m = getOptimalDFTSize( I.rows );
int n = getOptimalDFTSize( I.cols );
// on the border add zero values，在边框上添加零值，使用copyMakeBorder函数
copyMakeBorder(I, padded, 0, m - I.rows, 0, n - I.cols, BORDER_CONSTANT, Scalar::all(0));
//! [expand]
//! [complex_and_real] 实部和虚部
Mat planes[] = {Mat_(padded), Mat::zeros(padded.size(), CV_32F)}; //Mat 数组储存图像的实部和虚部
Mat complexI;
merge(planes, 2, complexI); // Add to the expanded another plane with zeros，用零添加到扩展的另一平面
//! [complex_and_real]
//! [dft]
//离散傅里叶变换
dft(complexI, complexI); // this way the result may fit in the source matrix，这种方式的结果可能适合在源矩阵
//! [dft]
// compute the magnitude and switch to logarithmic scale，计算幅度并映射到对数刻度
//公式 => log(1 + sqrt(Re(DFT(I))^2 + Im(DFT(I))^2))
//! [magnitude] 幅度
split(complexI, planes); // planes[0] = Re(DFT(I), planes[1] = Im(DFT(I)),分离实部和虚部
magnitude(planes[0], planes[1], planes[0]);// planes[0] = magnitude，计算幅度且存放到planes[0]
Mat magI = planes[0]; //幅度
//! [magnitude]
//! [log]
magI += Scalar::all(1); // switch to logarithmic scale，映射到对数刻度
log(magI, magI);
//! [log]
//! [crop_rearrange]裁剪重新排列
// crop the spectrum, if it has an odd number of rows or columns， 裁剪频谱, 如果它有奇数行或列数
magI = magI(Rect(0, 0, magI.cols & -2, magI.rows & -2));
// rearrange the quadrants of Fourier image so that the origin is at the image center
//重新排列傅立叶图像的象限, 使原点位于图像中心
int cx = magI.cols/2;
int cy = magI.rows/2;
//每个象限新建一个ROI
Mat q0(magI, Rect(0, 0, cx, cy)); // Top-Left - Create a ROI per quadrant， 左上，第二象限
Mat q1(magI, Rect(cx, 0, cx, cy)); // Top-Right， 右上，第一象限
Mat q2(magI, Rect(0, cy, cx, cy)); // Bottom-Left，左下，第三象限
Mat q3(magI, Rect(cx, cy, cx, cy)); // Bottom-Right， 右下，第四象限
Mat tmp; // swap quadrants (Top-Left with Bottom-Right)，交换左上和右下象限
q0.copyTo(tmp);
q3.copyTo(q0);
tmp.copyTo(q3);
q1.copyTo(tmp); // swap quadrant (Top-Right with Bottom-Left)，交换右上和左下象限
q2.copyTo(q1);
tmp.copyTo(q2);
//! [crop_rearrange]
//! [normalize]
//归一化，像素值都映射到[0,1]之间
normalize(magI, magI, 0, 1, NORM_MINMAX); // Transform the matrix with float values into a
// viewable image form (float between values 0 and 1).
//! [normalize]
//显示结果
imshow("Input Image" , I ); // Show the result
imshow("spectrum magnitude", magI);
waitKey();
return 0;
}
/**
* 要点总结：
* 加载图片格式为灰度图
* getOptimalDFTSize()函数获取最佳大小
* copyMakeBorder()加框函数
* 实部虚部
* merge()合并函数
* dft()函数
* 幅度公式sqrt(Re(DFT(I))^2 + Im(DFT(I))^2)
* split()分离函数
* magnitude()计算幅度
* log()对数函数
* normalize()归一化函数
* /
下面放上所用函数的声明信息
int cv::getOptimalDFTSize ( int vecsize )
void cv::copyMakeBorder ( InputArray src,
OutputArray dst,
int top,
int bottom,
int left,
int right,
int borderType,
const Scalar & value = Scalar()
)
void cv::merge ( const Mat * mv,
size_t count,
OutputArray dst
)
void cv::magnitude ( InputArray x,
InputArray y,
OutputArray magnitude
)
softfloat cv::log ( const softfloat & a )
void cv::normalize ( InputArray src,
InputOutputArray dst,
double alpha = 1,
double beta = 0,
int norm_type = NORM_L2,
int dtype = -1,
InputArray mask = noArray()
)