贝塞尔曲线

定义

一条贝塞尔曲线是由一组定义的控制点 P0到 Pn，在 n 调用它的顺序 (n = 1 为线性，2 为二次，等.)。第一个和最后一个控制点总是具有终结点的曲线;然而，中间两个控制点 (如果有的话) 一般不会位于曲线上 。

贝塞尔曲线包含两个控制点即 n = 2 称为线性的贝塞尔曲线

贝塞尔曲线包含三个控制点即 n = 3 称为二次贝塞尔曲线

贝塞尔曲线包含四个控制点即 n = 4，所以称为三次贝塞尔曲线。

线性的贝塞尔曲线

p0和p1两个点之间的线性插值的点p可以获得：

$p=p0+t\ast (p1-p0)$ (0 <= t <= 1)

线性的贝塞尔曲线有两个控制点。为给出了两个点 P0和 P1一个线性的贝塞尔曲线是只是这两个点之间的直线
$B(t)=p0+t\ast (p1-p0)=(1-t)\ast p0+t\ast p1$ (0 <= t <= 1)

二次贝塞尔曲线

二次贝塞尔曲线具有三个控制点。二次贝塞尔曲线是点对点的两个线性贝塞尔曲线的线性插值。为给出了三个点 P0、P1和 P2一条二次贝塞尔曲线，其实是两条线性的贝塞尔曲线，线性贝塞尔曲线的 P0和 P1和 线性贝塞尔曲线P1和 P2. 所以，给出二次贝塞尔曲线 ：

$B(t)=(1-t)\ast B_{p0p1}(t)+t\ast B_{p1p2}(t)$ （0=

$B(t)=(1-t)\ast [(1-t)\ast p0+t\ast p1]+t\ast [(1-t)\ast p1+t\ast p2]$(0=

二次贝塞尔最终公式：
$B(t)=(1-t{)}^2\ast p0+2\ast t\ast (1-t)\ast p1+t^2\ast p2$(0=

三次贝塞尔曲线

三次方贝塞尔曲线具有四个控制点。二次贝塞尔曲线是 点对点的两条二次贝塞尔曲线的线性插值。对于给出的四个点 P0、P1、P2和 P3三次方贝塞尔曲线，是二次贝塞尔曲线P0、P1和 P2和 二次贝塞尔曲线P1、P2和 P3 得到的 线性插值 .所以，给出三次方贝塞尔曲线

$B(t)=(1-t)B_{p0p1p2}+t\ast B_{p1p2p3}$(0<=t<=1)
拆分$=>$
$B(t)=(1-t)\ast [(1-t{)}^2\ast p0+2\ast t\ast (1-t)\ast p1+t^2\ast p2]+t\ast [(1-t{)}^2\ast p1+2\ast t\ast (1-t)\ast p2+t^2\ast p3]$(0<=t<=1)

三次贝塞尔公式:

$B(t)=(1-t{)}^3\ast p0+3\ast (1-t{)}^2\ast t\ast p1+3\ast (1-t)\ast t^2\ast p2+t^3\ast p3$(0<=t<=1)

应用

根据
二次贝塞尔最终公式：
$B(t)=(1-t{)}^2\ast p0+2\ast t\ast (1-t)\ast p1+t^2\ast p2$(0=
得到曲线上的点，然后通过doTween的DOPath，或者编辑器画出曲线

function CalculateCubicBezierPoint(t, p0, p1, p2)
	local u=1-t
	local tt=t*t
	local uu=(1-t)*(1-t)
	
	local p=uu*p0+2*t*u*p1+tt*p2
	return p
end

/// 

/// 获取存储贝塞尔曲线点的数组
/// 
/// 起始点
/// 控制点
/// 目标点
/// 采样点的数量
/// 存储贝塞尔曲线点的数组
function GetBeizerList(startPoint, controlPoint, endPoint,segmentNum)
	local paths={}
	for i=1,segmentNum do
		local t=i/segmentNum
		local p=CalculateCubicBezierPoint(t,startPoint,controlPoint,endPoint)
		table.insert(paths,p)
	end
	return paths
end

参考：
https://blog.csdn.net/u010019717/article/details/47684223
https://blog.csdn.net/BBoyLXiang/article/details/88815637