哈夫曼树Huffman Tree详解与java实现

树的一些基本概念

 路径：在一棵树中，从一个结点到另一个结点所经过的所有结点，被我们称为两个结点间的路径。
 路径长度：在一棵树中从一个结点到另一个结点所经过的“边”的数量为这两个结点之间的路径长度。
　结点的带权路径长度：树的每个结点都可以拥有自己的“权重”(weight)。结点的带权路径长度就是指树的根结点到该结点的路径长度，和该结点权重的乘积。
　树的带权路径长度：就是指一棵树中所有叶子结点的带权路径长度之和，也被简称为WPL。
　示例：
　如下图二叉树中，从根节点A到叶子结点H的路径是A,B,D,H。
　共经历了三条边A－＞B，B－＞D，D－＞H，因此路径为3。
　如图示，结点H的权重是3，则结点H的带权路径长度是3X3 = 9。
　树的路径长度为 3X3 + 6X3 + 1X2 + 4X2 + 8X2 = 53 。
　

哈夫曼树

哈夫曼树简介

 哈夫曼树（Huffman Tree）是在叶子结点和权重确定的情况下，带权路径长度最小的二叉树，也被称为最优二叉树。
　举个例子，给定权重分别为1，3，4，6，8的叶子结点，应该怎么构建二叉树使得其带权路径长度(叶子节点的路径与权重乘积和)最小？
　原则上，让权重小的叶子节点路径长（远离树根），权重大的叶子结点路径短（靠近树根）。如下图，左侧的这棵树就是哈夫曼树，它的WPL是46，小于之前例子中的53。
　

注意：同样的叶子结点构成的哈夫曼树可能不止一棵，比如下面这几棵树都是哈夫曼树。

构造哈夫曼树的通用方法

通用方法总结：将叶子节点的权重从小到大排列，因为越小路径要越长，那么我们就从权重小的结点开始，按照规则两两配对自底向上的开始构造一个二叉树。主要操作只有两步，① 选择当前权重最小的两个结点，生成新的父结点；② 不考虑这两个已配对的子节点，将父结点的权重（俩子结点之和）加入队列，再选出当前权重最小两个结点重复步骤一。具体可看下面例子。

 (给定结点和权重)示例：假设有6个叶子结点，权重依次是2，3，7，9，18，25，如何构建一颗哈夫曼树，也就是带权路径长度最小的树呢？

1. 构建森林
   我们把每一个叶子结点，都当做一棵独立的树（只有根结点的树），这样就形成了一个森林。如下图，右侧是叶子结点的森林，左侧是一个辅助队列，按照权值从小到大存储了所有叶子结点。至于辅助队列的作用，我们后续将会看到。
2. 选择当前权重最小的两个结点，生成新的父结点
   借助辅助队列，我们可以找到权值最小的结点2和3，并根据这两个结点生成一个新的父结点，父节点的权值是这两个结点权值之和。
3. 从队列中移除上一步选择的两个最小结点，把新的父节点加入队列
   也就是从队列中删除2和3，插入5，并且仍然保持队列的升序：
   
4. 选择当前权值最小的两个结点，生成新的父结点
   这是对第二步的重复操作。当前队列中权值最小的结点是5和7，生成新的父结点权值是5+7=12:
   
5. 从队列中移除上一步选择的两个最小结点，把新的父节点加入队列
   这是对第三步的重复操作，也就是从队列中删除5和7，插入12，并且仍然保持队列的升序：
   之后循环重复第二步和第三步，直至队列仅剩最后一个结点（即根节点）为止。
6. 选择当前权值最小的两个结点，生成新的父节点
   重复第二步，当前队列中权值最小的结点是9和12，生成新的父结点权值是9+12=21：
   
7. 从队列中移除上一步选择的两个最小结点，把新的父节点加入队列
   重复第三步：从队列中删除9和12，插入21，并且仍然保持队列的升序：
   
8. 选择当前权值最小的两个结点，生成新的父结点
   重复第二步：当前队列中权值最小的结点是18和21，生成新的父结点权值是18+21=39：
   
9. 从队列中移除上一步选择的两个最小结点，把新的父节点加入队列
   重复第三步：从队列中删除18和21，插入39，并且仍然保持队列的升序：
   
10. 选择当前权值最小的两个结点，生成新的父结点
    重复第二步:当前队列中权值最小的结点是25和39，生成新的父结点权值是25+39=64：
    
11. 从队列中移除上一步选择的两个最小结点，把新的父节点加入队列
    重复第三步：从队列中删除25和39，插入64：
    
    此时，队列中仅有一个结点，说明整个森林已经合并成了一颗树，而这棵树就是我们想要的哈夫曼树。

java实现

private Node root;
private Node[] nodes;

//构建哈夫曼树
public void createHuffman(int[] weights){
	//创建一个优先队列，用来辅助构建哈夫曼树
	Queue<Node> nodeQueue = new PriorityQueue<>();
	nodes = new Node[weights.length]；
	//构建森林，往优先队列里存储叶子结点的权重
	for(int i = 0; i < weights; i++){
		nodes[i] = new Node(weights[i]);//weight[]数组存储叶子结点(数据类型为结点，包含权重信息),默认按从小到大排列
		nodeQueue.add(node[i]);
	}
	//主循环，当结点队列只剩一个结点时结束
	while(nodeQueue.size()>1){
		//从结点队列选择权重最小的两个结点，当树的左右结点
		Node left = nodeQueue.poll();
		Node right = nodeQueue.poll();
		//创建新结点作为两结点的父结点
		Node parent = new Node(left.weight + right.weight,left,right);
		nodeQueue.add(parent);
	}
	root = nodeQueue.poll();//当结点队列只剩最后一个结点时，这个结点就是根节点。
} 

//按照前序遍历输出
public void output(Node head){
	if(head == null){
		return;
	}
	System.out.println(height.weight);
	output(head.lChild);
	output(head.rChild);//递归
}
public static class Node implements Comparable<Node>{
	int weight;
	Node lChild;
	Node rChild;
	
	public Node(int weight){
		this.weight = weight;
	}
	public Node(int weight, Node lChild, Node rChild){
		this.weight = weight;
		this.lChild = lChild;
		this.rChild = rChild;
	}
	@Overide
	pubic int compareTo(Node o){
		return new Integer(this.weight).compareTo(new Integer(o.weight));//排序
	}
}

public static void main(String[] args){
	int[] weight = {2,3,7,9,18,25};
	HuffmanTree huffmanTree = new HuffmanTree();
	huffmanTree.createHuffman(weights);
	huffmanTree.output(huffmanTree.root);
}

转载自：漫画：什么是 “哈夫曼树” ？— 算法与数据结构