tc-srm704-div1-500 解题报告

题意：
给定n,K。有q组询问，第i组询问是求 ∏nj=1xj(0≤xj<K)=vi 的解的数量。
1≤n≤50,1≤K≤109,1≤q≤10000

我本来是这样想的：
显然最终答案只与gcd(v,K)有关。
那么令f(i,j)为前i个数乘积是与n的gcd是j的某个数的方案数，那么 f(i,j)=∑d|jf(i−1,d)dϕ(d) 。
首先 f(i−1,d) 其乘积可能的取值有 ϕ(d) 个，设其为x，再乘上第i个数为y，乘积为z，即 xymodK=z,xdy=zd(modKd),y=zdxd−1(modKd) ，即对于任意z，y都有 KKd=d 种取值。
这样时间复杂度就是 O(n(K的约数个数)2+qlogK) ，虽然说约数个数的估计一般是 O(n−√) ，但这是一个非常松的上界， 109 以内约数个数最多有1000左右，所以并不会有问题。

但是我们可以考虑中国剩余定理，若 K=∏pa11pa22... ，那么模K意义下的答案就是模 pa11,pa22... 意义下的答案的乘积，所以我们可以对每个质因子分别dp再乘起来，这样的话 ϕ 也变得非常好算了。
这样时间复杂度就是 O(nlog2K+qlogK) 。

总结：
遇到模一个合数的时候，一定要想一想能不能用中国剩余定理！