计算机组成原理复习（五）

计算机组成原理之数字

第六章 计算机的运算方法

6.1有符号数和无符号数

一.无符号数
寄存器的位数（机器字长）反映了符号数的表示范围。
以机器字长为16位为例，无符号数可表示数据范围为0——65535，有符号数-32678——+32678
二.有符号数
1.机器数与真值
真值（带符号的数）----------- 机器数（符号为数字化的数）
+0.1011-----------------------------0 1011
-0.1011------------------------------1 1011
+1100--------------------------------01100
-1100---------------------------------11100
PS：上面四个例子都是定点数的表示方式，前两种是在小数定点机中的表示，后两种是在整数定点机中的表示。在计算机中无法直接表示出小数点的位置，故在计算机设计的时候以约定的方式固定小数点的位置。在小数定点机中小数点被约定在符号位之后，即上面标示的空格位置；在整数定点机中小数点的位置被约定在数值最后。
2.原码表示法（带符号的绝对值表示）
定义：整数

       【X】原=0，X     （0<=X<2^n）
       【X】原=2^n-X     (-2^n<X<=0)
        如+1100表示为 0,1100
        -1100表示为 1，1100

小数

【X】原=X（0<=X<1）
【X】原=1-X （-1<X<=0）
如+0.1100表示为0.1100
-0.1011表示为1.1011

注意，原码中的0有两种表示方式
【+0】原=0,0000；【-0】原=1,0000（数值位位数取决于机器字长）
【+0.0000】原=0.0000；【-0.0000】原=1.0000
源码的特点：简单直接，但在运用原码计算时，操作过程比较复杂。
3.补码表示法
（1）补的概念
通过时钟建立模的概念：-3==+9（mod12）-4==+8（mod 12）
结论：一个负数加上模即为该负数的补数；一个正数和一个负数互为补数时，他们的和为模的值；正数的补数仍为其自身；两个互为补数的数分别加上模结果仍互为补数。
（2）补码定义
整数

       【X】补=0，X         （0<=X<2^n）
       【X】补=2^(n+1)+X     (-2^n<X<=0)(mod 2^(n+1))
        如+1100表示为 0,1100
        -1100表示为 1，0100

小数

【X】补=X（0<=X<1）
【X】补=2+X （-1<=X<0）（mod 2）
如+0.1100表示为0.1100
-0.1011表示为1.0101

注意，小数位数或精度受到寄存器位数影响
（3）求补码的快捷方式
X为真值，
当真值为正时，【X】原=【X】补
当真值为负时，【X】补=【X】原 各位取反加1，【X】原=【X】补 各位取反加1

注意！
【-0】补=【+0】补
根据小数补码定义知【-1.0000】补=2+X=10.0000-1.0000=1.0000，但是-1没有原码形式

4.反码表示法
定义
整数

       【X】反=0，X     （0<=X<2^n）
       【X】反=2^（n+1）-1+X     (-2^n<=X<=0)（mod 2^（n+1））
        如+1100表示为 0,1100
        -1100表示为 1，0011

小数

【X】反=X（0<=X<1）
【X】反=(2-2^-n)+X （-1<X<0）（mod 2-2^-n）
如+0.1100表示为0.1100
-0.1011表示为1.0100

注意：【+0】反=0,0000；【-0】反=1,1111

三种机器数表示的最高位为符号位，书写上用“，”或“.”将符号位与数值位隔开。

对于正数，原码=反码=补码
对于负数，符号位为1，其数值部分有两种方式转变
原码各位取反，即变换反码
原码各位取反+1，即变换为补码

二进制代码范围：0000 0000------1111 1111
无符号数范围：0-------255
原码范围：-127--------+127
补码范围：-128--------+127
反码范围：-127--------+127

已知【Y】补，则【Y】补连同符号位在内每位取反末尾加1则变换为【-Y】补
5.移码表示法（在计算机中补码很难直接判断其值大小）
（1）移码定义
【X】移=2ⁿ+X（-2ⁿ<=X<2ⁿ）,X为真值，n为整数位数。即真值增加偏移量。

如X=+10100，【X】移=2^5+10100=1,10100；
X=-10100，【X】移=2^5-10100=0,01100；

移码只有整数定义，通常用来表示浮点数制表示的阶码部分
（2）移码和补码的比较
移码个补码之差一个符号位！！
（3）移码的特点
X=0时，【+0】移=1,0000=【-0】移=1,0000
当N=5时，移码可表示的最小真值为-2⁵=-100000
故移码【-100000】移=000000.故最小真值移码为全0

6.2 数的定点表示和浮点表示

一.定点表示：小数点按照约定的方式标出
定点机分为小数定点机和整数定点机。
二.浮点表示
（1）为什么要引入浮点表示？
1.定点表示编程困难；2.定点数的表示范围小；3.存储单元利用率低
（2）浮点表示的一般形式
N=S * r^j
S:尾数，j：阶码，r：尾数的基值。在计算机中S应为小数，可正可负，j应为整数，可正可负
当r=2时，N=11.0101=0.110101 * 2¹⁰=1.10101 * 2¹=0.00110101 * 2¹⁰⁰等
在计算机中，第二种和第三种为正确表示形式，且第二种被称为规格化数。
（3）浮点数的表示形式
| Jf | J1J2J3……Jm | Sf | S1S2S3……Sn |
其中Jf为阶符，J1——Jm为阶码的数值部分
Sf为浮点数符，S1——Sn为尾数的数值部分
小数点位置分别在Jm和Sf之间和Sf与S1之间。

如+11.0101表示为规格化浮点数形式为0.110101*2^10
在计算机中存储为00,10；00.110101

（4）浮点数的表示范围
上溢：阶码大于最大阶码，计算按出错处理
下溢：阶码小于最小阶码，计算按机器零处理
（5）浮点数的规格化形式（尾数基值不同，浮点数的规格化形式不同）
r=2时，尾数最高位为1；
r=4时，尾数最高两位不全为0；
r=8时，尾数最高三位不全为0；
r=16时，尾数最高4位不全为0；
（6）浮点数的规格化
以r=2为例，左规表示尾数左移一位，阶码减1；右规表示尾数右移一位，阶码加1.
由此尾数格式化后浮点数表示范围发生了变化（因为尾数最高位必须为1）。
基数r越大，可表示的浮点数范围越大，但是数值精度越低。
（7）机器零
1.当浮点数尾数为0，不论阶码值为多少，按机器零处理
2.当浮点数阶码等于或小于它能表示的最小阶码，不论尾数值多少，按机器零处理
3.当阶码用移码表示，尾数用补码表示时，机器零由上述两点可表示为0,0000；0.0000，有利于判0电路的实现
三 IEEE754标准
| S | 阶码（含阶符）| 尾数 |
S为数符，小数点位置在阶码和尾数之间。尾数必须为规格化表示，有效位最高位1被隐含。

6.3 定点运算

一 移位运算
1.移位的意义：左移为绝对值扩大，右移为绝对值减小
2.算数移位规则
正数：原码，反码，补码无论左移右移都添0.
负数：原码左右移添0；补码左移添0，右移添1；反码无论左右移都添1.
3.算数移位和逻辑移位的区别
算数移位是有符号数的移位，逻辑移位是无符号数的移位
逻辑右移是低位移丢，高位添0；逻辑左移是高位移丢，低位添0.
二 加减法运算
1.补码加减法公式
[A+B]补=[A]补+[B]补
[A-B]补=[A]补+[-B]补
2.溢出判断
（1）一位符号位判断溢出：参与操作的两个数符号相同，其结果的符号与原操作数的符号不同即为溢出。（最高有效位进位异或符号位进位=1）
（2）两位符号位判断溢出：结果的双符号位相同则未溢出；结果的双符号位不同则为溢出。
双符号位算术右移，低符号位参与运算，高符号位表示真正的符号位。
三 乘法运算
1.乘法可通过加法和移位实现；由乘数末位决定被乘数是否与原部分积相加，然后右移一位形成新的部分积，同时乘数右移一位（末位移丢）高位用来存放部分积的低位；被乘数只与部分积高位相加。
2.原码乘法（原码一位乘）
特点：绝对值运算，用移位次数来判断乘法是否结束（逻辑移位）。
3.补码乘法（补码一位乘，校正法和比较法）
（1）校正法：对于补码一位乘，乘数Y为正时，无论被乘数X正负，都可以按照原码乘法来计算，但是移位要按照补码移位规则；乘数Y为负时，按照原码乘法计算，补码移位规则，但是要在最后结果上加上【-X】补来校正。
（2）比较法（BOOTH算法）
1.被乘数与部分积一般取双符号位，且符号位参与运算；
2.乘数取单符号位来确定最后一步是否校正；
3.乘数末为增设附件位Yn+1，初始值为0；
4.根据Yn，Yn+1的值进行运算，步骤同校正法；
5.按上述算法进行到n+1步，但第n+1位不再移位，仅根据Y0和Y1比较结果确定是否校正；
6.按补码移位规则，部分积为正，右移添0；部分积为负，右移添1（双符号位只有次高符号位参与移位）
YnYn+1为00，Yn+1-Yn=0，部分积右移一位；
YnYn+1为01，Yn+1-Yn=1，部分积加【X】补，右移一位；
YnYn+1为10，Yn+1-Yn=-1，部分积加【-X】补，右移一位；
YnYn+1为11，Yn+1-Yn=0，部分积右移一位；
四 除法运算
原码除法：
约定：小数定点除法|被除数|<|除数|；整数定点除法|被除数|>|除数|;除数被除数不等于0。
（1）恢复余数法
（2）不恢复余数法（加减交替法）
方法：上商1,2Ri-Y*；上商0,2Ri+Y*
特点：上商n+1次，第一次上商判断溢出；移位n次，加法操作n+1次，用移位次数判断除法是否结束。

6.4 浮点四则运算

一 浮点加减运算
1.对阶（对阶原则：阶码应小阶向大阶看齐，这样不会出现溢出错误）；
2.尾数求和；
3.规格化：为增加有效数字位数，提高运算精度，必须将求和或求差后的尾数规格化；
（1）规格化数判断
S为正

原码：0.1XXXXXXXXXXXX
补码：0.1XXXXXXXXXXXX
反码：0.1XXXXXXXXXXXX

S为负

原码：1.1XXXXXXXXXXXX
补码：1.0XXXXXXXXXXXX
反码：1.0XXXXXXXXXXXX

无论正负，原码规格化数第一位为1；反、补码符号位和第一数值位相反；

特例
【-0.5】补=1.1000
【-1】补=1.0000（小数定点机无原码）

（3）
左规：尾数左移一位，阶码加1，直到数符和第一数位不同；
右规：尾数右移一位，阶码加1，直到数符和第一数位不同；
当尾数出现01.XXXXXXX或10.XXXXXX时，尾数溢出需右规。
4.舍入：为提高精度，要考虑尾数右移时丢失的数值位
（1）0舍1入法
（2）恒置1法
5.溢出判断：浮点数溢出完全由阶符判断
阶符为10时，下溢，按机器零处理；
阶符为01时，上溢，须做中断处理。

6.5 算术逻辑单元

一 ALU电路
二 快速进位链
1.并行加法器（数电知识）
由数电知识分析知对进位电路影响最大的因素是低级进位端
Ci=AiBi+（Ai+Bi）Ci-1
AiBi为本地进位，Ai+Bi为传送条件，可简写为Ci=di+tiCi-1
2.串行进位链
进位链：传送进位的电路即为进位链
以4位全加器为例，分析得知假设一个与非门延迟为Ty，则n位全加器进位延迟2nTy。
3.并行进位链
（1）单重分组跳跃进位链：n位全加器分为若干小组，小组中的进位同时产生，小组之间采用穿行进位。
（2）双重分组跳跃进位链
n位全加器分为若干大组，大组之间包含若干小组，每个大组中小组的最高进位同时产生，大组之间串行进位。