迷宫问题(MazePath)的求解——利用回溯法(backtracking)
迷宫问题(MazePath)的求解——利用回溯法(backtracking)
1. 迷宫问题的提法
- 迷宫问题是典型的图的搜索问题。
- 假设一个迷宫，只有一个入口和一个出口。如果从迷宫的入口到达出口，途中不出现行进方向错误，则得到一条最佳路线。
- 为此，用一个二维数组maze[m][n]来表示迷宫。
(1)当数组元素maze[i][j]=1 (0≤i≤m-1,1≤j≤n-1)，表示该位置是墙壁，不能通行。
(2)当数组元素maze[i][j]=0 (0≤i≤m-1,1≤j≤n-1)，表示该位置是通路，可以通行。 - 注：数组的第0行、第m-1行，第0列、第n-1列，必须是迷宫的围墙，即上述行列的所有坐标对应的数值必须为1(除了入口和出口两个位置的坐标对应的数值可以为0以外)，不能通行。
2. 回溯法的概念
2.1 回溯法的定义
- 回溯法(backtracking)是一种选优搜索法，又称为试探法，按选优条件向前搜索，以达到目标。
2.2 回溯法的思想
- 回溯法将问题的候选解按某种顺序逐一枚举和检验。
(1)当发现当前的候选解不可能是解时，就放弃它而选择下一个候选解。
(2)如果当前的候选解除了不满足问题规模要求外，其他所有要求都已满足，则扩大当前候选解的规模继续试探。
(3)如果当前的候选解满足了包括问题规模在内的所有要求，则这个候选解将成为问题的一个解。 - 注：
(1)当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。
(2)扩大当前候选解的规模并继续试探的过程叫做向前试探。
(3)用回溯法求解问题时常常使用递归方法进行试探，或使用栈帮助向前试探和回溯。
3. 用回溯法求解迷宫问题的算法原理
- 在求解迷宫问题的过程中，当沿某一条路径一步步走向出口但发现进入死胡同走不通时，就回溯一步或多步，寻找其他可走的路径，这就是回溯。
- 设任一时刻在迷宫中的位置[i][j]标记为X，X周围有8个前进方向，它实际是一系列交通路口，如果某一方向是0值，表示该方向有路可通，反之表示该方向已堵死。
为了有效地选择下一位置，可以将从位置[i][j]出发可能的前进方向预先定义在一个表内，按顺时针方向为N([i-1][j])，NE([i-1][j+1])，E([i][j+1])，SE([i+1][j+1])，S([i+1][j])，SW([i+1][j-1])，W([i][j-1])，NW([i-1][j-1])。
(1)前进方向示意图：
(2)前进方向表：Move[q].dir move[q].a move[q].b “N” -1 0 “NE” -1 1 “E” 0 1 “SE” 1 1 “S” 1 0 “SW” 1 -1 “W” 0 -1 “NW” -1 -1
4. 利用递归求解迷宫问题
4.1 迷宫的初始化及前进方向表的定义
文件：MazeConfig.h
#pragma once #include#include using namespace std; //位置坐标和前进方向序号的三元组结构定义 struct items { int x;//位置的x坐标 int y;//位置的y坐标 int dir;//前进方向的序号 }; //前进方向表的结构定义 struct offfsets { int a;//x方向的偏移 int b;//y方向的偏移 char *dir;//移动的方向描述 }; const int m = 14;//迷宫的行数 const int n = 17;//迷宫的列数 const int dir_count = 8;//前进方向的总数 const int pathmark = 6;//迷宫通路的标识值 static int mark[m][n];//访问标记数组 items entry = { 1, 0, 0 };//迷宫入口网格坐标 items exitus = { m - 2, n - 1, 0 };//迷宫出口网格坐标 //各个方向的偏移表定义 offfsets moves[dir_count] = { { -1, 0, "N" }, { -1, 1, "NE" }, { 0, 1, "E" }, { 1, 1, "SE" }, { 1, 0, "S" }, { 1, -1, "SW" }, { 0, -1, "W" }, { -1, -1, "NW" } }; //初始化迷宫 int Maze[m][n] = { { 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 }, { 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1 }, { 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1 }, { 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1 }, { 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1 }, { 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 }, { 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1 }, { 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1 }, { 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 }, { 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1 }, { 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1 }, { 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1 }, { 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0 }, { 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 } }; //初始化访问标记数组 void init_mark() { for (int i = 0; i < m; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { mark[i][j] = 0; } } } //打印迷宫 void print_maze() { cout << "======>MazePath" << endl; for (int i = 0; i < m; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { if (Maze[i][j] == pathmark) { SetConsoleTextAttribute(GetStdHandle(STD_OUTPUT_HANDLE), FOREGROUND_INTENSITY | FOREGROUND_GREEN); } else { SetConsoleTextAttribute(GetStdHandle(STD_OUTPUT_HANDLE), FOREGROUND_INTENSITY); } cout << Maze[i][j] << " "; } cout << endl; } SetConsoleTextAttribute(GetStdHandle(STD_OUTPUT_HANDLE), FOREGROUND_INTENSITY); }
4.2 迷宫问题的递归求解算法实现
文件：SeekPath.h
#pragma once #include "MazeConfig.h" //从迷宫入口[entry.x][entry.y]开始，寻找通向出口的一条路径。 //如果找到，则函数返回true。 //如果没找到，则函数返回false。 bool SeekPath(items tmp) { if ((tmp.x == exitus.x) && (tmp.y == exitus.y)) { SetConsoleTextAttribute(GetStdHandle(STD_OUTPUT_HANDLE), FOREGROUND_INTENSITY | FOREGROUND_GREEN); cout << "======>SeekPath Success" << endl; return true;//已到达出口，函数返回1。 } items next;//下一个网格的位置 for (int d = 0; d < dir_count; d++)//依次按每一个方向寻找通向出口的路径 { next.x = tmp.x + moves[d].a; next.y = tmp.y + moves[d].b; if ((Maze[next.x][next.y] == 0) && (mark[next.x][next.y] == 0)) { //下一位置可通，试探该方向 mark[next.x][next.y] = 1;//标记为已访问过 if (SeekPath(next) == true)//从此位置递归试探 { //cout << "(" << nextGrid.x << "," << nextGrid.y << ")," << "Direction:" << moveTable[i].dir << ", "; Maze[next.x][next.y] = pathmark; return true;//试探成功，逆向输出路径坐标 } } //回溯，换一个方向再试探通向出口的路径。 } if ((tmp.x == entry.x) && (tmp.y == entry.y)) { SetConsoleTextAttribute(GetStdHandle(STD_OUTPUT_HANDLE), FOREGROUND_INTENSITY | FOREGROUND_RED); cout << "======>SeekPath Fail" << endl; } return false;//无可通路到出口，函数返回0。 }
4.3 主函数(main函数)的实现
文件：main.cpp
#include "SeekPath.h" int main() { init_mark(); print_maze(); if (SeekPath(entry) == true) { //cout << "(" << entry.x << "," << entry.y << ")" << endl; Maze[entry.x][entry.y] = pathmark; } print_maze(); system("pause"); return 0; }
4.4 迷宫问题求解结果
- 控制台输出，迷宫通路是绿色高亮显示的路径。
5. 利用栈求解迷宫问题
5.1 链式栈的类定义及其操作的实现
文件：LinkedStack.h
#ifndef LINKED_STACK_H_ #define LINKED_STACK_H_ #includeusing namespace std; template <class T> struct LinkNode //链表结点类的定义 { T data; //数据域 LinkNode *link; //指针域——后继指针 //仅初始化指针成员的构造函数 LinkNode(LinkNode * ptr = NULL){ link = ptr; } //初始化数据与指针成员的构造函数 LinkNode(const T& value, LinkNode * ptr = NULL){ data = value; link = ptr; } }; template <class T> class LinkedStack { public: LinkedStack(); //构造函数 ~LinkedStack(); //析构函数 public: void Push(const T& x) ; //新元素x进栈 bool Pop(T& x); //栈顶元素出栈，并将该元素的值保存至x LinkNode * getTop() const; //获取栈顶结点 bool IsEmpty() const; //判断栈是否为空 void MakeEmpty(); //清空栈的内容 private: LinkNode *top; //栈顶指针，即链头指针 }; //构造函数 template <class T> LinkedStack ::LinkedStack() : top(NULL) { cout << "$ 执行构造函数" << endl; } //析构函数 template <class T> LinkedStack ::~LinkedStack() { cout << "$ 执行析构函数" << endl; MakeEmpty(); } //新元素x进栈 template <class T> void LinkedStack ::Push(const T& x) { LinkNode *newNode = new LinkNode (x); newNode->link = top; top = newNode; } //栈顶元素出栈，并将该元素的值保存至x template <class T> bool LinkedStack ::Pop(T& x) { if (true == IsEmpty()) { return false; } LinkNode *curNode = top; top = top->link; x = curNode->data; delete curNode; return true; } //获取栈顶结点 template <class T> LinkNode * LinkedStack ::getTop() const { return top; } //判断栈是否为空 template <class T> bool LinkedStack ::IsEmpty() const { return (NULL == top) ? true : false; } //清空栈的内容 template <class T> void LinkedStack ::MakeEmpty() { LinkNode *curNode = NULL; while (NULL != top) //当链表不为空时，删去链表中所有结点 { curNode = top; //保存被删结点 top = curNode->link; //被删结点的下一个结点成为头结点 delete curNode; //从链表上摘下被删结点 } } #endif /* LINKED_STACK_H_ */
5.2 迷宫的初始化及前进方向表的定义
文件：MazeConfig.h
#ifndef MAZECONFIG_H_ #define MAZECONFIG_H_ #include#include using namespace std; //位置坐标和前进方向序号的三元组结构定义 struct items { int x;//位置的x坐标 int y;//位置的y坐标 int dir;//前进方向的序号 }; //前进方向表的结构定义 struct offfsets { int a;//x方向的偏移 int b;//y方向的偏移 char *dir;//移动的方向描述 }; const int m = 14;//迷宫的行数 const int n = 17;//迷宫的列数 const int dir_count = 8;//前进方向的总数 const int pathmark = 6;//迷宫通路的标识值 static int mark[m][n];//访问标记数组 items entry = { 1, 0, 0 };//迷宫入口网格坐标 items exitus = { m - 2, n - 1, 0 };//迷宫出口网格坐标 //各个方向的偏移表定义 offfsets moves[dir_count] = { { -1, 0, "N" }, { -1, 1, "NE" }, { 0, 1, "E" }, { 1, 1, "SE" }, { 1, 0, "S" }, { 1, -1, "SW" }, { 0, -1, "W" }, { -1, -1, "NW" } }; //初始化迷宫 int Maze[m][n] = { { 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 }, { 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1 }, { 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1 }, { 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1 }, { 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1 }, { 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 }, { 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1 }, { 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1 }, { 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 }, { 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1 }, { 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1 }, { 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1 }, { 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0 }, { 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 } }; //初始化访问标记数组 void init_mark() { for (int i = 0; i < m; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { mark[i][j] = 0; } } } //打印迷宫 void print_maze() { cout << "======>MazePath" << endl; for (int i = 0; i < m; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { if (Maze[i][j] == pathmark) { SetConsoleTextAttribute(GetStdHandle(STD_OUTPUT_HANDLE), FOREGROUND_INTENSITY | FOREGROUND_GREEN); } else { SetConsoleTextAttribute(GetStdHandle(STD_OUTPUT_HANDLE), FOREGROUND_INTENSITY); } cout << Maze[i][j] << " "; } cout << endl; } SetConsoleTextAttribute(GetStdHandle(STD_OUTPUT_HANDLE), FOREGROUND_INTENSITY); } #endif /* MAZECONFIG_H_ */
5.3 迷宫问题的非递归求解算法实现
文件：SeekPath.h
#ifndef SEEKPATH_H_ #define SEEKPATH_H_ #include "MazeConfig.h" #include "LinkedStack.h" templatevoid MarkPath(LinkedStack * linkedStack) { LinkNode *curNode = linkedStack->getTop(); while (NULL != curNode) { items item = curNode->data; Maze[item.x][item.y] = pathmark; curNode = curNode->link; } } //从迷宫入口[entry.x][entry.y]开始，寻找通向出口[m][p]的一条路径。 bool SeekPath() { init_mark(); LinkedStack *linkedStack = new LinkedStack ; //设置工作栈 items tmp = entry; //初始化坐标方向为入口 items cur, next; linkedStack->Push(tmp); //初始化的坐标方向三元组进栈 while (linkedStack->IsEmpty() == false) //栈不为空时，继续进行搜索 { linkedStack->Pop(tmp); //退栈 cur.x = tmp.x; cur.y = tmp.y; cur.dir = tmp.dir; //当前位置坐标和下一个前进方向的序号 while (cur.dir < dir_count) //还有移动，继续移动 { next.x = cur.x + moves[cur.dir].a; next.y = cur.y + moves[cur.dir].b; next.dir = 0; //找下一个位置的坐标 if ((next.x == exitus.x) && (next.y == exitus.y)) //到达出口 { SetConsoleTextAttribute(GetStdHandle(STD_OUTPUT_HANDLE), FOREGROUND_INTENSITY | FOREGROUND_GREEN); cout << "======>SeekPath Success" << endl; linkedStack->Push(cur); linkedStack->Push(exitus); MarkPath(linkedStack); delete linkedStack; return true; } if ((Maze[next.x][next.y] == 0) && (mark[next.x][next.y] == 0)) { mark[next.x][next.y] = 1;//标记为已访问过 tmp.x = cur.x; tmp.y = cur.y; tmp.dir = cur.dir; //记忆已通过位置和前进方向 linkedStack->Push(tmp); //进栈 cur.x = next.x; cur.y = next.y; cur.dir = next.dir; //移动到下一个网格，在各个方向试探 } else { cur.dir++; //试探下一个方向 } } } SetConsoleTextAttribute(GetStdHandle(STD_OUTPUT_HANDLE), FOREGROUND_INTENSITY | FOREGROUND_RED); cout << "======>SeekPath Fail" << endl; delete linkedStack; return false; } #endif /* SEEKPATH_H_ */
5.4 主函数(main函数)的实现
文件：main.cpp
#include "SeekPath.h" int main(int argc, char* argv[]) { print_maze(); SeekPath(); print_maze(); system("pause"); return 0; }
5.5 迷宫问题求解结果
- 控制台输出，迷宫通路是绿色高亮显示的路径。
参考文献：
[1]《数据结构(用面向对象方法与C++语言描述)(第2版)》殷人昆——第三章
[2] 百度搜索关键字：迷宫问题、回溯法、试探法