已知三角形三点坐标求一边上的高（海伦公式和坐标推导）

最近研究轨迹压缩算法，使用道格拉斯－普克算法进行压缩时，需要根据三点坐标求三角形的高，总结了下有下面两种方法：

1、根据海伦公式求面积

已知三点坐标可以求出三边长。 然后根据下面的推导过程可以得出海伦公式：

根据求出的面积S和BC边的边长可以求出高AD。 

2、直接根据坐标推导出面积（积分原理，适用于平面直角坐标系） 

已知A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3) ,求ABC的面积，如下图：

 

可以先求梯形AX1X2B和梯形BX2X3C的面积和，然后减去梯形AX1X3C的面积，就可以得到三角形ABC的面积，这其实是积分思想的应用，用这种方法可以计算任意多边形的面积。（注意：如果∠ACB是钝角，即AC边上的高落在AC延长线上如右上图结果一样）

S=(y1+y2)(x2-x1)/2+(y2+y3)(x3-x2)/2-(y1+y3)(x3-x1)/2=(x2y1-x1y2+x3y2-x2y3-x3y1+x1y3)/2 ;

然后根据坐标求出边长，即可得每边对应的高。

3、Javascript代码实现 

//计算垂距（start代表A点，center代表B点，end代表C点）
function distToSegment(start, end, center){
	//下面用海伦公式计算面积
	let a = Math.abs(calculationDistance(start, end));
	let b = Math.abs(calculationDistance(start, center));
	let c = Math.abs(calculationDistance(end, center));
	let p = (a + b + c) / 2.0;
	let s = Math.sqrt(Math.abs(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)));

	return s * 2.0 / a;
};

总结比较 

上面两种方法其实计算量差不多，方法2略胜一筹，因为只需要计算所需那条边对应的边长即可（但是坐标推算只适用于平面直角坐标系，并不适用于经纬度），而使用海伦公式则要计算三边边长。