3D几何处理 | 点云补洞算法+代码分享

3D几何处理 | 点云补洞算法+代码分享

导读 : 今天介绍的是2017年发表在the virtual computer上的点云补洞算法，针对点云的补全和补洞算法是比较少见的，大多数算法都只是针对网格的补洞。而针对点云的补洞在三维重建中能够很有效的应用，特别是如泊松重建中因遮挡导致的点云稀疏或缺失的区域，但点云补洞能够很有效的解决该区域的重建问题。点云补洞本质上是个病态问题，所有的补洞方式只能根据洞周围点的特征来补全，但在几何结构相对简单区域，点云补洞能有很好的表现。

算法论文地址：yanqingan.github.io/docs/tvc16_shape.pdf
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摘要

这篇文章提出了一种全新的点云补洞方法，能够在平滑和尖锐的地方都有较好的补洞表现，该方法模仿物理上的扩散模型，将一次洞的边缘收缩分解为法向传播和顶点位置传播，并根据其相应的约束来保持其平滑或尖锐的特性。通过迭代上述过程直到没有新的边缘生成，即完成点云补全。

1.简介

点云模型在过去20多年中有很广泛的应用。直到现在，尽管扫描仪等获取设备的性能有很大的提升，但是或多或少在其扫描的模型上存在有不同的空洞区域。此外，因为物体表面磨损和损坏，也会形成空洞区域。针对点云补洞这个病态问题，现有的大部分工作基于网格步面片的方式。而直接在点云上补洞的相对较少，而且大多只能生成平滑的补洞结果。本文模仿物理中能量扩散的方式进行点云补全，能够有效的生成平滑和尖锐的补洞结果，如下图1所示：

2.算法

​ 本文将洞边缘收缩主要分为两步：

• 法向传播：用于控制填充点的方向和恢复的表面的形状。

• 位置传播：在一次边缘收束中生成新的边界点。

  这两个步骤在补洞算法中交替执行，且能够相互优化。这种交替传播方式能够将法相约束插入到法向传播步骤中，以恢复空洞的尖锐特征。

2.1 算法总览

​ 给定带法向的点云作为输入，本文算法首先对输入点云进行预处理去噪，然后提取空洞的边界点，并通过迭代传播的方式缩小空洞区域，直到没有新点生成。

2.2 预处理

​ 为了得到有效的洞的边界，本文采用了二阶段的处理去噪，同时对点云位置和其法向进行双边滤波 [1]操作，从而获得去噪的后的带法向的点云。

2.3 洞边界确定

​ 本文采用分而治之的策略进行边界提取，首先在边界上手动顺序选择少量特征点$f_i’ $其中$ (i = 1,…,m)$，将这些点输入边界点集合中$B’$中。 因此任意两相邻点间可以看作时局部线性的。

​ 对于相邻点$f_i^{\prime }{f}_{i+1}^{\prime }$构成的线段，计算其中点$M$， 并选择距离最近的边界上的点$b_m^{\prime }$，如果该点是新的点，则将该店插入到点集中$f_i^{\prime }$和$f_{i+1}^{\prime }$之间。通过迭代直到所有相邻点间距离小于阈值，则获得最终的边界点集，以此作为空洞边界。

2.4 法向传播

为了计算收缩后的空洞边界，本文在采样的边界点集上构建法向传播。新填充的点$b_i$的法向计算方式为：


$N_r(b_i)$表示$b_i$附近半径为r以内的邻近点。$g1$和$g2$分别是标准差为${\sigma }_d$和${\sigma }_n$的高斯权重。$n_i^{\prime }$为距离$bi$最近的上一轮边界上的点的法向。

2.5 顶点位置采样

以传播的法向作为指导，一轮边界收束的采样点需满足两个目标：

• 新生成的边界与周围区域的表面相匹配
• 新填充的点应该保持合理的分布，保持连续实际的收缩，使得空洞区域变小

为此，文章定义$E1$用来度量填充点和周围表面的差异。同时引入弹力来填充点的位置，一个好的候选点应该在受力平衡点附近且受到最小的合力$E2$。结合两者，建立了以此边界收缩的目标函数：

3. 生成新的孔洞边界

​ 虽然上述算法给除了顶点采样的目标函数，但是直接求解是非常困难的，因为空间中有无数的位置能满足该函数最小化。因此文章提出了间接的采样方法。

​ 首先，通过上一轮生成的边界点，生成新的边界点的控制曲线。在控制曲线约束下，本轮采样变为沿着控制曲线的1-D采样。 采样到的新的顶点是目标函数（3）的近似解。

​ 然后，对每个采样点根据其邻域和（1）中计算的法向进行位置优化，直到收敛。

3.1 计算洞边缘控制曲线

​ 定义弹力：文章利用高斯函数来对弹力进行仿真并控制邻近点间距离的权重。$O_{bi}^{\prime }$表示新的候选点$bi$沿着上一轮边界点$b_i^{\prime }$沿着该点传播方向的平衡点，在$O_{bi}^{\prime }$位置受到的邻域其他点的弹力如下式（4）：

其中$O_q$是邻近点$q$沿着$q{O}_{bi}^{\prime \prime }$ 的平衡点，如图Fig.3所示。

事实上，一旦给定邻域点$q$，则从点$q$受到的弹力仅与$O_{bi}^{\prime }$到$O_q$的符号距离有关,其正向为斥力，负向为引力，因而可简化为式 (5)，而平衡点的计算公式为式 (6)

边界控制曲线： 边界控制曲线有上一轮生成的边界点计算得到的平衡位置得到。对于边界点$b_i^{\prime }$ 其收缩方向为该点法向与边界方向的叉乘。从而根据式（5）（6）可计算出所有新的平衡点以及该点收到的弹力，并删除受到邻域斥力的平衡点，剩下的作为新一轮的边界曲线采样点。

3.2 位置优化

为保证生成的采样点与局部表面形状匹配，本文提出了位置优化方法，如式（7）

所有的边界点受到邻域点的沿着其法向的引力作用，到新的平衡点，其中$g_1$和$g_2$是和式（1）类似的高斯权重，则优化后的顶点位置为：

注意到位置优化后的点的法向与表面不匹配，而重新计算后的法向也会导致优化位置的偏离。因此，理论上可进行交替优化的方式，使之达到收敛。而在实际上收敛速度会比较快，因而采用两轮交替优化即可。

3.4 保持特征一致

在尖锐的洞区域，采用上述方法容易因其区域交叠的问题，如Fig.7所示，可通过设置相应的阈值，在出现位置偏移反向的时候，将其进行剔除，即可剔除该区域多余的顶点。

算法结果

​ 文章在不同的模型上进行了测试，如图Fig.1 所示，不同半径的邻域取值对补洞表面的收敛速度不同。FIg.8 则展示了不同的同算法相对本文算法的补洞结果。本文算法在尖锐和平滑区域都有很好的表现。

特别是在泊松重建之前，本文算法通过提前对点云进行空洞填充，再进行播送重建后能够很好的降低模型空洞粘连的问题，提高模型质量。

代码获取

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参考文献

[1] Fleishman S, Drori I, Cohen-Or D (2003) Bilateral mesh denoising. In: ACM Transactions on Graphics (TOG), ACM, vol 22, pp 950–953