算法和算法分析（时间、空间复杂度）

第二章   算法和算法分析

程序 = 数据结构 + 算法    要想学好程序设计，可见算法是必不可少的。

算法（algorithm） 是为了解决某类问题而规定的一个有限长的操作序列。

算法的五个特性：

• 有穷性：指算法在执行完有限步骤之后，自动结束而不会出现死循环，并且每个步骤都在可接受时间内完成。
• 确定性：算法的每一步骤都具有正确的含义，不会出现二义性。
• 可行性：算法的每一步都是可行的，也就是说，每一步都能通过执行有限次数完成。
• 输入输出：一个算法有零个或多个输入、一个算法有一个或多个输出。

算法设计的要求：

• 正确性：没有歧义，能正确反映问题需求、能够得到问题的正确答案。
• 可读性：便于阅读、理解和交流。
• 健壮性：当输入数据不合法时，也能做出相关处理，而不至于出现莫名其妙的结果。
• 高效性：时间高效、空间高效。

略：事前、事后分析估算法……我肯定选事前来做算法分析………………

衡量算法效率的度量方法分为时间复杂度和空间复杂度。

冰与火之歌：【时间】与【空间】复杂度

时间复杂度：在进行算法分析时，语句总的执行次数T（n）是关于问题规模n的函数，进而分析T（n）随n的变化情况并确定T（n）的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作：T（n）= O（f（n））。它表示随问题规模的增大，算法执行时间的增长率和f（n）的增长率相同，称为算法的渐进复杂度，简称为时间复杂度。其中f（n）是问题规模n的某个函数。这样用大写 O（） 来体现算法时间复杂度的记法，我们称为大O记法。

 推导大O阶的方法：

• 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
• 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
• 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。
• 最后得到的结果就是大O阶。

下面举一些例子：

例1 常数阶  O（1）

{x++;s=0;}

for(int i=0;i<1000;i++)
    x++;

第一个语句只有两句语句，所以T（n）= O（1）；

第二个语句有一个for循环，但是循环次数是固定的1000次，所以T（n）= O（1）。

例2 线性阶 O（n）

for(int i=0;i

显而易见， 只有一个循环，循环条件是从1到n，所以T（n）= O（n）。

例3 平方阶  O（）

x=0;
y=0;
for(k=1;k<=n;k++)
    x++;
for(i=1;i<=n;i++)
    for(j=1;j<=n;j++)
        y++;

直接找最复杂的语句块，一看就是循环的嵌套，循环的条件都是从1到n，所以可得：T（n）= O（）。

例4 对数阶 O（log2 n）

for(i=1;i<=n;i*=2)
    x++;

循环的条件是从1到n，但是每次循环i*=2，所以T（n）= O（log2 n）。

常见的时间复杂度如图所示：

所耗时间从小到大依次是：

 我们可以画一个函数图像清晰的看每个复杂度的时间对比：

算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，算法空间复杂度的计算公式记作：S（n）= O（f（n）），其中，n为问题规模，f（n）为语句关于n所占存储空间的函数。

通常，鉴于运算空间较为充足，我们都会用空间来换时间。 所以，人们都以算法的时间复杂度作为算法优劣的衡量指标。

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本博客内容借鉴于：

①《数据结构》  作者：严蔚敏

②《大话数据结构》 作者：程杰