狄洛尼三角剖分

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编者按：本文作者奇舞团前端开发工程师魏川凯。

狄洛尼三角剖分（Delaunay triangulation）是指离散分布的点集P的其中一种三角剖分DT(P)，可以使得点集P中没有任意一个点严格处于任意一个三角形的外接圆的内部。狄洛尼三角剖分构建的三角网可以尽量避免狭长三角形的出现，有效提高逼近精度，使得网格整体质量保持最优，在三维显示，图像处理，人工智能等领域被广泛运用。

上图为利用三角部分构成三角网拟合我国某山脉地形。

定义

• 空圆性：DT(P)是唯一的（任意四点不能共圆），在DT(P)中，任意三角形的外接圆范围内不会有其它点存在。

• 最大化最小角：在点集所有可能的三角剖分中，狄洛尼三角剖分所形成的三角形的最小角最大，也可以说在两个相邻的三角形构成凸四边形的对角线，在相互交换后，两个内角的最小角不再增大。

性质

• 最外部的三角形边的集合是点集的凸包。

• 以最接近的三个点形成三角形，且各线段（三角形的边）皆不相交。

• 不论从区域何处开始构建，最终都将得到一致的结果（点集中任意四点不能共圆）。

• 任意两个相邻三角形构成的凸四边形的对角线如果可以互换的话，那么两个三角形六个内角中最小角度不会变化。

• 在点集所有可能的三角剖分中，狄洛尼三角剖分所形成的三角形的最小角最大，至少狄洛尼三角剖分中的最小角与其他三角剖分中的最小角相等。

• 新增、删除、移动某一个顶点只会影响邻近的三角形。

• 与泰森多边形（Voronoi图）对偶。

算法

首先回顾一下前端开发模式的演进，我觉得主要有四个阶段。实现狄洛尼三角剖分的算法有很多，我们这里介绍其中一种：分治算法。这种算法主要过程是递归的分割点集直到子集大小不超过三，然后在合并的过程中逐渐选取最优点连接左右子集，最终完成三角剖分。

一般分为一下几个步骤完成。

• 将所有点的数组按照x坐标升序排序，如下图是排好序的点集。

• 将有序的点集递归的分成两个部分，直到子集大小不超过3。然后将这些子点集剖分成为一个三角形或者一条线段。

• 把已经剖分好的左右子点集可以依次合并。合并后的剖分包含左子点集的边（红色），右子点集的边（绿色），连接左右剖分产生的新的边（蓝色）。对于合并后的三角剖分，为了维持狄洛尼三角剖分原则，我们可能需要删除部分左子集边和右子集边。

• 合并左右子集首先是要确定一条基线（base edge），基线是最底部的且不与任何左右子集边相交的一条边。

• 接着就是确定紧接当前基线的下一条基线。以右子集为例，下一条基线为为右子集中的可能点与当前基线左端点构成。对于这些可能的端点，我门有两个检验标准：当前基线与可能点的夹角小于180°，当前基线两个端点与这个可能点的外接圆不能包好其他的可能点。

如上图所示，点I包含是其他可能点不能作为下一个基线的端点，点G不包含其他可能点可以作为下一个基线的端点。同时，左子集也做同样的处理。

当左右子集都不存在符合标准的可能点时，合并完成。在添加下一条基线的时，同时删除与其相交的左右子集的边。

当左右子集均存在可能点时，判断左子集的可能点的外接圆是否包含右子集的点，如果包含则不符合，右子集同理。如下图，点D的外接圆包含右子集的点，点G的外接圆不包含左子集的点，所以点G作为下一个基线的端点。

• 重复以上步骤，直到合并完成。

以下为主要步骤的代码实现：

/**
 * 下面有几个工具函数没有列出，这里说明一下
 * dist(a, b) - 计算两点之间的距离
 * cross(0, a, b) - 计算向量OA和OB的叉积
 * inCircle(a, b, c, p) - 点P是否在点a,b,c三点的外接圆内
 * interp(a, b, c, d) - 判断线段ab，cd是否相交
 */
function delaunayTriangulation(l: number, r: number, points: Point[], edges: Edge[]) {
  if (r - l <= 2) {
    // 将所有的点两两相连
    for (let i = l; i <= r; i++) {
      for (let j = i + 1; j <= r; j++) {
        addEdge(i, j, edges);
      }
    }
    return;
  }
  let mid = ~~((l + r) / 2);
  delaunayTriangulation(l, mid, points, edges);
  delaunayTriangulation(mid + 1, r, points, edges);
  let founded = false;
  let currentL = l,
    currentR = r;
  // 查找基线(base edge)
  while (!founded) {
    founded = true;
    const pL = points[currentL],
      pR = points[currentR];
    // 查找左子集最底部的点
    for (let i = 0; i < edges[currentL].next.length; i++) {
      const tIdx = edges[currentL].next[i];
      const t = points[tIdx];
      const d = cross(pR, pL, t);
      if (d > 0 || (d === 0 && dist(pR, t) < dist(pR, pL))) {
        currentL = tIdx;
        founded = false;
        break;
      }
    }
    if (!founded) continue;
    // 查找右子集最底部的点
    for (let i = 0; i < edges[currentR].next.length; i++) {
      const tIdx = edges[currentR].next[i];
      const t = points[tIdx];
      const d = dir(pL, pR, t);
      if (d < 0 || (d === 0 && dist(pL, t) < dist(pR, pL))) {
        currentR = tIdx;
        founded = false;
        break;
      }
    }
  }
  // 添加base edge
  addEdge(currentL, currentR, edges);
  while (true) {
    const pL = points[currentL],
      pR = points[currentR];
    let potential = -1,
      side = 0;
    // 查找可能点， 可能点与base edge小于180°， 可能点和base edge两个端点构成的圆内不能包含其他的点
    for (let i = 0; i < edges[currentL].next.length; i++) {
      const tIdx = edges[currentL].next[i];
      const t = points[tIdx];
      if (
        cross(pL, pR, t) > 0 &&
        (potential == -1 ||
          inCircle(pL, pR, points[potential], points[tIdx]) < 0)
      ) {
        (potential = tIdx), (side = -1);
      }
    }
    for (let i = 0; i < edges[currentR].next.length; i++) {
      const tIdx = edges[currentR].next[i];
      const t = points[tIdx];
      if (
        cross(pR, t, pL) > 0 &&
        (potential == -1 ||
          inCircle(pL, pR, points[potential], points[tIdx]) < 0)
      ) {
        (potential = tIdx), (side = 1);
      }
    }
    // 不存在任何可能点，合并完成
    if (potential == -1) break;
    if (potential !== -1) {
      // 删除与下一条base edge相交的边
      if (side == -1) {
        for (let i = 0; i < edges[currentL].next.length; i++) {
          const tIdx = edges[currentL].next[i];
          const t = points[tIdx];
          const d = edges[tIdx];
          if (interp(pL, t, pR, points[potential])) {
            d.next.splice(d.next.indexOf(currentL), 1);
            edges[currentL].next.splice(i, 1);
            i--;
          }
        }
        currentL = potential;
      } else {
        for (let i = 0; i < edges[currentR].next.length; i++) {
          const tIdx = edges[currentR].next[i];
          const t = points[tIdx];
          const d = edges[tIdx];
          if (interp(pR, t, pL, points[potential])) {
            d.next.splice(d.next.indexOf(currentR), 1);
            edges[currentR].next.splice(i, 1);
            i--;
          }
        }
        currentR = potential;
      }
      // 添加下一个base edge
      addEdge(currentL, currentR, edges);
    }
  }
}

相关链接

• https://en.wikipedia.org/wiki/Delaunay_triangulation

• http://www.geom.uiuc.edu/~samuelp/del_project.html

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