回溯问题：N皇后问题 (C, Python)
回溯问题：N皇后问题
- 思路
- Python 基础解法
- C 基础解法
- Python 简化方法
N皇后问题是个经典问题，在 N*N 的国际象棋棋盘内放下N个皇后有几种解法，使其不能互相攻击，属于典型的回溯问题。国际象棋中的皇后可以横、竖、斜走，很强大。
（好久没下了）
思路
2x2 和 3x3 棋盘肯定不行，斜线都会碰到；从 4*4 棋盘开始有解，并且增速很快。
为了方便解释，直接用二维数组表示。1表示放置的位置，空和0表示没放，x表示检查过不行（也是0）。代码中 i 表示行，j 表示列。
算法核心两个函数即可：place 用于检查目标位置 [i, j] 是否能放，即同一行、同一列、斜线（包括四个方向）有没有1，直接用粗暴方法就好。queen 用于递归循环和回溯，从 [0, 0] 开始放皇后，然后找第1行哪个位置能放，如果第1行能放再找第2行哪里能放，当 i == 边长（注意数从0开始）就是找到了解法。每一行找到能放的地方后递归进入下一行，递归完后进行回溯，寻找本行能否有另一个可放置位置。
流程演示：
在 [0, 0] 放下
找第1行哪里能放，找到 [1, 2]；找第2行哪里能放，没有位置回退
第1行放 [1, 2] 不行了，回溯后标记为0；在 [1, 3] 也可以放下，然后找第2行找到 [2, 1] 可以放，但是第3行没地方放，回退
4x4 棋盘放在 [0, 0] 不行，就在 [0, 1] 放第一个，慢慢检查，找到的第一个解
其实难点不在检查在回溯不丢失可能解，当问题数据大时因为递归复杂度很高。我试了下我的 MBP 15 (Mid 2014) 跑8/9个卡一下就出来，但是10个就要时间了。
Python 基础解法
# coding=utf-8
"""
Python “没有数组”只有广义表
二维“数组”格式 [[], [], []]
for 两变量循环时要用 zip 把俩循环范围包装起来
"""
def place(i, j, board):
lent = len(board)
# 行，直接检查每个 list 有几个1
if board[i].count(1) != 0:
return False
# 列，每个 list 第j号元素是不是1
for n in range(lent):
if board[n][j] == 1:
return False
# 左上
for n1, n2 in zip(range(i-1, -1, -1), range(j-1, -1, -1)):
if board[n1][n2] == 1:
return False
# 右下
for n1, n2 in zip(range(i+1, lent), range(j+1, lent)):
if board[n1][n2] == 1:
return False
# 右上
for n1, n2 in zip(range(i-1, -1, -1), range(j+1, lent)):
if board[n1][n2] == 1:
return False
# 左下
for n1, n2 in zip(range(i+1, lent), range(j-1, -1, -1)):
if board[n1][n2] == 1:
return False
return True
def queen(i, board):
if i == len(board):
print(board)
return
# 找每一行第几列能放
for j in range(len(board)):
if place(i, j, board):
board[i][j] = 1
# 进入递归找下一行可放位置
queen(i+1, board)
# 递归完后回溯
board[i][j] = 0
n = int(input("皇后个数？"))
board = []
# 初始化二维数组
for n1 in range(n):
board.append([])
for n2 in range(n):
board[n1].append(0)
queen(0, board)
效果如下，懒得做输出美工…
C 基础解法
#include 和 Python 的一样，就是语言变了，处理二维数组比较难受。稍微改了一下输出，变成密恐福音。C++ 和 C 写法类似，就是有高级些功能比如用 vector 和 cout，推荐 C++ 不要混用 C 写法。
Python 简化方法
因为每一行只有一个位置能放，可以只用一维数组存储，数组第n个元素的值代表第n行哪一列能放。
检查函数也可以简化，稍微需要一些数学逻辑。设被检查位置相当于二维数组 [row, col]，同列的情况即一维数组存在与 col 相同的值，对角线冲突情况则是行之差和列之差绝对值相等。
比如下面：真实数组里是 [?, 1, 2, 0]，行之差为1，列之差为1，冲突。
再看一种例子：真实数组里是 [3, 2, ?, ?]，行之差为 -1，列之差为 1，也是冲突的。
C/C++ 的就懒得写了。
def check(board, row, col):
for i in range(row):
if board[i]-col == 0 or abs(board[i]-col) == abs(i-row):
return False
return True
def queen(board, row):
if row >= len(board):
print(board)
for col in range(len(board)):
if check(board, row, col):
board[row] = col
queen(board, row+1)
n = int(input("皇后数量？"))
board = [0 for i in range(n)]
queen(board, 0)