史上最详细的Hough直线检测
之前写过检测车道线的文章：https://blog.csdn.net/u010712012/article/details/84780943
最后可以检测出两条车道线，但是，本课题的目的是通过提供一张图片，经过图像处理操作，经过算法模型得到违章的车辆情况，所以不能有人为的因素。
所以这里再次回顾一下检测直线的算法之——Hough变换。
Hough直线检测
1.直线坐标参数空间
在图像x−y坐标空间中，经过点( x i x_{i} xi, y i y_{i} yi)的直线表示为：
y i = a x i + b − − − − − ( 1 ) y_{i}=ax_{i}+b -----(1) yi=axi+b−−−−−(1)
其中，参数a为斜率，b为截矩。
通过点( x i x_{i} xi, y i y_{i} yi)的直线有无数条，且对应于不同的a和b值。
如果将 x i x_{i} xi和 y i y_{i} yi视为常数，而将原本的参数a和b看作变量，则式子(1)可以表示为：
b = − x i a + y i − − − − − ( 2 ) b=−x_{i}a+y_{i}-----(2) b=−xia+yi−−−−−(2)
这样就变换到了参数平面a−b。这个变换就是直角坐标中对于( x i x_{i} xi, y i y_{i} yi)点的Hough变换。
该直线是图像坐标空间中的点( x i x_{i} xi, y i y_{i} yi)在参数空间的唯一方程。考虑到图像坐标空间中的另一坐标( x j x_{j} xj, y j y_{j} yj)，它在参数空间中也有相应的一条直线，表示为：
b = − x j a + y j − − − − − ( 3 ) b=−x_{j}a+y_{j}-----(3) b=−xja+yj−−−−−(3)
这条直线与点( x i x_{i} xi, y i y_{i} yi)在参数空间的直线相交于一点( a 0 a_{0} a0, b 0 b_{0} b0)，如图所示：
图像坐标空间中过点( x i x_{i} xi, y i y_{i} yi)和点( x j x_{j} xj, y j y_{j} yj)的直线上的每一点在参数空间a−b上各自对应一条直线，这些直线都相交于点 ( a 0 , b 0 ) (a_{0},b_{0}) (a0,b0),而a0、b0就是图像坐标空间x−y中点( x i x_{i} xi, y i y_{i} yi))和点( x j x_{j} xj, y j y_{j} yj)所确定的直线的参数。
反之，在参数空间相交于同一点的所有直线，在图像坐标空间都有共线的点与之对应。根据这个特性，给定图像坐标空间的一些边缘点，就可以通过Hough变换确定连接这些点的直线方程。
具体计算时，可以将参数空间视为离散的。建立一个二维累加数组A(a,b),第一维的范围是图像坐标空间中直线斜率的可能范围，第二维的范围是图像坐标空间中直线截矩的可能范围。开始时A(a,b)初始化为0，然后对图像坐标空间的每一个前景点(xi,yi),将参数空间中每一个a的离散值代入式子(2)中，从而计算出对应的b值。每计算出一对(a,b),都将对应的数组元素A(a,b)加1，即A(a,b)=A(a,b)+1。所有的计算结束之后，在参数计算表决结果中找到A(a,b)的最大峰值，所对应的a0、b0就是原图像中共线点数目最多(共A(a,b)个共线点)的直线方程的参数；接下来可以继续寻找次峰值和第3峰值和第4峰值等等，它们对应于原图中共线点略少一些的直线。
注意：由于原图中的直线往往具有一定的宽度，实际上相当于多条参数极其接近的单像素宽直线，往往对应于参数空间中相邻的多个累加器。因此每找到一个当前最大的峰值点后，需要将该点及其附近点清零，以防算法检测出多条极其邻近的“假”直线。
对于上图的Hough变换空间情况如下图所示。
这种利用二维累加器的离散方法大大简化了Hough变换的计算，参数空间a−b上的细分程度决定了最终找到直线上点的共线精度。上述的二维累加数组A也被称为Hough矩阵。
2.极坐标参数空间
引入极坐标系的其中一个原因是如果有的直线的斜率不存在，那么直角坐标空间变化就不太合适。
极坐标中用如下参数方程表示一条直线。
ρ = x c o s θ + y s i n θ ( 4 ) ρ=xcosθ+ysinθ(4) ρ=xcosθ+ysinθ(4)
其中，ρ代表直线到原点的垂直距离，θ代表x轴到直线垂线的角度，取值范围为±90∘，如图所示。
与直角坐标类似，极坐标中的Hough变换也将图像坐标空间中的点变换到参数空间中。
更直观的，直角坐标系的三点共线，对应于 ρ − θ \rho-\theta ρ−θ 空间的多线共点。
上面这个图是如何得到的呢？为什么三点共线在极坐标系是曲线的交点？
我们把直角坐标和极坐标空间融合起来考虑。
在极坐标空间使用hough变换来检测直线的思想就是：为每一个点假设n个方向的直线，通常n=180，此时检测的直线的角度精度为1°，分别计算这n条直线的 ( ρ ， θ (\rho，\theta (ρ，θ)坐标，得到n个坐标点。如果要判断的点共有N个，最终得到的 ( ρ ， θ (\rho，\theta (ρ，θ)坐标有N * n个。有关这N * n个 ( ρ ， θ (\rho，\theta (ρ，θ)坐标，其中theta是离散的角度，共有180个取值。
最重要的地方来了，如果多个点在一条直线上，那么必有这多个点在 θ = \theta= θ=某个值 θ i \theta_{i} θi时，这多个点的 ρ \rho ρ近似相等于 ρ i \rho_{i} ρi,也就是说这多个点都在极坐标直线 （ ρ i , θ i ） （\rho_i,\theta_i） （ρi,θi）上。
换句话说，在极坐标表示下，原图像坐标空间中共线的点变换到参数空间中后，在参数空间都相交于同一点，此时所得到的ρ、θ即为所求的直线的极坐标参数。与直角坐标不同的是，用极坐标表示时，图像坐标空间的共线的两点(xi,yi)和(xj,yj)映射到参数空间是两条正弦曲线或者参数空间的直线上，相交于点 ( ρ 0 , θ 0 ) (ρ_{0},θ_{0}) (ρ0,θ0)
下图就更直观了：
这个例子中，对于每个点均求过该点的6条直线的 ( ρ ， θ ) (\rho，\theta) (ρ，θ)坐标，共求了3 * 6个 ( ρ ， θ (\rho，\theta (ρ，θ)坐标。可以发现在 θ = 60 \theta=60 θ=60 时，三个点的 ρ \rho ρ都近似为80.7，由此可判定这三个点都在直线（80.7，60）上。
通过 ρ − θ \rho-\theta ρ−θ坐标系可以更直观表示这种关系，如下图：图中三个点的（r,theta）曲线汇集在一起，该交点就是同时经过这三个点的直线。
在实际的直线检测情况中，如果超过一定数目的点拥有相同的 ( ρ ， θ ) (\rho，\theta) (ρ，θ)坐标，那么就可以判定此处有一条直线。在 ρ − θ \rho-\theta ρ−θ坐标系图中，明显的交汇点就标示一条检测出的直线。
如下图，可以判定出平面上的点共构成了两条直线，即检测出两条直线。
因此，我们可以通过检测 ρ − θ \rho-\theta ρ−θ 空间的交集点，来检测原始空间的线段。
接下来，就是要考虑 将 ρ , θ \rho,\theta ρ,θ离散化，形成离散化的Hough空间，类似于一个矩阵/图像(如下图)，用于统计交集点的个数。
具体计算时，与直角坐标类似，也要在参数空间中建立一个二维数组累加器A，只是取值范围不同。对于一副大小为D×D的图像，通常ρ的取值范围为 [ − 2 D / 2 , 2 D / 2 ] , θ [−2\sqrt{D}/2,2\sqrt{D}/2],θ [−2D/2,2D/2],θ的取值范围为[−90∘,90∘]。计算方法与直角坐标系中累加器的计算方法相同，最后得到最大的A所对应的(ρ,θ)。
3.Hough变换直线检测的Matlab实现
通过Hough在二值图像中检测直线需要以下3个步骤。
·>(1)利用hough()函数执行霍夫变换，得到霍夫矩阵。
·>(2)利用houghpeaks()函数在霍夫矩阵中寻找峰值点。
·>(3)利用houghlines()函数在之前2步结果的基础上得到原二值图像中的直线信息。
3.1 霍夫变换–Hough
调用形式：
[H,theta,rho]=hough(BW,param1,value1,param2,value2)
参数说明：
·BW是边缘检测后的二值图像；
·可选参数对param1,value1和param2,value2的合法取值如下：
| param取值 | 含义 |
|---|---|
| ThetaResolution | Hough矩阵中θ轴方向上单位区间的长度(以“度”为单位)，可取(0,90)区间上的实数，默认为1 |
| RhoResolution | Hough矩阵中 ρ \rho ρ轴方向上单位区间的长度，可取(0,norm(size(BW)))区间上的实数，默认为1 |
返回值：
·H是变换得到的霍夫矩阵
·θ, ρ \rho ρ分别对应于Hough矩阵每一列和每一行的θ, ρ \rho ρ值组成的向量。
补充：[m,n] = size(X)
补充：norm的用法，matlab help norm
NORM Matrix or vector norm.
For matrices...
对于矩阵...
NORM(X) is the largest singular value of X, max(svd(X)).
NORM(X)是X的最大奇异值
NORM(X,2) is the same as NORM(X).
NORM(X,1) is the 1-norm of X, the largest column sum,
= max(sum(abs(X))).
NORM(X,inf) is the infinity norm of X, the largest row sum,
= max(sum(abs(X'))).
NORM(X,'fro') is the Frobenius norm, sqrt(sum(diag(X'*X))).
NORM(X,P) is available for matrix X only if P is 1, 2, inf or 'fro'.
For vectors...
对于向量...
NORM(V,P) = sum(abs(V).^P)^(1/P).
返回向量A的p范数
NORM(V) = norm(V,2).
返回向量A的2范数，即欧几里德范数。二范数等价于平方和开平方，Sqrt(X1^2+X2^2+...+Xn^2)
3.2 寻找峰值–houghpeaks
调用形式：
peaks=houghpeaks(H,numpeaks,param1,value1,param2,value2)
参数说明：
·H是hough()函数得到的霍夫矩阵
·numpeaks是要寻找的峰值数目，默认为1
·可选参数对param1,value1和param2,value2的合法取值如下：
| param取值 | 含义 |
|---|---|
| Threshold | 峰值的阈值，只有大于该阈值的点才被认为是可能的阈值，取值>0,默认为0.5×max(H()) |
| NHoodSize | 在每次检测出一个峰值后，NhoodSize指出了在该峰值周围需要清零的领域信息。以[m,n]的形式给出，其中m、n均为正的奇数。默认为大于等于size(H)/50的最小奇数。 |
返回值：
·peaks是一个Q×2的矩阵，每行的两个元素分别是某一峰值点再hough矩阵中的行、列索引，Q为找到的峰值点的数目。
3.3 提取直线段–houghlines
调用形式：
lines=houghlines(BW,theta,rho,peaks,param1,value1,param2,value2)
参数说明：
·BW是边缘检测后的二值图像
·theta,rho分别对应于Hough矩阵每一列和每一行的θ和ρθ和ρ值组成的向量。有hough()函数返回。
·peaks是一个包含峰值点信息的Q×2Q×2的矩阵，由houghpeaks()函数返回。
·可选参数对param1,value1和param2,value2的合法取值如下：
| param取值 | 含义 |
|---|---|
| FillGap | 线段合并的阈值：如果对应于Hough矩阵某一个单元格(相同的θ和ρ)的两条线段之间的距离小于 FillGap，则合并为一个直线段。默认值为20. |
| MinLength | 检测的直线段的最小长度阈值：如果检测出的直线段长度大于MinLength，则保留；丢弃小于MinLength的直线段。默认值为40. |
返回值：
·lines是一个结构体数组，数组长度是找到的直线条数，而每一个数组元素(直线段结构体)的内部结构如下：
| 域 | 含义 |
|---|---|
| point1 | 直线段的端点1 |
| point2 | 直线段的端点2 |
| thea | 对应在霍夫矩阵中的θ |
| rho | 对应在霍夫矩阵中的ρ |
整体的代码实现
I = imread('circuit.tif');
rotI = imrotate(I,33,'crop');
BW = edge(rotI,'canny');
[H,T,R] = hough(BW);
imshow(H,[],'XData',T,'YData',R,'InitialMagnification','fit');
xlabel('\theta'), ylabel('\rho');
axis on, axis normal, hold on;
P = houghpeaks(H,5,'threshold',ceil(0.3*max(H(:))));
x = T(P(:,2));
y = R(P(:,1));
plot(x,y,'s','color','white');
% Find lines and plot them
lines = houghlines(BW,T,R,P,'FillGap',5,'MinLength',7);
figure, imshow(rotI), hold on
max_len = 0;
for k = 1:length(lines)
xy = [lines(k).point1; lines(k).point2];
plot(xy(:,1),xy(:,2),'LineWidth',2,'Color','green');
% plot beginnings and ends of lines
plot(xy(1,1),xy(1,2),'x','LineWidth',2,'Color','yellow');
plot(xy(2,1),xy(2,2),'x','LineWidth',2,'Color','red');
% determine the endpoints of the longest line segment
len = norm(lines(k).point1 - lines(k).point2);
if ( len > max_len)
max_len = len;
xy_long = xy;
end
end
% highlight the longest line segment
plot(xy_long(:,1),xy_long(:,2),'LineWidth',2,'Color','cyan');
前50个极值点：
这里的Hough空间域就像上面的图，如果随便给我一张图片，我要检测出所有的车道线，那么就是在找Hough参数空间中那个二维累加器中找到峰值，也就是极值，那些极值就是可以被检测原图片的直线，那么将参数空间反映射回图像空间，就能知道哪些地方是直线了，虚线和直线的区别就在于一个阈值，这些参数空间的极值点到底我们选不选，有些极值点是长线段实线，有些极值点可能就是短线段，就是车道虚线，那么我们怎么通过Hough空间的图像判断实线与虚线呢？
参考：https://blog.csdn.net/s12244315/article/details/52691544
https://blog.csdn.net/ws_20100/article/details/51159434
https://blog.csdn.net/sudohello/article/details/51335237