距离最短中转站

建物流中转站

牛客网：物流中转站

题目描述

Shopee物流会有很多个中转站。在选址的过程中，会选择离用户最近的地方建一个物流中转站。 假设给你一个二维平面网格，每个格子是房子则为1，或者是空地则为0。找到一个空地修建一个物流中转站，使得这个物流中转站到所有的房子的距离之和最小。 能修建，则返回最小的距离和。如果无法修建，则返回 -1。

1 若范围限制在100*100以内的网格，如何计算出最小的距离和？
2 当平面网格非常大的情况下，如何避免不必要的计算？

输入描述:
示例1：
4
0 1 1 0
1 1 0 1
0 0 1 0
0 0 0 0

先输入方阵阶数，然后逐行输入房子和空地的数据，以空格分隔。

输出
8

示例2

输入
4
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1

输出
-1

思路：
距离最短的物流站一定是在建筑群最中心的位置，那么最中心是什么意思？这里我的方案是取每个建筑横纵坐标的均值当做中心位置的坐标。这里要注意，此时的坐标很可能是小数，但不影响，我们接下来只要找到距离这个坐标最近的非建筑点即可。因此我们需要遍历整个矩阵，找出距离中心位置最近的非建筑的坐标，然后将此坐标作为真正的中心位置，再次遍历整个矩阵算距离即可（距离的定义：$abs(i-p)+abs(j-q)）$。

取整的方案是向上取整还是向下取整。当时做题的时候很困惑，对于牛客给出的示例1，个人觉得中心点很像 $(1,2)$ 这个坐标，事实上我们算出来的其实是 $(5/6,9/6)$ ,也就是 $(0,1)$ 这个坐标点。也就是说我自己算出来的 $(0,1)$ 这个坐标点和我自己的直觉中心坐标点 $(1,2)$ 正好相差 $(1,1)$ ，在不确定的情况下，我的方案是两个都放入代码中，取结果最小的即可。
事实上我们的直觉往往是有问题的，问题在于我们习惯了把矩阵的行，列索引从1开始计数，而在编程语言里，索引往往是从0开始计数的。比如上述的示例1，总共有六个建筑点，行索引和为5，列索引和为9。假设我们按照自己的直觉，看待矩阵时直接从1开始计数，那么直觉中的行和为11，列和为15，取平均就是 $(11/6,15/6)$ ,即 $(1,2)$ 。恰好和我们的直觉吻合，但是这个中心点是基于索引从1开始计数得到的，因此在矩阵中的真实索引应该是$(0,1)$，就是我们先前推导的。由于自己的惯性思维，绕了个大弯子，实感惭愧！

def cal_distance(num,k,l): #找出距离理论上的中心位置（k,l）最近的真正中心位置（p,q）并计算总的距离
    res = 0
    record = 2*n
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if num[i][j]==0:
                temp = abs(i-k) + abs(j-l)
                if record > temp:
                    record = temp
                    p,q = i,j
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if num[i][j] == 1:
                res += abs(i-p) + abs(j-q)
    return res
if __name__ == '__main__':
    n = int(input())
    num = [] #存放整个矩阵
    for _ in range(n):
        num.append(list(map(int,input().split())))
    row, col, count = 0, 0, 0
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if num[i][j]==1:
                row += i
                col += j
                count += 1 
    if count == n**2:
        print(-1)
    else:
        k = row/count
        l = col/count #k,l分别是理论上的中心位置的横纵坐标，注意是小数
        print(cal_distance(num,k,l))