Booth: 补码一位乘法公式推导与解析

以下需讲解内容出自《计算机组成原理(第三版)》（清华大学出版社）
我是一个大二学生，我的计组老师比较划水，不讲公式推导，所以最近自己研究了下Booth算法的公式推导，希望能让同样在研究Booth算法的小伙伴少花点时间。

下面将对上图公式方框中部分进行讲解。

首先要摆明一个公式。
公式X： - [B]补 = [-B]补 ; [B]补 = - [-B]补
意思是 一个数A的补码，等于该补码的机器负数前加了符号的数(即使该数A前面加上负号后的补数)。
比如:
01100 (12) - [00101(5)]补 = 01100(12) + 10101(-5的补码) = (01100 + 11011)(补码) = 00111 （7的原码和补码）

解释1框框:
因为乘数为小数，0.ABCD = A*(2^(-1)) + B*(2^(-2)) + C*(2^(-3)) + D*(2^(-4))。就和1111 = 1 + 2 + 4 + 8 一个道理。

解释2框框内容:
根据公式X， 第二行的 + [-X] 补 * Ys = - [X]补 * Ys
由此得第三行的 -Ys * [X]补

解释3框框中的图:
这个框中的意思是一个二进制小数，向左移动一位(乘2)，再减去原来的自己，还是等于自己。
为什么呢，看上图中，Y1本来是表示Y1*（2^（-1））次方的大小的 ，但是在3框框中却变成了 1 * Y1（左移了一位）， 其他位以此类推。并且减去了表示原来的自己的 Y1*（2^（-1）），结果还是 Y1*（2^（-1））,所以等于原来的自己，其他位以此类推。

蓝色框框里的 Y(n+1) - Yn 就是乘数的末两位了(被乘数移位之后)，当 Y(n+1) - Yn = - 1 的时候，式子 + (-1) * [X]补 * 2^(-n) = + [-X]补码 * 2^(n) ,这也可以解释为什么Booth里末两位为10时，要加[-X]补。 为什么 Y(n+1) - Yn = 1 (末两位01)的时候 要加[X]补。而Y(n+1) - Yn = 0 (末两位为11 或者 00)的时候什么都不做。而乘 2^(-n) 则是当前部分积相对原来右移的位数。