武汉理工大学-数值分析-(3)线性代数方程组的数值解法
文章目录
- 实验目标
- 编程语言与扩展库
- 高斯消元法（Gauss）
- 列主元高斯消元法（Gauss）
- 列主元LU直接分解法
- Jacobi迭代法
- Gauss-Seidel迭代法
- 写在最后
实验目标
用编程语言编程实现以下算法：
1.用 高斯(Gauss)消元法 求n阶线性方程组的解。
2.用 列主元高斯(Gauss)消元法 求n阶线性方程组的解。
3.用 列主元LU直接分解法 求n阶线性方程组的解。
4.用 Jacobi迭代法 求n阶线性方程组的解。
5.用 Gauss-Seidel迭代法 求n阶线性方程组的解。
编程语言与扩展库
语言：Python
扩展模块：numpy
高斯消元法（Gauss）
# 导入模块
from numpy import *
# 高斯消元法 求解Ax=b
def Gauss(A,b):
# 获取A的行列
row = A.shape[0]
column = A.shape[1]
# 非方阵情况
if row != column:
print('A不是方阵！')
return
n = row # 未知数数量
m = zeros((n,n)) # m矩阵存储乘数
# 消元过程
for k in range(0,n-1):
for i in range(k+1,n):
# 第i行除第k行得乘数
m[i,k] = A[i,k]/A[k,k]
# 方程消元
A[i,:] = A[i,:] - m[i,k]*A[k,:]
b[i] = b[i] - m[i,k]*b[k]
# 回代过程
x = transpose(zeros((1,n)))
x[n-1] = b[n-1]/A[n-1,n-1] # Xn的值
# 计算Xn-1,Xn-2,...,X1的解
for k in range(0,n-1)[::-1]: # 第n-1行到第0行逆序
sum = 0
for j in range(k+1,n):
sum += A[k,j]*x[j]
x[k] = (b[k]-sum)/A[k,k]
return x
if __name__ == '__main__':
A = array([[1,1,1],[0,4,-1],[2,-2,1]], dtype = double)
b = transpose(array([[6,5,1]], dtype = double))
x = Gauss(A,b)
print(x)
列主元高斯消元法（Gauss）
# 导入模块
from numpy import *
# 列主元高斯消元法 求解Ax=b
def Gauss_column_pivoting(A,b):
# 获取A的行列
row = A.shape[0]
column = A.shape[1]
# 非方阵情况
if row != column:
print('A不是方阵！')
return
n = row # 未知数数量
m = zeros((n, n)) # m矩阵存储乘数
for k in range(0,n-1):
# 寻找最大主元的行数
h = argmax(abs(A[:,k]))
# 交换行
if k != h:
temp1 = copy(A[k,:]) # copy产生该行的复制
A[k,:] = A[h,:]
A[h,:] = temp1
temp2 = copy(b[k])
b[k] = b[h]
b[h] = temp2
# 消元过程
for i in range(k + 1, n):
# 第i行除第k行得乘数
m[i, k] = A[i, k] / A[k, k]
# 方程消元
A[i, :] = A[i, :] - m[i, k] * A[k, :]
b[i] = b[i] - m[i, k] * b[k]
# 回代过程
x = transpose(zeros((1, n))) # 构造x列向量
x[n - 1] = b[n - 1] / A[n - 1, n - 1] # Xn的值
# 计算Xn-1,Xn-2,...,X1的解
for k in range(0, n - 1)[::-1]: # 第n-1行到第0行逆序
sum = 0
for j in range(k + 1, n):
sum += A[k, j] * x[j]
x[k] = (b[k] - sum) / A[k, k]
return x
if __name__ == '__main__':
A = array([[1, 1, 1], [0, 4, -1], [2, -2, 1]], dtype = double)
b = transpose(array([[6, 5, 1]], dtype = double))
x = Gauss_column_pivoting(A,b)
print(x)
列主元LU直接分解法
# 导入模块
from numpy import *
# 列主元LU分解法 求解Ax=b
def LU_column_pivoting(A,b):
# 获取A的行列
row = A.shape[0]
column = A.shape[1]
# 非方阵情况
if row != column:
print('A不是方阵！')
return
n = row
Ip = list(range(n)) # 标记主元交换次序
for k in range(0,n):
# 寻找最大主元的行数
h = argmax(abs(A[:,k]))
# 只能选择未交换的行进行交换
if Ip[h] == h:
temp = copy(A[k, :])
A[k, :] = A[h, :]
A[h, :] = temp
Ip[k] = h
# 对角线减去对应行列乘积和
A[k,k] = A[k,k] - dot(A[k,0:k], A[0:k,k])
if A[k,k] == 0:
print('第{}个主元为0！'.format(k+1))
return
# 直接在A上保存L和U
for j in range(k+1,n): # j>k
A[k,j] = A[k,j] - dot(A[k,0:k], A[0:k,j])
A[j,k] = (A[j,k] - dot(A[j,0:k], A[0:k,k])) / A[k,k]
# 单位下三角L和上三角U
L = tril(A,-1) + identity((n))
U = triu(A,0)
L.dtype = double
U.dtype = double
# 交换b对应行
for i in range(0,n):
t = Ip[i]
if t != i:
temp = copy(b[i])
b[i] = b[t]
b[t] = temp
# 求解Ly=b
y = transpose(array([arange(n)], dtype = double))
y[0] = b[0]
for i in range(1,n):
sum = 0
for t in range(0,i):
sum += L[i,t]*y[t]
y[i] = b[i] - sum
# 求解Ux=y
x = transpose(array([arange(n)],dtype = double))
x[n-1] = y[n-1]/U[n-1,n-1]
for i in range(0,n-1)[::-1]:
sum = 0
for t in range(i+1,n):
sum += U[i,t]*x[t]
x[i] = (y[i]-sum)/U[i,i]
return x
if __name__ == '__main__':
A = array([[1,2,3],[2,5,2],[3,1,5]], dtype = double)
b = transpose(array([[14,18,20]], dtype = double))
x = LU_column_pivoting(A,b)
print(x)
Jacobi迭代法
# 导入模块
from numpy import *
# 初始解向量，迭代上限，误差范围
x_start = array([[0],[0],[0]])
N = 100
tol = 1e-7
# Jacobi迭代
def Jacobi(A,b):
# 获取A的行列
row = A.shape[0]
column = A.shape[1]
# 非方阵情况
if row != column:
print('A不是方阵！')
return
n = row
x_k = x_start
# 删去A的对角线
A_ = copy(A)
for i in range(n):
A_[i,i] = 0
# 迭代求解
for i in range(N):
t = transpose([diag(A)])
x_k_plus = (b - dot(A_, x_k))/t
# 达到足够小的误差
if (max(abs((x_k - x_k_plus)[:,0])) < tol):
print('迭代次数: {}'.format(i+1))
print('方程组解: ')
print(x_k_plus)
break
x_k = x_k_plus
if i == N:
print('错误！不收敛！')
if __name__ == '__main__':
A = array([[8,-3,2],[4,11,-1],[6,3,12]], dtype = double)
b = transpose(array([[20,33,36]], dtype = double))
Jacobi(A,b)
Gauss-Seidel迭代法
# 导入模块
from numpy import *
# 初始解向量，迭代上限，误差范围
x_start = array([[1],[2],[3]])
N = 1000
tol = 1e-10
# GS迭代法 求解Ax=b
def Gauss_Seidel(A,b):
# 获取A的行列
row = A.shape[0]
column = A.shape[1]
# 非方阵情况
if row != column:
print('A不是方阵！')
return
# 初值
n = row
x_k = x_start
# 构造DLU
U = copy(A) # U
DL = copy(A) # D-L
for i in range(n):
for j in range(n):
if j<=i:
U[i,j] = 0
else:
DL[i,j] = 0
U = 0-U
# DL逆与U, b相乘
DL_U = dot(linalg.inv(DL),U)
DL_b = dot(linalg.inv(DL),b)
# 迭代求解
for i in range(N):
x_k_plus = dot(DL_U,x_k) + DL_b
# 达到误差要求
if max(abs((x_k_plus - x_k)[:,0])) < tol:
print('方程组解: ')
print(x_k_plus)
break
x_k = x_k_plus
if i == N:
print('错误！不收敛！')
if __name__ == '__main__':
A = array([[8, -3, 2], [4, 11, -1], [6, 3, 12]], dtype=double)
b = transpose(array([[20, 33, 36]], dtype=double))
Gauss_Seidel(A,b)
写在最后
声明：本文内容来源于武汉理工大学2019-2020学年数值分析方法课程实验，仅供学习参考。
如有不足地方，还请指出。祝愿读者能够在编程之路上不断进步！