使用遗传算法求解TSP(旅行商)问题

题目要求

TSP问题即：已知N个城市之间的相互距离，某一个旅行商从某个城市出发访问每个城市一次，最后回到出发城市，求最短路径。使用遗传算法求解。

• 随机生成N个城市间的链接矩阵；
• 指定起始城市；
• 给出每一代的最优路线和总路线长度；
• 以代数T作为结束条件，T>=50.

算法流程图

步骤描述

1. 初始化城市距离
   通过给定城市的个数N、城市之间的最小、最大距离，通过MATLAB的rand函数生成一个N*N的距离矩阵（其对角线距离默认为0）。
2. 初始化种群并且编码
   可以把一个N个城市的旅行回路排列成一个N维向量，用它来表示一个染色体,如[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]，带入距离矩阵，即可求出该向量所表示的回路的路程.
3. 计算适应度
   通过适应度函数（求该染色体（回路向量）的路程和的倒数），计算出该回路的适应度值。因此，可以表示：适应度越大的回路（染色体）越优。这是选择操作的依据
4. 选择操作
   通过适应度函数计算出种群中每个个体的适应度，使用轮盘赌法，进行染色体的选择，适应度值越大的，被选中的概率也就越大。
5. 交叉操作
   在交叉的过程中，随机生成两个1~N之间的整数，确定父代染色体（回路）的交叉区间，对该区间中的染色体，进行交换,通过一个循环结构依次替换掉其他段重复的编码。
6. 变异操作
   在变异的过程中，随机生成二个1~N之间的整数，确定变异的位置，交换该回路（染色体）中的这两个位置的值。
7. 产生新总群
   通过以上操作，将会产生N个新的个体（由选择率决定），为了确保种群中的个体数目维持稳定，通过对原总群的适应度值排序，这时（淘汰）删除适应度值低的N个个体，再将新个体插入到总群中，即可以产生新的总群。

代码实现（MATLAB）

主文件

tripnum = 10;               %城市的数量为
distancemin = 5;            %城市之间的最短距离
distancemax = 20;           %城市之间的最长距离
%distancematrix = initdistance(tripnum,distancemin,distancemax);    %初始化城市之间的距离矩阵
popnum = 80;                      %种群数量
%popmatrix=initmatrixpop(popnum,tripnum);     %初始化种群矩阵
%fit = fitness(popmatrix,distancematrix);     %生成种群对应的适应度列向量
chprob = 0.5;        %选择的概率为0.5
%choosed = choose(popmatrix,fit,chprob);     %选择父代
crprob = 0.9;       %交叉概率为0.5
%crosed = cross(choosed,crprob);     %使被选择的个体交叉
vprob = 0.05;        %变异概率
%variation = variate(crosed,vprob);           %变异操作
T = 1;      %代数
y = [];     %用来存放每一代的最优路径
way = [];
distancematrix = initdistance(tripnum,distancemin,distancemax);    %初始化城市之间的距离矩阵
popmatrix=initmatrixpop(popnum,tripnum);     %初始化种群矩阵
while(T<=50)
    fit = fitness(popmatrix,distancematrix);     %生成种群对应的适应度列向量
    choosed = choose(popmatrix,fit,chprob);     %选择父代
    crosed = cross(choosed,crprob);     %使被选择的个体交叉
    variation = variate(crosed,vprob);           %变异操作
    [L,~] = size(variation);            %新子代的个数
    [~,xiabiao] = sort(fit);            %按从小到大顺序输出下标
    y=[y,1/fitness(popmatrix(xiabiao(end),:),distancematrix)];       %适应度最大那行的总路程
    way = [way;popmatrix(xiabiao(end),:)];      %每一代的最短路线
    popmatrix(xiabiao(1:L),:) = variation;  %把适应度最小的L个替换掉
    T = T+1;
end
x = 1:50;
plot(x,y);
xlabel('代数T');
ylabel('最短路程');
title('最短路程随代数变化的关系');
disp(way)

种群初始化函数（initmatrixpop.m）

function pathpop = initmatrixpop(m,n)
%%产生初始化种群，pathpop是产生的初始种群矩阵
%m为矩阵pathpop的行数，即种群个数
%n为列数，城市的个数，一列表示一个路线.
pathpop = [];
for i = 1:m
    pathpop = [pathpop;randperm(n)];    %每次产生一行1-n的随机序列
end
end

距离m*m矩阵初始化函数（initdistance.m）

function distancematrix = initdistance(m,min,max)
%%随机生成城市距离m*m矩阵
%m表示城市的个数,[min,max]为产生的矩阵的城市之间的距离范围
distancematrix = tril(((max-min)*rand(m) + min),-1);
distancematrix = distancematrix + distancematrix';
%产生对角矩阵distancematrix，对角线上的元素都为0
end

计算适应度函数(fitness.m)

function fitness = fitness(pop,distance)
%%计算个体的适应度值的大小（路程总合的倒数）
%fitness为列向量，长度为个体数目，对应的值为适应度函数值
%initpop为初始种群矩阵，initdistance为初始距离矩阵
[m,n] = size(pop);    %m为个体数目,n为城市数字
fitness = zeros(m,1);
for i = 1:m
    for j = 1:n-1
        fitness(i) = fitness(i) + distance(pop(i,j),pop(i,j+1));
        %序列中相邻了两个之间的距离累加
    end
    fitness(i) = fitness(i) + distance(pop(i,j),pop(i,1));
    %末尾到起点的距离   
end
fitness = 1./fitness;
end

交叉函数（cross.m）

function newson = cross(chose,prob)
%交叉函数,newson为产生的新子一代
%chose为选择以后的子代,prob为交叉发生的概率
[m,n] = size(chose);
m = (m-mod(m,2)); %将个体修正为偶数个，从而两两交叉
for i = 1:2:m
    if prob > rand          %判断概率执行交叉操作
        if sum(chose(i,:) ~= chose(i+1,:))   %若两个父亲相同，则不交叉
            c = unidrnd(n,1,2);       %随机产生两个1-n之间的自然数
            a = min(c);   %[a,b]为交叉范围,a与b可以相同
            b = max(c);
            for j = a:b
                x = chose(i,:);     %复制两个交叉矩阵，用来当做中间交换变量
                y = chose(i+1,:);
                chose(i,j) = y(j);
                chose(i+1,j) = x(j);
                r1 = find(x == y(j)); 
                chose(i,r1) = x(j);
                r2 = find(y == x(j));
                chose(i+1,r2) = y(j);
            end
        end
    end
end
newson = chose(1:m,:);
end

选择函数（choose.m）

function choosed = choose(pop,fitness,prob)
%%选择函数,采用轮盘赌法,choosed返回被选择的个体矩阵.
%pop为待选择的总群
%prob为选择概率
%fitness为pop总群对应的适应度
[m,n] = size(pop);    %m为个体数
choosed = [];
choosenum = length(find(rand(1,m)= rand*max);   %找到轮盘转到的区域g(1)取得位置
    number = [number,g(1)];   %轮盘赌法选择一次
end
choosed = pop(number,:);
end

变异函数（variate.m）

function newson = variate(newson,prob)
%变异操作，使被交叉的个体变异为variateson
%newson为可能发生变异的个体
%prob为变异率
[m,n] = size(newson);
for i = 1: m
    if prob >= rand
        r = randperm(n,2);
        newson(i,[r(1),r(2)]) = newson(i,[r(2),r(1)]);
    end
end
end

运行结果

距离矩阵

最短路程变化图

每代的最优路径

参考资料

《MATLAB在数学建模中的应用》