【数据结构】图的应用之最短路径

参考资料：《数据结构（C语言版）严蔚敏著》
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最短路径

Dijkstra算法 

求顶点到其余各顶点的最短距离：
（1）假设用带权的邻接矩阵arcs来表示带权有向图，arcs[i][j]表示弧上的权值。若不存在，则置arcs[i][j]为∞。V为所有顶点的集合。S为已经找到从出发的最短路径的终点的集合，它的初始状态为空集。D[i]为从出发到图上其余各顶点可能达到的最短路径长度，初值为D[i]=arcs[s][i]，∈V。
（2）从V-S中找出，满足D[j]=Min{D[i] | ∈V-S}，那么vj就是当前找到的一条从出发的最短路径的终点。将j加入S中。
（3）修改从出发到集合V-S上任一顶点可达的最短路径长度，如果D[j]+arcs[j][k] （4）重复操作（2）、（3）共n-1次。由此求得从到图上其余各顶戴呢的最短路径是依路径长度递增的序列。

void ShortestPath_DIJ(MGraph G, int v0, PathMatrix &P, ShortPathTable &D){
    //用Dijkstra算法求有向网G的v0顶点到其余顶点v的最短路径P[v]及其带权长度D[v]。
    //若P[v][w]为TRUE，则w是从v0到v当前求得最短路径上的顶点。
    //final[v]为TRUE当且仅当v∈S，即已经求得从v0到v的最短路径。
    for(v=0; v

Floyd算法

假设求从顶点到的最短路径。如果从到有弧，则从到存在一条长度为arcs[i][j]的路径，该路径不一定是最短路径，尚需进行n次试探。首先考虑路径是否存在（即判别弧和是否存在）。如果存在，则比较和的路径长度取长度较短者为从到的中间顶点的序号不大于0的最短路径。假如在路径上再增加一个顶点，也就是说，如果和分别是当前找到的中间顶点的序号不大于1的最短路径，那么就有可能是从到的中间顶点不大于1的最短路径。将它和已经得到的从到中间顶点选好不大于0的最短路径相比较，从中选出中间顶点的序号不大于1的最短路径之后，再增加一个顶点，继续进行试探。依次列推。在一般情况下，若和分别是从到和从到的中间顶点的序号不大于k-1的最短路径，则将和已经得到的从到且中间顶点序号不大于k-1的最短路径相比较，其长度较短者便是从到的中间顶点的序号不大于k的最短路径。这样，在经过n次比较后，最后求得的必是到的最短路径。按此方法，可以同时求得各对顶点间的最短路径。

现定义一个n阶方阵序列，其中n为顶点数。

其中，

，是从vi到vj的中间顶点的序号不大于k的最短路径的长度；就是从vi到vj的最短路径的长度。
 

void ShortestPath_FLOYD(MGraph G, PathMatrix &P[], DistancMatrix &D){
    //用Floyd算法求有向网G中各对顶点v和w之间的最短路径P[v][w]及其带权长度D[v][w]。
    //若P[v][w][u]为TRUE，则u是从v到w当前求得最短路径上的顶点。
    for(v=0; v