计算机组成原理——汉明码

汉明码(Hamming Code)，是在电信领域的一种线性调试码，以发明者理查德·卫斯里·汉明的名字命名。汉明码在传输的消息流中插入验证码，以侦测并更正单一比特错误。由于汉明编码简单，它们被广泛应用于内存（RAM）。其SECDED（single error correction, double error detection）版本另外加入一检测比特，可以侦测两个或以下同时发生的比特错误，并能够更正单一比特的错误。因此，当发送端与接收端的比特样式的汉明距离 (Hamming distance) 小于或等于1时（仅有 1 bit 发生错误），可实现可靠的通信。相对的，简单的奇偶检验码除了不能纠正错误之外，也只能侦测出奇数个的错误。

 

 

2^k >= n +k +1  （这货好像叫汉明不等式什么的，反正大家都懂）

n是需要编码的位数，需要的校验位的最小数量是满足这个不等式的最小的K

1.     新建从1开始的数据位的位置序号1,2,3,4,5….

2.     将这些数据位的位置序号转换为二进制， 1, 10, 11, 100, 101, 等.

3.     数据位的位置序号中所有为二的幂次方的位（编号1，2，4，8，等，即数据位位置序号的二进制表示中只有一个1）是校验位

（注释：任何二进制数可以写为如下组合形式，以10100为例：

10100 = 1*10000 + 0*01000 +1*00100 + 0*000010 +0*00001， 而这里的10000,01000,00100,00010,00001 即为二进制数的 8,4,2,1，对应下表中的数据位位置。可以把它想象成向量空间的基，也就不难理解为什么把他们选作校验位）

4.     所有其它位置的数据位（数据位位置序号的二进制表示中至少2个是1）是数据位

每一位的数据包含在特定的两个或两个以上的校验位中，这些校验位取决于这些数据位的位置数值的二进制表示

（如下图中 对于数据位位置 3，3=2 + 1，即 0011 = 0010 +0001， 所以 3 所对应的 数据位d1 即可用位置分别问1和 2 的 p1,p2 来检验）

5.     接下来 p1 = d1 xor d2 xor d4 xor d5…..   p2 = d1 xor d3 xor d4 xor d6 xor d7…..
（这个就不要解释了吧，好绕嘴） 

6.     然后按数据位位置的顺序写出所得编码，p1p2d1p4d2d3….

即为下图中第二行

（奇偶校验在这里都差不多，自己琢磨去）

关于汉明码的纠错过程

假设我们接收到的汉明码为0110101，我们要判断此码时候正确。先不看此码所给的校验位，我们来计算1101，即去掉校验位后的数据，来计算我们正确的校验位，方法就如上诉的那几个步骤。

这时我们算出p1= 3 xor 5 xor 7= d1 xor d2 xor d4 = 1

                     P2 = 3 xor 6 xor 7 = d2 xord3 xor d4 = 0

                     P4 = 5 xor 6 xor 7 = d2 xord3 xor d4 = 0

而我们收的校验码分别是p1 = 0, p2 = 1, p4 = 0

我们将我们算出的校验码和收到的校验码进行xor结果赋值给p1,p2,p4

P1 = 1 xor 0 = 1

P2 = 1 xor 0 = 1

P4 = 0 xor 0 = 0

P4p2p1= 011 = 6

所以第六位是错误的，可纠正为0100101，故欲传送的信息为0101

 

如何理解这里的p1=1,p2=1,p4=0呢？

我们的结果告诉我们p1和p2不正确，但是p3是正确的，所以我们要找出仅由p1和p2校验的位置，这个位置就是第三位，也就是d1。

 

为什么是p4p2p1这个顺序？

正如我们前面所提到的，p1所对应的标号为0001，p2 是 0010，p4是0100，所以二进制表示自然是p4p2p1的顺序了

汉明码实例

下文示例为(30,24)汉明码计算方法，用在MIPI DSI包头部分（MIPI Alliance Specification for Display Serial Interface，Chapter 9），DSI包头格式固定为24bits Data+8bits ECC，8bitsECC中预设P6=P7=0，所以实际n=30，m=24，k=6。

检验位计算方法参考MIPI DSI table22生成矩阵（Px vs [DataBit0~DataBitx]），比如P5=D10^D11^....D23，表示对应DataBit23的P5列，只有这些DataBit位为1。

int main() { char res; char in[20]={0}; char D0,D1,D2,D3,D4,D5,D6,D7,D8,D9,D10,D11,D12,D13,D14,D15,D16,D17,D18,D19,D20,D21,D22,D23; char P0,P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7; cout<<"Checking Codes(eg.0x1234AF, \"-\" for exit): 0x"; cin>>in; if(in[0]=='-') { return 0; } for(int i=0;i<6;i++){ if((in[i]>='0') && (in[i]<='9')) { in[i] = in[i]-0x30; }else if((in[i]>='A') && (in[i]<='F')){ in[i] = in[i]-'A'+10; }else { return 0; } } D0=in[1]&0x01; D1=(in[1]&0x02)>>1; D2=(in[1]&0x04)>>2; D3=(in[1]&0x08)>>3; D4=in[0]&0x01; D5=(in[0]&0x02)>>1; D6=(in[0]&0x04)>>2; D7=(in[0]&0x08)>>3; D8=in[3]&0x01; D9=(in[3]&0x02)>>1; D10=(in[3]&0x04)>>2; D11=(in[3]&0x08)>>3; D12=in[2]&0x01; D13=(in[2]&0x02)>>1; D14=(in[2]&0x04)>>2; D15=(in[2]&0x08)>>3; D16=in[5]&0x01; D17=(in[5]&0x02)>>1; D18=(in[5]&0x04)>>2; D19=(in[5]&0x08)>>3; D20=in[4]&0x01; D21=(in[4]&0x02)>>1; D22=(in[4]&0x04)>>2; D23=(in[4]&0x08)>>3; P7=0; P6=0; P5=D10^D11^D12^D13^D14^D15^D16^D17^D18^D19^D21^D22^D23; P4=D4^D5^D6^D7^D8^D9^D16^D17^D18^D19^D20^D22^D23; P3=D1^D2^D3^D7^D8^D9^D13^D14^D15^D19^D20^D21^D23; P2=D0^D2^D3^D5^D6^D9^D11^D12^D15^D18^D20^D21^D22; P1=D0^D1^D3^D4^D6^D8^D10^D12^D14^D17^D20^D21^D22^D23; P0=D0^D1^D2^D4^D5^D7^D10^D11^D13^D16^D20^D21^D22^D23; res = ((P7&0x01)*8+(P6&0x01)*4+(P5&0x01)*2+(P4&0x01))*16+(P3&0x01)*8+(P2&0x01)*4+(P1&0x01)*2+(P0&0x01); printf("Result:0x%02X\r\n",res); return 0;}

该例题来自http:// www.metsky.com/archives/618.html 

哦，对了，感谢维基百科