洗牌算法之Knuth Shuffle

洗牌这种技术活，我相信大家都有玩过，虽然手法各不相同，但是目的大部分应该是一样的，就是把牌的顺序打乱，创造一个公平的玩牌氛围。

洗牌算法(Shuffling Algorithm)，顾名思义，它的产生是用来解决类似洗牌这种场景的问题的，目的是产生一串等概率的随机列，使得很难去预测牌的顺序。现在的各种牌类游戏都有自己的洗牌算法，为了保证游戏的趣味性，各自的实现中都有自己考虑的因素添加在其中。今天与大家分享的是名为Knuth Shuffle的洗牌算法，在TAOCP中可以找到，但是呢，这个算法其实不是高爷爷的原创，它的自然语言版本是在1938年由R.A. Fisher and F. Yates发表的，而程序语言的版本是1964年由R. Durstenfeld提出的。

算法描述：

Let X1, X2…. XN be the set of N numbers to be shuffled.

1. Set j to N
2. Generate a random number R. (uniformly distributed between 0 and 1)
3. Set k to (jR+1). k is now a random integer, between 1 and j.
4. Exchange Xk and Xj
5. Decrease j by 1.
6. If j > 1, return to step 2.

算法实现：

void KnuthShuffle(int *array, int len) {
    int rand;
    for (int i = len; i >=0; i--) {
        rand = GenRand(0, i);
        swap(array[i], array[rand]);
    }
}

GenRand(int min, int max)是一个随机数生成器。

这个算法的时间复杂度是O(n)级别的，可以说是很完美的算法了，那么为什么还有那么多别的洗牌算法存在呢？

这个算法从第N个数开始，每次从当前位置数字的前面随机抽取一个数字和它交换位置，循环只执行一遍，每个数字都不会出现在它原来的位置上，这样的序列有多少种呢？我们来计算一下。

设n个数都不在原来位置的种类为f(n)，则n!=C(0)(n)*f(n) + C(1)(n)*f(n-1) + ... + C(n)(n)*f(0);其中显而易见，f(0)=1;f(1)=0;f(2)=1;f(3)=2;f(4)=9;等等。

所以这个f(n)是必然小于n!的，也就是说这个算法不是等概率的。

如何改动这个算法使之变成等概率的呢？最简单的改动是这样的：

void Shuffle(int *array, int len) {
    int rand;
    for (int i = len; i >=0; i--) {
        rand = GenRand(0, len);    //变动在这里len
        swap(array[i], array[rand]);
    }
}

但是那些大神们为什么没有这么做呢？原因是这个算法，在规模超过18时，恒等排列(identity permutation)是最有可能出现的，证明详见这里。

暂歇笔于2012.10.09