锯齿波FMCW雷达目标检测原理

FMCW（Frequency Modulated Continuous Wave），即调频的连续波信号。目前在安防、自动驾驶等领域的应用极为广泛。本文从最基本的数学原理出发进行推导，对锯齿波体制FMCW雷达目标检测进行详细说明。

1.信号建模

在许多文献里面，常看到Chirp信号这个说法，下面是一个典型的Chirp信号示意图。可以看到，从时域来看，信号是一个幅值恒定、频率变化的、时间连续的信号；从频域来看，信号的频率与时间呈现线性关系。其中$B$为信号带宽、$f_{{}_0}$为起始频率、$S=\frac{B}{T_{{}_c}}$为斜率，这是Chirp信号的基本参数。

不失一般性，下文设信号为复信号进行推导。

从信号时频关系出发，可得信号的频率与时间的关系为 $f=f_{{}_0}+S\ast t$ ,因此其相位为 $\phi =f_{{}_0}t+\frac{1}{2}S{t}^2$。不妨设信号为复信号，忽略幅度参数和噪声，设初始相位为 ${\phi }_0$, 则雷达发射信号为$$s_t=e^{j2\pi (f_{{}_0}t+\frac{1}{2}S{t}^2+{\phi }_{{}_0})}$$
设静止目标据雷达的距离为 $R$，电磁波传输速度为 $c$，则接收信号的延迟为 $\tau =\frac{2R}{c}$。同样忽略传播过程中的幅度衰减和噪声，可得接收信号的数学表达式为$$s_r=e^{j2\pi [f_{{}_0}(t-\tau )+\frac{1}{2}S(t-\tau {)}^2]}$$
由图 2 示意图可将接收信号与发射信号混频，得到中频信号(IF Signal)，即$$s_{{}_{IF}}=e^{j2\pi f_{IF}t}$$由图 3 可得，中频信号的是一个单频信号(仅针对单个、静止目标)。所以中频信号为$$s_{{}_{IF}}=e^{j2\pi S\frac{2R}{c}t}$$

若为运动目标，可将目标运动对传播时间 $\tau$ 的影响进行考虑。
设目标初始时刻位于 $R_{{}_0}$ 处，且以速度 $v$ 远离雷达而去，则 $t$ 时刻目标离雷达的距离为 $R=R_{{}_0}+vt$。 将 $\tau =\frac{2R}{c}=\frac{2(R_{{}_0}+vt)}{c}$带入接收信号 $s_r$ 表达式中可得$$s_r=e^{j2\pi [f_{{}_0}(t-\frac{2(R_{{}_0}+vt)}{c})+\frac{1}{2}S(t-\frac{2(R_{{}_0}+vt)}{c}{)}^2]}$$同理，将发射信号与接收信号混频，可得中频信号为$$s_{{}_{IF}}=e^{j2\pi (f_0\tau -\frac{1}{2}S\ast {\tau }^2+S\ast t\ast \tau )}$$
可见，从严格的数学意义上来说，$s_{{}_{IF}}$ 也是一个线性调频信号。
但是由于处理时间极短（通常在ms或者us量级），可忽略 $t$ 的高次项；同时分母含有 $c^2$ 的项也可忽略。于是可得 $$s_{{}_{IF}}\dot{=}{e}^{j2\pi [(\frac{2v{f}_{{}_0}}{c}+\frac{2S{R}_{{}_0}}{c})t+(\frac{2R_{{}_0}{f}_{{}_0}}{c})]}$$这依然是一个单频信号。与静止目标所不同的是，此单频信号的频率中同时含有目标速度和距离信息，通过FFT无法直接准确测量出目标的距离信息。此现象叫做“速度与距离的耦合”，现以有许多算法对其进行“解耦合”（此处不展开）。同时，常数项 $\frac{2R_{{}_0}{f}_{{}_0}}{c}$ 包含着此次脉冲信号发射时目标的起始位置，这就给我们提供了测速的思路——可以连续发射多个脉冲，测量脉冲见的初始相位差。

2. 距离测量

2.1 目标距离检测基本原理

接收信号与发射信号混频，得到中频信号(IF Signal)，即$$s_{{}_{IF}}=e^{j2\pi f_{{}_{IF}}t}$$由图 3 可得，中频信号的是一个单频信号(仅针对单个、静止目标)。所以中频信号为$$s_{{}_{IF}}=e^{j2\pi S\frac{2R}{c}t}$$对其进行傅里叶变换，找出幅度谱峰值位置，即可得出其频率 $f_{{}_{IF}}=S\frac{2R}{c}$， 从而得出目标的距离为$$R=\frac{c\ast f_{{}_{IF}}}{2S}$$
上述结论可以很自地推广到多目标的情形。即在不同距离处均有一静止目标，这些目标都会对信号进行反射，从而接收机接收到的应是由多个不同延迟的信号的和。对于每一个目标而言，分析思路和方法与前面的单目标情况完全类相同。不难得到，对应于多目标的中频信号是多个单频信号的叠加，从而经过FFT运算之后的幅度谱会得到多个峰值，每个峰值出现的频点位置与该目标与雷达的距离成比例($R=c{f}_{{}_{IF}}/2S$).到此，对目标距离探测的基本推导已经结束。但是引出了一个新的问题，当两目标靠得比较近的时候，雷达是否可以区分处这两个目标呢？这就是下面将要讨论的雷法距离分辨率的问题。

2.2 雷达分辨率

从上文可知，雷达对目标距离的检测最后是通过FFT运算，转变为对中频信号谱峰的定位。那么一个自然的想法是，FFT运算的分辨率将会影响中频信号频谱的分辨，从而影响雷达对目标距离的分辨率。
由数字信号处理知识可得，若信号观察时间为 $T$，则FFT运算之后频域的分辨率为 $\frac{1}{T}$。设两目标相隔 $\Delta R$，此时俩目标分别对应中频信号频率差为$$\Delta f_{{}_{IF}}=S\ast \Delta \tau =S\frac{2\ast \Delta R}{c}$$注意到此时的中频信号来源于对单Chirp的采样，观察时间为 $T_c$, 从而有$$\Delta f_{{}_{IF}}=S\frac{2\ast \Delta R}{c}>\frac{1}{T_c}$$将 $S=\frac{B}{T_c}$ 带入上式，整理后可得$$\Delta R>\frac{c}{2B}$$可见，雷达对目标距离的分辨率由发射信号的带宽决定，增加带宽，将会得到更好的距离分辨能力，但同时也会增加硬件成本了信号处理的难度。

2.3 雷达最大可探测距离

一方面，从图 2 可以直观看出，目标距离雷达越远，得到的中频信号的频率 $$f_{{}_{IF}}=S\ast \tau =S\frac{2R}{c}$$也就越高。然而在实际运用中，雷达器件的采样率 $f_s$ 是有限的，那么这就限制了雷达可探测的最大距离。(此上限可以通过解模糊算法得到提高，后续在目标速度测量部分会有说明。)
另一方面，目标信号也会对”雷达的最大可探测距离“这一参数产生影响。雷达系统有一个关键参数叫“最小可探测信噪比”，其含义是，如果接收到的目标回波信噪比低于这一参数，将无法准确检测出目标。在毫米波雷达领域，由于一般不涉及吸波材料，通常直观的将这一参数和目标的反射截面积RCS对应起来。简单来说，对于反射越强的目标，可以探测到的距离越远。（此处不再展开）

上述两个方面的因素，均会影响”雷达的最大可探测距离“。但是，在设计雷达的时候，一般首先考虑雷达的中频采样率 $f_s$ 的影响。

2.4 距离测量小结

在 2.1~2.3 节，对FMCW雷达对目标的距离测量基本原理作了简单说明。从 $$\Delta R=\frac{c}{2B}$$ 可以看出，要提高距离分辨能力（减小 $\Delta R$ ），必须增加带宽；
但是从$$f_{{}_{IF}}=S\ast \tau =\frac{B}{T}\ast \frac{2R}{c}$$大带宽会产生较高的中频频率，对其间的中频采样带来压力，可能无法满足奈奎斯特采样定理。
综上所述，雷达的距离分辨能力（$\Delta R$） 与 距离探测能力（$R_{max}$）是相互矛盾的，在实际设计中需要进行权衡。（岂能事事如人所愿？）

3. 速度测量

3.1 回波信号的二维FFT

FMCW雷达对目标速度测量的基本原理，是连续发射一系列如下图的调频脉冲信号，对接收到的差频信号逐个做距离维的FFT，再所有脉冲信号的同一距离单元做第二次FFT，即可得到目标速度信息。
具体推导如下。
前面已经推导得出单个脉冲回波的差频信号数学模型为 $$s_{{}_{IF}}\dot{=}{e}^{j2\pi [(\frac{2v{f}_{{}_0}}{c}+\frac{2S{R}_{{}_0}}{c})t+(\frac{2R_{{}_0}{f}_{{}_0}}{c})]}$$在此模型上继续考虑如下3个实际情况：
1.时间是离散的，由采样周期 $T_s$ 确定；
2.每个脉冲共采样 $N$ 点数据；
3.连续发射 $L$ 个脉冲；
4.目标运动速度径向分量为常数 $v$。
对上述单脉冲回波差频信号数学模型进行修改，可得$$s_{{}_{IF}}\dot{=}{e}^{j2\pi [(\frac{2v{f}_{{}_0}}{c}+\frac{2S(R_{{}_0}+vl{T}_c)}{c})n{T}_s+(\frac{2(R_{{}_0}+vl{T}_c)f_{{}_0}}{c})]}$$式中， $n=0,1,2,...,N-1$ 为单脉冲采样点序列；$R_{{}_0}$ 为0时刻（雷达第一个发射脉冲的起始时刻）目标与雷达的径向距离；$l=0,1,2,...,L-1$ 为脉冲序列；$T_c$ 为脉冲重复时间（两相邻脉冲起始时刻之间的时间差）。

对于此表达式进行分析可知，针对某一个特定的脉冲（ $l$ 固定），信号 $s_{{}_{IF}}$ 还是一个单频信号。与静止目标所不同的是多了一部分固定的值
$$e^{j2\pi [(\frac{2(R_{{}_0}+vl{T}_c)f_{{}_0}}{c})]}$$可以将这一项理解为原信号$$e^{j2\pi [(\frac{2v{f}_{{}_0}}{c}+\frac{2S(R_{{}_0}+vl{T}_s)}{c})n{T}_s]}$$的复包络，也可以理解为对原信号的一个相移。

针对同一个脉冲做FFT运算（以 $n$ 为自变量），可得上述信号的频率成分$$\frac{2v{f}_{{}_0}}{c}+\frac{2S(R_{{}_0}+vl{T}_s)}{c}$$
对不同的脉冲做FFT（以 $l$ 为自变量），相当于对上述差频信号的相位成分做傅里叶分析，可得信号的相位信息，此相位信息包含这目标的速度。

3.2 对速度测量本质的理解

从3.1节可以看出，目标的速度信息是包含在回波的相位中的。连续发射 $L$ 个脉冲，其相位信息是随 $l$ 变化的。对此相位信息做FFT，即可提取出其中包含的速度信息。那么，测度测量的本质是什么呢？
我们都知道，相位的导数是频率。其实对信号频率的测量，最后还是回到了信号相位改变上。FMCW信号对目标速度的测量，就是测量同一目标在相邻脉冲间的相位差，此相位差会反应在第二次FFT（以 $l$ 为自变量）的频谱峰值上面。由此，可以很容易理解下面要讲到的最大测速极限和速度分辨率的概念。

3.3 最大无模糊速度

从3.2节可以知道，如果速度过大，则会引起相邻脉冲见的相位移动过大。在此，我们可以定义速度模糊的概念。
如相位在 $(-\pi ,\pi ]$ 之间，则可认为相位是不模糊的。因为一旦超过这个范围，如 $\frac{3\pi }{2}$ ,我们无法确定这个相位究竟是 $\frac{3\pi }{2}$ 还是 $-\frac{\pi }{2}$ 。

由此可以引申出速度模糊的定义：
当由速度引起的相邻脉冲间相移在 $(-\pi ,\pi ]$ 时，此速度是不模糊的。

具体而言，需要$$|2\pi f_{{}_0}\frac{2v{T}_c}{c}|<\pi$$
即$$v<\frac{\lambda }{4T_{{}_c}}$$
也就是说，单个目标速度超过此值时，由FFT测得的速度是不正确的。
当前也有许多解模糊的算法，不再赘述。

3.4 速度分辨率

速度分辨率的含义是，当两个目标的速度足够接近时，雷达还能够在速度维将目标分辨开来的极限。
当采用FFT对目标速度进行测量时，速度的分辨率其实就是FFT的分辨率。对于 $L$ 个脉冲信号做 $L$ 点FFT，分辨率为$$\Delta f=2\pi f_{{}_0}\frac{\Delta v{T}_{{}_C}}{c}>\frac{\pi }{L}$$即$$\Delta v>\frac{\lambda }{2L{T}_{{}_C}}$$

4.小结

至此，锯齿波体制的FMCW雷达在距离和速度两个维度对目标的检测就已经讲述完毕了。
当然，具体检测中还涉及对目标的角度测量(DOA估计)，CFAR检测，速度解模糊，目标聚类、目标跟踪等等算法。后续再尽量完善。
所有的公式和图片（混频示意图是copy的）都是我自己完成的，难免有错误，欢迎朋友很讨论和指正！