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连接波源、负载的传输线及其功率

目录

信号源的复数表示法

传输线的功率问题

输入阻抗的匹配

 

信号源的复数表示法

下图是传输线电路的一般形式，它包含一个源电压为V_{G}、阻抗为Z_{G}的电压源。

连接波源、负载的传输线及其功率_第1张图片

传输线输入端电压，可以写成以下一般形式：

                                                     V_{\mathrm{in}}=V_{\mathrm{in}}^{+}+V_{\mathrm{in}}^{-}=V_{\mathrm{in}}^{+}\left(1+\Gamma_{\mathrm{in}}\right)=V_{G}\left(\frac{Z_{\mathrm{in}}}{Z_{\mathrm{in}}+Z_{G}}\right)

其中最后的表达式是根据分压定律得出。输入反射系数\Gamma_{\mathrm{in}}是由波源向长度d=l的传输线方向观察得到的

                                                              \Gamma_{\mathrm{in}}=\Gamma(d=l)=\frac{Z_{\mathrm{in}}-Z_{0}}{Z_{\mathrm{in}}+Z_{0}}=\Gamma_{0} e^{-2 j \beta l}

其中\Gamma_{0}是负载反射系数。

从负载反射的电压波向着波源传输，所以必须考虑传输线与波源阻抗之间的失配情况。若从传输线向波源观察，可以定义波源反射系数

                                                                                  \Gamma _{S}=\frac{Z_{G}-Z_{0}}{Z_{G}+Z_{0}}

与输入分反射系数\Gamma_{\mathrm{in}}类似

                                                                                  \Gamma_{\mathrm{out}}}=\Gamma_{S} e^{-2 j \beta l}

传输线的功率问题

根据时间的平均功率定义，

                                                                                    P_{av}=\frac{1}{2}Re(VI^*)

引入复数形式的输入电压

                                                                                  V_{in}=V_{in}^{+}(1+\Gamma_{in})

输入电流

                                                                                  I_{in}=\frac{V_{in}^{+}}{Z_{0}}(1+\Gamma_{in})

计算结果如下

                                                             P_{\mathrm{in}}=P_{\mathrm{in}}^{+}+P_{\mathrm{in}}^{-}=\frac{1}{2} \frac{\left|V_{\mathrm{in}}^{+}\right|^{2}}{Z_{0}}\left(1-\left|\Gamma_{\mathrm{in}}\right|^{2}\right)

可以发现功率也是由正、反传输的波构成。

这里来看一下对V_{in}^+重写为如下形式

                                                             V_{\mathrm{in}}^{+}=\frac{V_{\mathrm{in}}}{1+\Gamma_{\mathrm{in}}}=\frac{V_{G}}{1+\Gamma_{\mathrm{in}}}\left(\frac{Z_{\mathrm{in}}}{Z_{\mathrm{in}}+Z_{G}}\right)

参考终端加载的无损耗传输线的输入方程中Z_{\text {in }}(d)=Z_{0} \frac{1+\Gamma(d)}{1-\Gamma(d)}，将Z_{in}改写为

                                                                         Z_{\text {in }}(d)=Z_{0} \frac{1+\Gamma_{in}}{1-\Gamma_{in}}

根据\Gamma _{S}=\frac{Z_{G}-Z_{0}}{Z_{G}+Z_{0}}，可得源阻抗为

                                                                             Z_{G}=Z_{0} \frac{1+\Gamma_{S}}{1-\Gamma_{S}}

整理得

                                                                        V_{\mathrm{in}}^{+}=\frac{V_{G}}{2} \frac{\left(1-\Gamma_{S}\right)}{\left(1-\Gamma_{S} \Gamma_{\mathrm{in}}\right)}

最终功率表达式

                                                         P_{\mathrm{in}}=\frac{1}{8} \frac{\left|V_{G}\right|^{2}}{Z_{0}} \frac{\left|1-\Gamma_{S}\right|^{2}}{\left|1-\Gamma_{S} \Gamma_{\mathrm{in}}\right|^{2}}\left(1-\left|\Gamma_{\mathrm{in}}\right|^{2}\right)  

将\Gamma_{\mathrm{in}}=\Gamma_{0} e^{-2 j \beta l}带入,可得无损耗传输线输入功率表达式

                                                      P_{\mathrm{in}}=\frac{1}{8} \frac{\left|V_{G}\right|^{2}}{Z_{0}} \frac{\left|1-\Gamma_{S}\right|^{2}}{\left|1-\Gamma_{S} \Gamma_{\mathrm{0}}e^{-2j\beta l}\right|^{2}}\left(1-\left|\Gamma_{\mathrm{0}}\right|^{2}\right)

由于传输线是呜损耗的，所以到达负载的功率等于输入功率。如果波源和负载的阻抗都与传输线相匹配(\Gamma_{S}=0,\Gamma_{0}=0)。上式可简化为

                                                                       P_{in}=\frac{1}{8}\frac{|V_{G}|^2}{Z_{0}}=\frac{1}{8}\frac{|V_{G}|^2}{Z_{G}}

如果负载阻抗Z_{L}与传输线相匹配，而波源阻抗Z_{G}与传输线不匹配，那么有些功率将会被反射，仅有最大资用功率的一部分从d=l处输入传输线中

                                                                         P_{in}=\frac{1}{8}\frac{|V_{G}|^2}{Z_{0}}|1-\Gamma_{S}|^2

对于波源和负载的阻抗都不匹配的情况，传输线两端都将发生反射，此时只能用无损耗传输线输入功率表达式。

除了瓦特(W)之外，射频电路设计领域内广泛使用的功率单位是dBm，定义如下

                                                                        P[dBm]=10lg\frac{P}{1mW}

也就是说，该单位是相对于1毫瓦度量的。

10^{-7}mW=-70dBm 0.1mW=-10dBm
10mW=0dBm 10mW=10dBm
1W=30dBm​​​​​​​ 10W=40dBm​​​​​​​

例. 若无损耗传输线的Z_{0}=75\Omega,Z_{G}=50\Omega,Z_{0}=40\Omega，求输入功率和传送到负载出的功率，答案用W和dBm表示，假设传输线长度为\lambda/2，源电压V_{G}=5V。

连接波源、负载的传输线及其功率_第2张图片

解：

传输线无损耗，传送到负载出的功率与输入功率完全相同。由于传输线长度为\lambda/2，e^{-2j\beta l}=e^{-2j(2\pi/\lambda)(\lambda/2)}=1输入功率为

                                                        P_{\mathrm{in}}=\frac{1}{8} \frac{\left|V_{G}\right|^{2}}{Z_{0}} \frac{\left|1-\Gamma_{S}\right|^{2}}{\left|1-\Gamma_{S} \Gamma_{\mathrm{0}}\right|^{2}}\left(1-\left|\Gamma_{\mathrm{0}}\right|^{2}\right)

波源端反射系数

                                                                         \Gamma _{S}=\frac{Z_{G}-Z_{0}}{Z_{G}+Z_{0}}=-0.2

负载处反射系数

                                                                         \Gamma_{0}=\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}}=-0.304

将\Gamma_{0},\Gamma_{S}带入功率表达式可得

                                                                 P_{L}=P_{in}=61.7mW=17.9mW

上面的分析可以推广到有损耗传输线。由于信号的衰减，输入功率不再等于负载功率。被负载吸收的功率可以表示为

                                                                       P_{\mathrm{L}}=\frac{1}{2} \frac{\left|V_{\mathrm{L}}^{+}\right|^{2}}{Z_{0}}\left(1-\left|\Gamma_{\mathrm{0}}\right|^{2}\right)

其中有损耗传输线的电压|V_{L}^{+}|=|V_{in}^{+}|e^{-\alpha l}，\alpha是损耗系数。

那么被负载吸收的功率最终表达式为

                                                             P_{\mathrm{L}}=\frac{1}{8} \frac{\left|V_{G}\right|^{2}}{Z_{0}} \frac{\left|1-\Gamma_{S}\right|^{2}}{\left|1-\Gamma_{S} \Gamma_{\mathrm{in}}\right|^{2}}e^{-2\alpha l}\left(1-\left|\Gamma_{\mathrm{0}}\right|^{2}\right)

此处，所有的参数都是用波源电压和反射系数定义的，且\Gamma_{in}=\Gamma_{0}e^{-2\gamma l}。

输入阻抗的匹配

采用集中参数，可将式P_{\mathrm{in}}=\frac{1}{8} \frac{\left|V_{G}\right|^{2}}{Z_{0}} \frac{\left|1-\Gamma_{S}\right|^{2}}{\left|1-\Gamma_{S} \Gamma_{\mathrm{0}}e^{-2j\beta l}\right|^{2}}\left(1-\left|\Gamma_{\mathrm{0}}\right|^{2}\right)表示为

                                          P_{\text {in }}=\frac{1}{2} \operatorname{Re}\left\{V_{\text {in }}\left(\frac{V_{\text {in }}^{*}}{Z_{\text {in }}^{*}}\right)\right\}=\frac{1}{2} \frac{\left|V_{G}\right|^{2}}{\operatorname{Re}\left\{Z_{\text {in }}^{*}\right\}}\left|\frac{Z_{\text {in }}}{Z_{G}+Z_{\text {in }}}\right|^{2}

假设波阻抗是复常数Z_{G}=R_{G}+jX_{G}.,可以导出对Z_{in}的限制条件，以使传输线得到最大输入功率。将P_{in}视为两个独立变量R_{in}和X_{in}的函数，通过求P_{in}对R_{in}和X_{in}的一阶导数并令其为零的方法，可求出最大功率条件

                                                                         \frac{\partial P_{\text {in }}}{\partial{\mathcal{R}}_{\text {in }}}=\frac{\partial P_{\text {in }}}{\partial X_{\text {in }}}=0

这两个条件的结论是

                                                     R_{G}^{2}-R_{\mathrm{in}}^{2}+\left(X_{G}^{2}+2 X_{G} X_{\mathrm{in}}+X_{\mathrm{in}}^{2}\right)=0

和

                                                                        X_{in}(X_{G}+X_{in})=0

解得

                                                                              X_{in}=-X_{G}

                                                                               R_{in}=R_{G}

这表明了，最佳功率传输的要求是传输线和波阻抗的复数共轭匹配，即

                                                                                Z_{in}=Z_{G}^*

采用上述分析方法，对输出阻抗与负载阻抗的匹配分析。结果是最大功率传输仍然需要钻孔那个的复数共轭匹配

                                                                               Z_{out}=Z_{L}^*

其中，Z_{out}是从负载向传输线看去的阻抗。

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    这篇日志是我写的第三次了 前两次都发布失败！郁闷极了！   由于在web开发中常常用到这一部分所以在此记录一下，呵呵，就到备忘录了！ 我对于登录信息时使用session存储的，所以我这里是通过实现HttpSessionAttributeListener这个接口完成的。 1、实现接口类，在web.xml文件中配置监听类，从而可以使该类完成其工作。 public class Ses
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