线性代数学习笔记(九)——矩阵运算(一)

本篇笔记记录了矩阵的加法和减法、矩阵的数乘和矩阵的乘法运算。需要注意矩阵的加法和减法必须要同型矩阵才行运算;矩阵的数乘是将某数乘以矩阵中的所有元素,与行列式不同,矩阵所有元素均有公因子 k k k,该公因子只向外提 1 1 1次,而非行列式的提 n n n次;矩阵的乘法规则与行列式类似,但有左乘和右乘之分,需要注意矩阵的左右顺序;如果两个矩阵左乘和右乘的结果相等,那么称这两个矩阵是可交换的,并进一步讨论了矩阵可交换的条件。

1 矩阵的加法和减法

1.1 矩阵的加法

对应元素相加。
例如:
[ 1 1 1 1 1 1 ] + [ 0 2 3 − 1 1 1 ] = [ 1 3 4 0 2 2 ] \begin{bmatrix} 1&1&1\\ 1&1&1\\ \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0&2&3\\ -1&1&1\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&3&4\\ 0&2&2\\ \end{bmatrix} [111111]+[012131]=[103242]

显然,只有同型矩阵才能相加。

1.2 矩阵的减法

对应元素相减。
例如:
[ 1 2 3 3 3 3 4 4 4 ] − [ 1 0 1 0 0 1 0 0 0 ] = [ 0 2 2 3 3 2 4 4 4 ] \begin{bmatrix} 1&2&3\\ 3&3&3\\ 4&4&4\\ \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 1&0&1\\ 0&0&1\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0&2&2\\ 3&3&2\\ 4&4&4\\ \end{bmatrix} 134234334100000110=034234224

同理,也只有同型矩阵才能做减法。

1.3 五条运算律

A + B = B + A A+B=B+A A+B=B+A
( A + B ) + C = A + ( B + C ) (A+B)+C=A+(B+C) (A+B)+C=A+(B+C)
A + O = A A+O=A A+O=A
A + ( − A ) = O A+(-A)=O A+(A)=O
A + B = C    ⟺    A = C − B A+B=C \iff A=C-B A+B=CA=CB

上述矩阵 A 、 B 、 C 和 O A、B、C和O ABCO在运算时必须为同型矩阵。

2 矩阵的数乘

2.1 数乘的定义

用一个数乘以矩阵等于这个数乘以矩阵的所有元素。
例如:
k [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] = [ 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 6 k 7 k 8 k 9 k ] k\begin{bmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1k&2k&3k\\ 4k&5k&6k\\ 7k&8k&9k\\ \end{bmatrix} k147258369=1k4k7k2k5k8k3k6k9k

矩阵所有元素均有公因子 k k k,这个公因子向外提1次(与行列式不同,行列式一行或列有公因子提一次,所有元素均有公因子提 n n n次)。

2.2 三条运算法则

k ( A + B ) = k A + k B k(A+B)=kA+kB k(A+B)=kA+kB
( k + l ) A = k A + l A (k+l)A=kA+lA (k+l)A=kA+lA
k l ( A ) = ( k l ) A kl(A)=(kl)A kl(A)=(kl)A

k 、 l k、l kl为两个数, A 、 B A、B AB为同型矩阵。

例2:
已知 A = [ 1 2 3 3 3 3 ] A=\begin{bmatrix}1&2&3\\3&3&3\end{bmatrix} A=[132333] B = [ 0 2 6 2 0 4 ] B=\begin{bmatrix}0&2&6\\2&0&4\end{bmatrix} B=[022064],求 3 A − 1 2 B 3A-\frac12B 3A21B的值。

解: 3 A − 1 2 B 3A-\frac12B 3A21B

= 3 [ 1 2 3 3 3 3 ] − 1 2 [ 0 2 6 2 0 4 ] =3\begin{bmatrix}1&2&3\\3&3&3\end{bmatrix}-\frac12\begin{bmatrix}0&2&6\\2&0&4\end{bmatrix} =3[132333]21[022064]

= [ 3 6 9 9 9 9 ] − [ 0 1 3 1 0 2 ] =\begin{bmatrix}3&6&9\\9&9&9\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}0&1&3\\1&0&2\end{bmatrix} =[396999][011032]

= [ 3 5 6 8 9 7 ] =\begin{bmatrix}3&5&6\\8&9&7\end{bmatrix} =[385967]

3 矩阵的乘法

3.1 矩阵相乘规则

矩阵的乘法与行列式的乘法类似。
例如:
[ 2 1 0 1 0 1 ] [ 1 0 1 0 1 1 0 1 1 ] \begin{bmatrix}2&1&0\\1&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&1&1\end{bmatrix} [211001]100011111

① 用第一个矩阵的第1行乘以第二个矩阵的第1列,即对应元素相乘再相加,放在结果矩阵的第1行第1列;
[ 2 1 0 1 0 1 ] [ 1 0 1 0 1 1 0 1 1 ] = [ 2 × 1 + 1 × 0 + 0 × 0 ⋯ ⋮ ⋱ ] \begin{bmatrix}\color{red}{2}&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\1&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\color{red}{1}&0&1\\\color{red}{0}&1&1\\\color{red}{0}&1&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\color{red}{2×1+1×0+0×0}&{\cdots}\\{\vdots}&{\ddots}\end{bmatrix} [211001]100011111=[2×1+1×0+0×0]

② 用第一个矩阵的第1行乘以第二个矩阵的第2列,即对应元素相乘再相加,放在结果矩阵的第1行第2列;
[ 2 1 0 1 0 1 ] [ 1 0 1 0 1 1 0 1 1 ] = [ 2 2 × 0 + 1 × 1 + 0 × 1 ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ ] \begin{bmatrix}\color{red}{2}&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\1&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&\color{red}{0}&1\\0&\color{red}{1}&1\\0&\color{red}{1}&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&\color{red}{2×0+1×1+0×1}&{\cdots}\\{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}\end{bmatrix} [211001]100011111=[22×0+1×1+0×1]

③ 用第一个矩阵的第1行乘以第二个矩阵的第3列,即对应元素相乘再相加,放在结果矩阵的第1行第3列;
[ 2 1 0 1 0 1 ] [ 1 0 1 0 1 1 0 1 1 ] = [ 2 1 2 × 1 + 1 × 1 + 0 × 1 ⋮ ⋮ ⋱ ] \begin{bmatrix}\color{red}{2}&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\1&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&\color{red}{1}\\0&1&\color{red}{1}\\0&1&\color{red}{1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&1&\color{red}{2×1+1×1+0×1}\\{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}\end{bmatrix} [211001]100011111=[212×1+1×1+0×1]

④ 同理,依次用第一个矩阵的第1行乘以第二个矩阵的第1列、第2列和第3列,分别入在结果矩阵的第1列、第2列和第3列。
[ 2 1 0 1 0 1 ] [ 1 0 1 0 1 1 0 1 1 ] = [ 2 1 3 1 1 2 ] \begin{bmatrix}2&1&0\\\color{red}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&1&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&1&3\\1&1&2\end{bmatrix} [211001]100011111=[211132]

3.2 矩阵相乘的前提

[ 2 1 0 1 0 1 ] [ 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 3 ] \begin{bmatrix}2&1&0\\1&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&1&1\\1&1&3\end{bmatrix} [211001]100101111113

上述第一个矩阵第一行有3个元素,第二个矩阵第一列有4个元素,元素之间没有办法相互对应,所以两个矩阵不能相乘。

矩阵相乘前提:第一个矩阵的列数 = = = 第二个矩阵的行数。
结果矩阵形状:结果矩阵的行数 = = = 第一个矩阵的行数,结果矩阵的列数 = = = 第二个矩阵的列数。

矩阵 A 5 × 3 A_{5×3} A5×3和矩阵 B 4 × 2 B_{4×2} B4×2不能相乘,因为矩阵 A A A的列数 3 3 3不等于矩阵 B B B的行数 4 4 4

宋氏七字口诀 中 间 相 等 , 取 两 头 \color{red}{中间相等,取两头}

例如: A 3 × 4 B 4 × 5 = C 3 × 5 A_{3×4}B_{4×5}=C_{3×5} A3×4B4×5=C3×5

举例:
A 5 × 3 B 4 × 3 A_{5×3}B_{4×3} A5×3B4×3不能相乘;
A 5 × 4 E 4 × 4 A_{5×4}E_{4×4} A5×4E4×4可以相乘,结果为 B 5 × 4 B_{5×4} B5×4
F s × t E t × h F_{s×t}E_{t×h} Fs×tEt×h可以相乘,结果为 D s × h D_{s×h} Ds×h

例3:
[ − 1 1 5 4 3 − 2 ] 2 × 3 [ 1 − 1 0 2 − 3 6 ] 3 × 2 \begin{bmatrix}-1&1&5\\4&3&-2\end{bmatrix}_{2×3}\begin{bmatrix}1&-1\\0&2\\-3&6\end{bmatrix}_{3×2} [141352]2×31031263×2

= [ − 1 × 1 + 1 × 0 + 5 × ( − 3 ) − 1 × ( − 1 ) + 1 × 2 + 5 × 6 4 × 1 + 3 × 0 + ( − 2 ) × ( − 3 ) 4 × ( − 1 ) + 3 × 2 + ( − 2 ) × 6 ] 2 × 2 =\begin{bmatrix}-1×1+1×0+5×(-3)&-1×(-1)+1×2+5×6\\4×1+3×0+(-2)×(-3)&4×(-1)+3×2+(-2)×6\end{bmatrix}_{2×2} =[1×1+1×0+5×(3)4×1+3×0+(2)×(3)1×(1)+1×2+5×64×(1)+3×2+(2)×6]2×2

= [ − 16 33 10 − 10 ] 2 × 2 =\begin{bmatrix}-16&33\\10&-10\end{bmatrix}_{2×2} =[16103310]2×2

如果交换上述两个矩阵的位置:
[ 1 − 1 0 2 − 3 6 ] 3 × 2 [ − 1 1 5 4 3 − 2 ] 2 × 3 \begin{bmatrix}1&-1\\0&2\\-3&6\end{bmatrix}_{3×2}\begin{bmatrix}-1&1&5\\4&3&-2\end{bmatrix}_{2×3} 1031263×2[141352]2×3

= [ 1 × ( − 1 ) + ( − 1 ) × 4 1 × 1 + ( − 1 ) × 3 1 × 5 + ( − 1 ) × ( − 2 ) 0 × ( − 1 ) + 2 × 4 0 × 1 + 2 × 3 0 × 5 + 2 × ( − 2 ) − 3 × ( − 1 ) + 6 × 4 − 3 × 1 + 6 × 3 − 3 × 5 + 6 × ( − 2 ) ] 3 × 3 =\begin{bmatrix}1×(-1)+(-1)×4&1×1+(-1)×3&1×5+(-1)×(-2)\\0×(-1)+2×4&0×1+2×3&0×5+2×(-2)\\-3×(-1)+6×4&-3×1+6×3&-3×5+6×(-2)\end{bmatrix}_{3×3} =1×(1)+(1)×40×(1)+2×43×(1)+6×41×1+(1)×30×1+2×33×1+6×31×5+(1)×(2)0×5+2×(2)3×5+6×(2)3×3

= [ − 5 − 2 7 8 6 − 4 27 15 − 27 ] 3 × 3 =\begin{bmatrix}-5&-2&7\\8&6&-4\\27&15&-27\end{bmatrix}_{3×3} =5827261574273×3

如果 A = [ − 1 1 5 4 3 − 2 ] A=\begin{bmatrix}-1&1&5\\4&3&-2\end{bmatrix} A=[141352] B = [ 1 − 1 0 2 − 3 6 ] B=\begin{bmatrix}1&-1\\0&2\\-3&6\end{bmatrix} B=103126
A B = [ − 16 33 10 − 10 ] AB=\begin{bmatrix}-16&33\\10&-10\end{bmatrix} AB=[16103310] B A = [ − 5 − 2 7 8 6 − 4 27 15 − 27 ] BA=\begin{bmatrix}-5&-2&7\\8&6&-4\\27&15&-27\end{bmatrix} BA=582726157427

我们发现, A B ≠ B A AB≠BA AB=BA。而且比如 A 5 × 2 B 2 × 3 A_{5×2}B_{2×3} A5×2B2×3可以相乘,而 B 2 × 3 A 5 × 2 B_{2×3}A_{5×2} B2×3A5×2不能相乘,所以 A B AB AB有意义,但 B A BA BA不一定有意义。

一般情况下, A B ≠ B A AB≠BA AB=BA,如果 A B = B A AB=BA AB=BA,那么称 A A A B B B是可交换的。

3.3 矩阵左乘和右乘的定义

如果 A B AB AB,则称 A A A左乘 B B B B B B右乘 A A A

例5:
若矩阵 A = [ 2 0 − 1 0 ] A=\begin{bmatrix}2&0\\-1&0\end{bmatrix} A=[2100]、矩阵 B = [ 0 0 1 3 ] B=\begin{bmatrix}0&0\\1&3\end{bmatrix} B=[0103]、矩阵 C = [ 0 0 2 4 ] C=\begin{bmatrix}0&0\\2&4\end{bmatrix} C=[0204],求 A B AB AB A C AC AC

解: A B = [ 2 × 0 + 0 × 1 2 × 0 + 0 × 3 − 1 × 0 + 0 × 1 − 1 × 0 + 0 × 3 ] = [ 0 0 0 0 ] AB=\begin{bmatrix}2×0+0×1&2×0+0×3\\-1×0+0×1&-1×0+0×3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix} AB=[2×0+0×11×0+0×12×0+0×31×0+0×3]=[0000]

A C = [ 2 × 0 + 0 × 2 2 × 0 + 0 × 4 − 1 × 0 + 0 × 2 − 1 × 0 + 0 × 4 ] = [ 0 0 0 0 ] AC=\begin{bmatrix}2×0+0×2&2×0+0×4\\-1×0+0×2&-1×0+0×4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix} AC=[2×0+0×21×0+0×22×0+0×41×0+0×4]=[0000]

不难发现: A B = A C AB=AC AB=AC

矩阵乘法不满足的三条规律:
① 多数情况下, A B ≠ B A AB{\neq}BA AB=BA
A B = 0 ⇏ A = 0 或 B = 0 AB=0\quad{\nRightarrow}{\quad}A=0或B=0 AB=0A=0B=0
A B = A C , A ≠ 0 ⇏ B = C AB=AC,A≠0\quad{\nRightarrow}{\quad}B=C AB=ACA=0B=C

3.4 特殊矩阵相乘

① 任何矩阵与零矩阵相乘都等于零矩阵。
A 4 × 3 O 3 × 2 = O 4 × 2 A_{4×3}O_{3×2}=O_{4×2} A4×3O3×2=O4×2

② 任何矩阵与单位矩阵相乘都不变。
A E = A , E B = B AE=A,EB=B AE=AEB=B

举例:
[ 3 3 3 4 1 1 5 9 9 ] [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix}3&3&3\\4&1&1\\5&9&9\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} 345319319100010001

= [ 3 × 1 + 3 × 0 + 3 × 0 3 × 0 + 3 × 1 + 3 × 0 3 × 0 + 3 × 0 + 3 × 1 4 × 1 + 1 × 0 + 1 × 0 4 × 0 + 1 × 1 + 1 × 0 4 × 0 + 1 × 0 + 1 × 1 5 × 1 + 9 × 0 + 9 × 0 5 × 0 + 9 × 1 + 9 × 0 5 × 0 + 9 × 0 + 9 × 1 ] =\begin{bmatrix}3×1+3×0+3×0&3×0+3×1+3×0&3×0+3×0+3×1\\4×1+1×0+1×0&4×0+1×1+1×0&4×0+1×0+1×1\\5×1+9×0+9×0&5×0+9×1+9×0&5×0+9×0+9×1\end{bmatrix} =3×1+3×0+3×04×1+1×0+1×05×1+9×0+9×03×0+3×1+3×04×0+1×1+1×05×0+9×1+9×03×0+3×0+3×14×0+1×0+1×15×0+9×0+9×1

= [ 3 3 3 4 1 1 5 9 9 ] =\begin{bmatrix}3&3&3\\4&1&1\\5&9&9\end{bmatrix} =345319319

3.5 三条矩阵乘法运算规律

① 结合律, ( A B ) C = A ( B C ) (AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC)

② 分配律, ( A + B ) C = A C + B C , C ( A + B ) = C A + C B (A+B)C=AC+BC,C(A+B)=CA+CB (A+B)C=AC+BCC(A+B)=CA+CB

k ( A B ) = ( k A ) B = A ( k B ) k(AB)=(kA)B=A(kB) k(AB)=(kA)B=A(kB)

以上三条规律,注意 A A A B B B的顺序,不管是结合、分配还是数乘之后, A A A B B B的左右顺序没有发生变化。例如: ( A + B ) C = C A + C B \xcancel{(A+B)C=CA+CB} (A+B)C=CA+CB 是不正确的,因为矩阵 C C C原来在右边,分配进去之后到了左边。

3.6 矩阵可交换的条件

例6:
求与 A = [ 1 0 1 1 ] A=\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix} A=[1101]可交换的所有矩阵。

解:因为 A A A为2×2的矩阵,设与其可交换的矩阵为 B B B,则 B B B也必定为2×2的矩阵。
设: B = [ a b c d ] B=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} B=[acbd],则 A B = B A AB=BA AB=BA

即: [ 1 0 1 1 ] [ a b c d ] = [ a b c d ] [ 1 0 1 1 ] \begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix} [1101][acbd]=[acbd][1101]

故: [ a b a + c b + d ] = [ a + b b c + d d ] \begin{bmatrix}a&b\\a+c&b+d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a+b&b\\c+d&d\end{bmatrix} [aa+cbb+d]=[a+bc+dbd]

矩阵相等则左右两边为同型矩阵,且对应元素相等,所以:
{ a = a + b b = b a + c = c + d b + d = d ⇒ { a = a b = 0 c = c d = a \begin{cases} a=a+b\\ b=b\\ a+c=c+d\\ b+d=d\\ \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} a=a\\ b=0\\ c=c\\ d=a\\ \end{cases} a=a+bb=ba+c=c+db+d=da=ab=0c=cd=a

得到: B = [ a 0 c a ] B=\begin{bmatrix}a&0\\c&a\end{bmatrix} B=[ac0a]
其中 a a a c c c为任意常数。

思考:
求与 A = [ 1 0 1 1 1 1 ] A=\begin{bmatrix}1&0&1\\1&1&1\end{bmatrix} A=[110111]可交换的所有矩阵。

解:因为 A A A为2×3的矩阵,设与其可交换的矩阵为 B B B,则 B B B也必定为3×2的矩阵。
设: B = [ a b d e m n ] B=\begin{bmatrix}a&b\\d&e\\m&n\end{bmatrix} B=admben,则:
A 2 × 3 B 3 × 2 = M 2 × 2 A_{2×3}B_{3×2}=M_{2×2} A2×3B3×2=M2×2
B 3 × 2 A 2 × 3 = N 3 × 3 B_{3×2}A_{2×3}=N_{3×3} B3×2A2×3=N3×3

由于 M M M为2×2的矩阵, N N N为3×3的矩阵,所以 A B AB AB B A BA BA不可能相等。

所以:一个矩阵可交换,则该矩阵和其所有交换矩阵必须都是同阶方阵
即: A n B n = B n A n A_nB_n=B_nA_n AnBn=BnAn

3.7 变量间的线性替换

例7:
{ x 1 = y 1 − y 2 x 2 = y 1 + y 2 ① \begin{cases} x_1=y_1-y_2\\ x_2=y_1+y_2\\ \end{cases}{\qquad}① {x1=y1y2x2=y1+y2

{ y 1 = z 1 + z 2 + 2 z 3 y 2 = z 1 − 2 z 2 + z 3 ② \begin{cases} y_1=z_1+z_2+2z_3\\ y_2=z_1-2z_2+z_3\\ \end{cases}{\qquad}② {y1=z1+z2+2z3y2=z12z2+z3

{ z 1 = u 1 + u 2 z 2 = u 1 z 3 = − u 1 + u 2 ③ \begin{cases} z_1=u_1+u_2\\ z_2=u_1\\ z_3=-u_1+u_2\\ \end{cases}{\qquad}③ z1=u1+u2z2=u1z3=u1+u2

解:分别将①式、②式和③式改写成矩阵相乘的形式,得:
[ x 1 x 2 ] = [ 1 − 1 1 1 ] [ y 1 y 2 ] ④ \begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&-1\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_1\\y_2\end{bmatrix}{\qquad}④ [x1x2]=[1111][y1y2]

[ y 1 y 2 ] = [ 1 1 2 1 − 2 1 ] [ z 1 z 2 z 3 ] ⑤ \begin{bmatrix}y_1\\y_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&1&2\\1&-2&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}z_1\\z_2\\z_3\end{bmatrix}{\qquad}⑤ [y1y2]=[111221]z1z2z3

[ z 1 z 2 z 3 ] = [ 1 1 1 0 − 1 1 ] [ u 1 u 2 ] ⑥ \begin{bmatrix}z_1\\z_2\\z_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\-1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_1\\u_2\end{bmatrix}{\qquad}⑥ z1z2z3=111101[u1u2]

将⑥式代入⑤式,再代入④式得:
[ x 1 x 2 ] = [ 1 − 1 1 1 ] [ 1 1 2 1 − 2 1 ] [ 1 1 1 0 − 1 1 ] [ u 1 u 2 ] \begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&-1\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1&2\\1&-2&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\-1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_1\\u_2\end{bmatrix} [x1x2]=[1111][111221]111101[u1u2]

= [ 0 3 1 2 − 1 3 ] [ 1 1 1 0 − 1 1 ] [ u 1 u 2 ] =\begin{bmatrix}0&3&1\\2&-1&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\-1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_1\\u_2\end{bmatrix} =[023113]111101[u1u2]

= [ 2 1 − 2 5 ] [ u 1 u 2 ] =\begin{bmatrix}2&1\\-2&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_1\\u_2\end{bmatrix} =[2215][u1u2]

= [ 2 u 1 + u 2 − 2 u 2 + 5 u 2 ] =\begin{bmatrix}2u_1+u_2\\-2u_2+5u_2\end{bmatrix} =[2u1+u22u2+5u2]

所以:
{ x 1 = 2 u 1 + u 2 x 2 = − 2 u 2 + 5 u 2 \begin{cases} x_1=2u_1+u_2\\ x_2=-2u_2+5u_2\\ \end{cases} {x1=2u1+u2x2=2u2+5u2

4 引用

《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_2.2 矩阵运算(一)

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