线性代数学习笔记（九）——矩阵运算（一）

本篇笔记记录了矩阵的加法和减法、矩阵的数乘和矩阵的乘法运算。需要注意矩阵的加法和减法必须要同型矩阵才行运算；矩阵的数乘是将某数乘以矩阵中的所有元素，与行列式不同，矩阵所有元素均有公因子$k$，该公因子只向外提$1$次，而非行列式的提$n$次；矩阵的乘法规则与行列式类似，但有左乘和右乘之分，需要注意矩阵的左右顺序；如果两个矩阵左乘和右乘的结果相等，那么称这两个矩阵是可交换的，并进一步讨论了矩阵可交换的条件。

1 矩阵的加法和减法

1.1 矩阵的加法

对应元素相加。
例如：
$\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}0& 2& 3\\ -1& 1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& 2& 2\end{array}\right]$

显然，只有同型矩阵才能相加。

1.2 矩阵的减法

对应元素相减。
例如：
$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 3& 3\\ 4& 4& 4\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 2& 2\\ 3& 3& 2\\ 4& 4& 4\end{array}\right]$

同理，也只有同型矩阵才能做减法。

1.3 五条运算律

① $A+B=B+A$
② $(A+B)+C=A+(B+C)$
③ $A+O=A$
④ $A+(-A)=O$
⑤ $A+B=C⟺A=C-B$

上述矩阵$A、B、C和O$在运算时必须为同型矩阵。

2 矩阵的数乘

2.1 数乘的定义

用一个数乘以矩阵等于这个数乘以矩阵的所有元素。
例如：
$k\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1k& 2k& 3k\\ 4k& 5k& 6k\\ 7k& 8k& 9k\end{array}\right]$

矩阵所有元素均有公因子$k$，这个公因子向外提1次（与行列式不同，行列式一行或列有公因子提一次，所有元素均有公因子提$n$次）。

2.2 三条运算法则

① $k(A+B)=kA+kB$
② $(k+l)A=kA+lA$
③ $kl(A)=(kl)A$

$k、l$为两个数，$A、B$为同型矩阵。

例2：
已知$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 3& 3\end{array}\right]$，$B=\left[\begin{array}{ccc}0& 2& 6\\ 2& 0& 4\end{array}\right]$，求$3A-\frac{1}{2}B$的值。

解：$3A-\frac{1}{2}B$

$=3\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 3& 3\end{array}\right]-\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}0& 2& 6\\ 2& 0& 4\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}3& 6& 9\\ 9& 9& 9\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 3\\ 1& 0& 2\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}3& 5& 6\\ 8& 9& 7\end{array}\right]$

3 矩阵的乘法

3.1 矩阵相乘规则

矩阵的乘法与行列式的乘法类似。
例如：
$\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right]$

① 用第一个矩阵的第1行乘以第二个矩阵的第1列，即对应元素相乘再相加，放在结果矩阵的第1行第1列；
$\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2\times 1+1\times 0+0\times 0& \cdots \\ ⋮& \ddots \end{array}\right]$

② 用第一个矩阵的第1行乘以第二个矩阵的第2列，即对应元素相乘再相加，放在结果矩阵的第1行第2列；
$\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2& 2\times 0+1\times 1+0\times 1& \cdots \\ ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right]$

③ 用第一个矩阵的第1行乘以第二个矩阵的第3列，即对应元素相乘再相加，放在结果矩阵的第1行第3列；
$\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 2\times 1+1\times 1+0\times 1\\ ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right]$

④ 同理，依次用第一个矩阵的第1行乘以第二个矩阵的第1列、第2列和第3列，分别入在结果矩阵的第1列、第2列和第3列。
$\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 1& 1& 2\end{array}\right]$

3.2 矩阵相乘的前提

$\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 1& 1& 3\end{array}\right]$

上述第一个矩阵第一行有3个元素，第二个矩阵第一列有4个元素，元素之间没有办法相互对应，所以两个矩阵不能相乘。

矩阵相乘前提：第一个矩阵的列数 $=$ 第二个矩阵的行数。
结果矩阵形状：结果矩阵的行数 $=$ 第一个矩阵的行数，结果矩阵的列数 $=$ 第二个矩阵的列数。

矩阵$A_{5\times 3}$和矩阵$B_{4\times 2}$不能相乘，因为矩阵$A$的列数$3$不等于矩阵$B$的行数$4$。

宋氏七字口诀：$中间相等，取两头$。

例如：$A_{3\times 4}{B}_{4\times 5}=C_{3\times 5}$

举例：
$A_{5\times 3}{B}_{4\times 3}$不能相乘；
$A_{5\times 4}{E}_{4\times 4}$可以相乘，结果为$B_{5\times 4}$；
$F_{s\times t}{E}_{t\times h}$可以相乘，结果为$D_{s\times h}$；

例3：
${\left[\begin{array}{ccc}-1& 1& 5\\ 4& 3& -2\end{array}\right]}_{2\times 3}{\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 2\\ -3& 6\end{array}\right]}_{3\times 2}$

$={\left[\begin{array}{cc}-1\times 1+1\times 0+5\times (-3)& -1\times (-1)+1\times 2+5\times 6\\ 4\times 1+3\times 0+(-2)\times (-3)& 4\times (-1)+3\times 2+(-2)\times 6\end{array}\right]}_{2\times 2}$

$={\left[\begin{array}{cc}-16& 33\\ 10& -10\end{array}\right]}_{2\times 2}$

如果交换上述两个矩阵的位置：
${\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 2\\ -3& 6\end{array}\right]}_{3\times 2}{\left[\begin{array}{ccc}-1& 1& 5\\ 4& 3& -2\end{array}\right]}_{2\times 3}$

$={\left[\begin{array}{ccc}1\times (-1)+(-1)\times 4& 1\times 1+(-1)\times 3& 1\times 5+(-1)\times (-2)\\ 0\times (-1)+2\times 4& 0\times 1+2\times 3& 0\times 5+2\times (-2)\\ -3\times (-1)+6\times 4& -3\times 1+6\times 3& -3\times 5+6\times (-2)\end{array}\right]}_{3\times 3}$

$={\left[\begin{array}{ccc}-5& -2& 7\\ 8& 6& -4\\ 27& 15& -27\end{array}\right]}_{3\times 3}$

如果$A=\left[\begin{array}{ccc}-1& 1& 5\\ 4& 3& -2\end{array}\right]$，$B=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 2\\ -3& 6\end{array}\right]$
则$AB=\left[\begin{array}{cc}-16& 33\\ 10& -10\end{array}\right]$，$BA=\left[\begin{array}{ccc}-5& -2& 7\\ 8& 6& -4\\ 27& 15& -27\end{array}\right]$

我们发现，$AB\ne BA$。而且比如$A_{5\times 2}{B}_{2\times 3}$可以相乘，而$B_{2\times 3}{A}_{5\times 2}$不能相乘，所以$AB$有意义，但$BA$不一定有意义。

一般情况下，$AB\ne BA$，如果$AB=BA$，那么称$A$、$B$是可交换的。

3.3 矩阵左乘和右乘的定义

如果$AB$，则称$A$左乘$B$，$B$右乘$A$。

例5：
若矩阵$A=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ -1& 0\end{array}\right]$、矩阵$B=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 3\end{array}\right]$、矩阵$C=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 2& 4\end{array}\right]$，求$AB$、$AC$。

解：$AB=\left[\begin{array}{cc}2\times 0+0\times 1& 2\times 0+0\times 3\\ -1\times 0+0\times 1& -1\times 0+0\times 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$

$AC=\left[\begin{array}{cc}2\times 0+0\times 2& 2\times 0+0\times 4\\ -1\times 0+0\times 2& -1\times 0+0\times 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$

不难发现：$AB=AC$。

矩阵乘法不满足的三条规律：
① 多数情况下，$AB\ne BA$；
② $AB=0\nRightarrow A=0或B=0$；
③ $AB=AC，A\ne 0\nRightarrow B=C$。

3.4 特殊矩阵相乘

① 任何矩阵与零矩阵相乘都等于零矩阵。
$A_{4\times 3}{O}_{3\times 2}=O_{4\times 2}$

② 任何矩阵与单位矩阵相乘都不变。
$AE=A，EB=B$

举例：
$\left[\begin{array}{ccc}3& 3& 3\\ 4& 1& 1\\ 5& 9& 9\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}3\times 1+3\times 0+3\times 0& 3\times 0+3\times 1+3\times 0& 3\times 0+3\times 0+3\times 1\\ 4\times 1+1\times 0+1\times 0& 4\times 0+1\times 1+1\times 0& 4\times 0+1\times 0+1\times 1\\ 5\times 1+9\times 0+9\times 0& 5\times 0+9\times 1+9\times 0& 5\times 0+9\times 0+9\times 1\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}3& 3& 3\\ 4& 1& 1\\ 5& 9& 9\end{array}\right]$

3.5 三条矩阵乘法运算规律

① 结合律，$(AB)C=A(BC)$

② 分配律，$(A+B)C=AC+BC，C(A+B)=CA+CB$

③ $k(AB)=(kA)B=A(kB)$

以上三条规律，注意$A$、$B$的顺序，不管是结合、分配还是数乘之后，$A$、$B$的左右顺序没有发生变化。例如：$(A+B)C=CA+CB$是不正确的，因为矩阵$C$原来在右边，分配进去之后到了左边。

3.6 矩阵可交换的条件

例6：
求与$A=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right]$可交换的所有矩阵。

解：因为$A$为2×2的矩阵，设与其可交换的矩阵为$B$，则$B$也必定为2×2的矩阵。
设：$B=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$，则$AB=BA$。

即：$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right]$

故：$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ a+c& b+d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}a+b& b\\ c+d& d\end{array}\right]$

矩阵相等则左右两边为同型矩阵，且对应元素相等，所以：
$\{\begin{array}{l}a=a+b\\ b=b\\ a+c=c+d\\ b+d=d\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=a\\ b=0\\ c=c\\ d=a\end{array}$

得到：$B=\left[\begin{array}{cc}a& 0\\ c& a\end{array}\right]$
其中$a$、$c$为任意常数。

思考：
求与$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right]$可交换的所有矩阵。

解：因为$A$为2×3的矩阵，设与其可交换的矩阵为$B$，则$B$也必定为3×2的矩阵。
设：$B=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ d& e\\ m& n\end{array}\right]$，则：
$A_{2\times 3}{B}_{3\times 2}=M_{2\times 2}$
$B_{3\times 2}{A}_{2\times 3}=N_{3\times 3}$

由于$M$为2×2的矩阵，$N$为3×3的矩阵，所以$AB$和$BA$不可能相等。

所以：一个矩阵可交换，则该矩阵和其所有交换矩阵必须都是同阶方阵。
即：$A_n{B}_n=B_n{A}_n$

3.7 变量间的线性替换

例7：
$\{\begin{array}{l}{x}_1=y_1-y_2\\ x_2=y_1+y_2\end{array}①$

$\{\begin{array}{l}{y}_1=z_1+z_2+2z_3\\ y_2=z_1-2z_2+z_3\end{array}②$

$\{\begin{array}{l}{z}_1=u_1+u_2\\ z_2=u_1\\ z_3=-u_1+u_2\end{array}③$

解：分别将①式、②式和③式改写成矩阵相乘的形式，得：
$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right]④$

$\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& -2& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{z}_1\\ z_2\\ z_3\end{array}\right]⑤$

$\left[\begin{array}{c}{z}_1\\ z_2\\ z_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\\ -1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right]⑥$

将⑥式代入⑤式，再代入④式得：
$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& -2& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\\ -1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}0& 3& 1\\ 2& -1& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\\ -1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ -2& 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{c}2u_1+u_2\\ -2u_2+5u_2\end{array}\right]$

所以：
$\{\begin{array}{l}{x}_1=2u_1+u_2\\ x_2=-2u_2+5u_2\end{array}$

4 引用

《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_2.2 矩阵运算（一）