线性代数学习笔记（十）——矩阵运算（二）

本篇笔记讲解矩阵的幂运算和矩阵的转置，其中矩阵进行幂运算的前提是矩阵为方阵，矩阵幂运算的两条性质与数的幂运算规则类似；矩阵转置的定义与行列式转置类似，但要注意由于矩阵的行数和列数不同，所以转置之后行数和列数变换。

1 矩阵的幂

1.1 矩阵幂的定义

如果$A$是方阵，矩阵的幂定义如下：
$A^k=\underset{k}{AA...A}$

特别地：我们规定：$A^0=E$。

两条性质：
① $A^{k_1}{A}^{k_2}=A^{k_1+k_2}$
验证：$A^{k_1}{A}^{k_2}=\underset{k_1}{AA...A}\underset{k_2}{AA...A}=A^{k_1+k_2}$

② $(A^{k_1}{)}^{k_2}=A^{k_1{k}_2}$
验证：$(A^{k_1}{)}^{k_2}=\underset{k_2}{A^{k_1}{A}^{k_1}...A^{k_1}}=\underset{k_2}{\underset{k_1}{AA...A}\underset{k_1}{AA...A}...\underset{k_1}{AA...A}}=A^{k_1{k}_2}$

因为矩阵相乘不满足交换律，一般情况下：
$(AB{)}^k\ne A^k{B}^k$

举例：
$(AB{)}^2\ne A^2{B}^2$
因为：$(AB{)}^2=ABAB$
而：$A^2{B}^2=AABB$
很显然：中间的$AB$一般是$\ne BA$的。

思考1：
$(A+B{)}^2$与$A^2+2AB+B^2$是否相等？
答案是否定的。
因为：$(A+B{)}^2=(A+B)(A+B)$，根据矩阵相乘的分配律：
$=(A+B)A+(A+B)B$
$=A^2+BA+AB+B^2$

很显然：$2AB$一般与$BA+AB$是不相等的。
所以，同样的，$(A-B{)}^2$与$A^2-2AB+B^2$一般也是不相等的。

思考2：
$(A+E{)}^2$与$A^2+2AE+E^2$是否相等？
答案是肯定的。
因为：$(A+E{)}^2=(A+E)(A+E)$，根据矩阵相乘的分配律：
$=(A+E)A+(A+E)E$
$=A^2+EA+AE+E^2$
又因为：$EA=A，AE=A$
所以：$=A^2+2A+E^2$
故：$(A+E{)}^2=A^2+2AE+E^2$
注意$E^2$就等于$E$，$E^n$也等于$E$。

同样的，$(A-E{)}^2$与$A^2-2AE+E^2$一般也是相等的。

1.2 矩阵相乘练习

该部分内容请参考上一篇博客线性代数学习笔记（九）——矩阵运算（一）

例8：已知矩阵$A=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]$，矩阵$B=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right]$，求$AB$、$BA$、$(AB{)}^2$和$(AB{)}^{10}$。

解：
① $AB={\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]}_{3\times 1}{\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right]}_{1\times 3}$

$={\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 2& 3\\ 1& 2& 3\end{array}\right]}_{3\times 3}$

② 同理：$BA={\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right]}_{1\times 3}{\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]}_{3\times 1}=6$

③ $(AB{)}^2=ABAB$
$=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 2& 3\\ 1& 2& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 2& 3\\ 1& 2& 3\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}6& 12& 18\\ 6& 12& 18\\ 6& 12& 18\end{array}\right]$

另外一种思路：
$(AB{)}^2=A\underline{BA}B$
先计算中间的$BA$，由②可知其值为6，则原式：
$=6AB$
$=6\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 2& 3\\ 1& 2& 3\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}6& 12& 18\\ 6& 12& 18\\ 6& 12& 18\end{array}\right]$

④ $(AB{)}^{10}=A\underset{9}{\underline{BA}\underline{BA}...\underline{BA}}B$
$=6^{9}AB$
$=6^9\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 2& 3\\ 1& 2& 3\end{array}\right]$

注意：一般求矩阵高次幂的运算都是通过一定技巧化简的。

例9：略

2 矩阵的转置

2.1 矩阵转置的定义

矩阵的转置和行列式的转置类似，即将原来的行做成列，将原来的列做成行。

$A={\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 1& 1\end{array}\right]}_{2\times 3}$
$A^T={\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 1\\ 3& 1\end{array}\right]}_{3\times 2}$

与行列式一样，$A$的转置表示为$A^T$或$A^{’}$。
如果$A$为$m\times n$的矩阵，则$A^T$为$n\times m$的矩阵。

$(A^T{)}^T={\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 1& 1\end{array}\right]}_{2\times 3}$

2.2 矩阵转置的性质

★ ① $(A^T{)}^T=A$
② $(A+B{)}^T=A^T+B^T$
③ $(kA{)}^T=k{A}^T$
★ ④ $(AB{)}^T=B^T{A}^T$

注意：不是$(AB{)}^T=A^T{B}^T$，例如$A_{3\times 2}$、$B_{2\times 5}$，那么$A_{2\times 3}^T$和$B_{5\times 2}^T$中间不等，所以不能相乘；而$B_{5\times 2}^T$和$A_{2\times 3}^T$中间相等，可以相乘。

性质④推广：$(A_1{A}_2{A}_3{A}_4{)}^T=A_4^T{A}_3^T{A}_2^T{A}_1^T$
同样，性质②也有类似推广：$(A+B+C{)}^T=A^T+B^T+C^T$

3 引用

《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_2.2 矩阵运算（二）