线性代数学习笔记（十一）——特殊矩阵
本篇笔记介绍了几种特殊矩阵，包括数量矩阵、对角型矩阵、三角型矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，需要注意的是这些特殊矩阵都是方阵。其中对称矩阵和反对称矩阵的两个结论比较重要，在做题时基本都会用到，需要记住。
1 数量矩阵
主对角线元素全都相等，其余元素全都为零的矩阵。
[ a 0 ⋯ 0 0 a ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a ] \bcancel{\begin{bmatrix} a&0&{\cdots}&0\\ 0&a&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&0&{\cdots}&a\\ \end{bmatrix}} ⎣⎢⎢⎢⎡a0⋮00a⋮0⋯⋯⋱⋯00⋮a⎦⎥⎥⎥⎤
很明显，数量矩阵将主对角线元素提到外面后，矩阵将变成一个单位阵，即矩阵：
= a E =aE =aE
因为 a a a可以等于 0 0 0或 1 1 1，所以 O O O和 E E E都是特殊的数量矩阵。
数与数量矩阵相乘，以及数量矩阵之和、数量矩阵相减或数量矩阵相乘，仍然是数量矩阵。
b [ a 0 ⋯ 0 0 a ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a ] = a b E b\begin{bmatrix} a&0&{\cdots}&0\\ 0&a&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&0&{\cdots}&a\\ \end{bmatrix}=abE b⎣⎢⎢⎢⎡a0⋮00a⋮0⋯⋯⋱⋯00⋮a⎦⎥⎥⎥⎤=abE
[ 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1 ] + [ 2 0 ⋯ 0 0 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 2 ] = 3 E \begin{bmatrix} 1&0&{\cdots}&0\\ 0&1&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&0&{\cdots}&1\\ \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 2&0&{\cdots}&0\\ 0&2&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&0&{\cdots}&2\\ \end{bmatrix}=3E ⎣⎢⎢⎢⎡10⋮001⋮0⋯⋯⋱⋯00⋮1⎦⎥⎥⎥⎤+⎣⎢⎢⎢⎡20⋮002⋮0⋯⋯⋱⋯00⋮2⎦⎥⎥⎥⎤=3E
[ 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1 ] − [ 2 0 ⋯ 0 0 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 2 ] = − E \begin{bmatrix} 1&0&{\cdots}&0\\ 0&1&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&0&{\cdots}&1\\ \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 2&0&{\cdots}&0\\ 0&2&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&0&{\cdots}&2\\ \end{bmatrix}=-E ⎣⎢⎢⎢⎡10⋮001⋮0⋯⋯⋱⋯00⋮1⎦⎥⎥⎥⎤−⎣⎢⎢⎢⎡20⋮002⋮0⋯⋯⋱⋯00⋮2⎦⎥⎥⎥⎤=−E
[ 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1 ] [ 2 0 ⋯ 0 0 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 2 ] = 2 E \begin{bmatrix} 1&0&{\cdots}&0\\ 0&1&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&0&{\cdots}&1\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2&0&{\cdots}&0\\ 0&2&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&0&{\cdots}&2\\ \end{bmatrix}=2E ⎣⎢⎢⎢⎡10⋮001⋮0⋯⋯⋱⋯00⋮1⎦⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎡20⋮002⋮0⋯⋯⋱⋯00⋮2⎦⎥⎥⎥⎤=2E
注意：矩阵相加或相减时两个矩阵必须为同型矩阵，矩阵相乘时必须第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数（由于单位阵都是方阵，所以上述两个相乘的矩阵其实是同阶的方阵）。
对于数量矩阵 a E aE aE和任意可乘矩阵 B B B，有： ( a E ) B = B ( a E ) = a B (aE)B=B(aE)=aB (aE)B=B(aE)=aB。
由前面的介绍可知： A E = E A = A AE=EA=A AE=EA=A，但右乘的 E E E和左乘的 E E E并不相同。
例如： A 2 × 3 E 3 = E 2 A 2 × 3 A_{2×3}E_3=E_2A_{2×3} A2×3E3=E2A2×3中 E 3 E_3 E3和 E 2 E_2 E2阶数并不相同。
2 对角型矩阵
主对角线元素从 a 1 a_1 a1、 a 2 a_2 a2到 a n a_n an，其余元素全都为零的矩阵。
[ a 1 0 ⋯ 0 0 a 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a n ] \bcancel{\begin{bmatrix} a_1&0&{\cdots}&0\\ 0&a_2&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&0&{\cdots}&a_n\\ \end{bmatrix}} ⎣⎢⎢⎢⎡a10⋮00a2⋮0⋯⋯⋱⋯00⋮an⎦⎥⎥⎥⎤
对角型矩阵可写为： d i a g ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) diag(a_1,a_2,...,a_n) diag(a1,a2,...,an)
例如 d i a g ( 1 , 2 , 3 , 4 ) diag(1,2,3,4) diag(1,2,3,4)表示如下矩阵：
[ 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4 ] \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&2&0&0\\ 0&0&3&0\\ 0&0&0&4\\ \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎡1000020000300004⎦⎥⎥⎤
注意不是 [ 1 2 3 4 ] \begin{bmatrix}1&2&3&4\end{bmatrix} [1234]行矩阵。
很显然，数量矩阵也是一种特殊的对角型矩阵。
与数量矩阵类似，数与对角型矩阵相乘，以及对角型矩阵之和、对角型矩阵相减或对角型矩阵相乘，仍然是对角型矩阵，其和、差、积是其主对角线对应元素相加、相减和相乘所得到的对角型矩阵。
例1：设矩阵 A = d i a g ( k 1 , k 2 , k 3 ) A=diag(k_1,k_2,k_3) A=diag(k1,k2,k3)，矩阵 B = [ 1 2 3 2 2 2 8 8 8 ] B=\begin{bmatrix}1&2&3\\2&2&2\\8&8&8\end{bmatrix} B=⎣⎡128228328⎦⎤，求 A B AB AB和 B A BA BA。
① A B = [ k 1 0 0 0 k 2 0 0 0 k 3 ] [ 1 2 3 2 2 2 8 8 8 ] AB=\begin{bmatrix}k_1&0&0\\0&k_2&0\\0&0&k_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2&3\\2&2&2\\8&8&8\end{bmatrix} AB=⎣⎡k1000k2000k3⎦⎤⎣⎡128228328⎦⎤
= [ 1 k 1 2 k 1 3 k 1 2 k 2 2 k 2 2 k 2 8 k 3 8 k 3 8 k 3 ] =\begin{bmatrix}1k_1&2k_1&3k_1\\2k_2&2k_2&2k_2\\8k_3&8k_3&8k_3\end{bmatrix} =⎣⎡1k12k28k32k12k28k33k12k28k3⎦⎤
不难发现：对角矩阵左乘另一个矩阵，相当于用对角元素依次乘以这个矩阵的行。
② B A = [ 1 2 3 2 2 2 8 8 8 ] [ k 1 0 0 0 k 2 0 0 0 k 3 ] BA=\begin{bmatrix}1&2&3\\2&2&2\\8&8&8\end{bmatrix}\begin{bmatrix}k_1&0&0\\0&k_2&0\\0&0&k_3\end{bmatrix} BA=⎣⎡128228328⎦⎤⎣⎡k1000k2000k3⎦⎤
= [ 1 k 1 2 k 2 3 k 3 2 k 1 2 k 2 2 k 3 8 k 1 8 k 2 8 k 3 ] =\begin{bmatrix}1k_1&2k_2&3k_3\\2k_1&2k_2&2k_3\\8k_1&8k_2&8k_3\end{bmatrix} =⎣⎡1k12k18k12k22k28k23k32k38k3⎦⎤
同理，不难发现：对角矩阵右乘另一个矩阵，相当于用对角元素依次乘以这个矩阵的列。
3 三角型矩阵
3.1 上三角型矩阵
主对角线以下元素全为零的矩阵。
例如： [ 1 1 1 0 1 1 0 0 1 ] \bcancel{\begin{bmatrix}1&1&1\\\color{red}{0}&1&1\\\color{red}{0}&\color{red}{0}&1\end{bmatrix}} ⎣⎡100110111⎦⎤
3.2 下三角型矩阵
主对角线以上元素全为零的矩阵。
例如： [ 1 0 0 2 3 0 4 5 6 ] \bcancel{\begin{bmatrix}1&\color{red}{0}&\color{red}{0}\\2&3&\color{red}{0}\\4&5&6\end{bmatrix}} ⎣⎡124035006⎦⎤
上三角型矩阵和下三角型矩阵统称为三角型矩阵。
显然，对角型矩阵即是上三角型矩阵也是下三角型矩阵。
数和上三角型矩阵或下三角型矩阵的乘积，以及上三角型矩阵和下三角型矩阵的和、减、积均是上三角型矩阵或下三角型矩阵。
4 对称矩阵
对称矩阵和对称行列式的定义类似，即以主对角线为轴，上下元素对应相等的矩阵。
例如： [ 1 1 − 1 1 2 4 − 1 4 3 ] \bcancel{\begin{bmatrix}1&1&-1\\1&2&4\\-1&4&3\end{bmatrix}} ⎣⎡11−1124−143⎦⎤
所以： a i j = a j i a_{ij}=a_{ji} aij=aji。
对称矩阵重要结论： A T = A \color{red}{A^T=A} AT=A，几乎所有对称矩阵题目都要用到些等式。
显然，两个同阶对称矩阵的和、差和数乘仍然是对称矩阵，但是两个对称矩阵的乘积一般不再是对称矩阵。
验证：
假设矩阵 A A A和矩阵 B B B是两个同阶对称矩阵，那么： A T = A A^T=A AT=A， B T = B B^T=B BT=B。
① 对称矩阵的和：
( A + B ) T = A T + B T = A + B (A+B)^T=A^T+B^T=A+B (A+B)T=AT+BT=A+B
② 对称矩阵的差：
( A − B ) T = A T − B T = A − B (A-B)^T=A^T-B^T=A-B (A−B)T=AT−BT=A−B
③ 对称矩阵的数乘：
( k A ) T = k A T = k A (kA)^T=kA^T=kA (kA)T=kAT=kA
④ 对称矩阵相乘：
( A B ) T = B T A T = B A ≠ A B (AB)^T=B^TA^T=BA{\neq}AB (AB)T=BTAT=BA=AB
定理1：如果 A A A、 B B B是两个同阶对称矩阵， A B AB AB仍然是对称矩阵 ⇔ A {\Leftrightarrow}A ⇔A和 B B B可交换。
充分性： ( A B ) T = B T A T = B A = A B (AB)^T=B^TA^T=BA=AB (AB)T=BTAT=BA=AB；
必要性： A A A和 B B B可交换，则 A B = B A AB=BA AB=BA，故 ( A B ) T = A B (AB)^T=AB (AB)T=AB，所以 A B AB AB就是对称矩阵。
例2：已知 A A A是一个 m × n m×n m×n的普通矩阵，证明： A A T AA^T AAT与 A T A A^TA ATA都是对称矩阵。
证明：
① 因为 ( A A T ) T = ( A T ) T A T = A A T (AA^T)^T=(A^T)^TA^T=AA^T (AAT)T=(AT)TAT=AAT，所以 A A T AA^T AAT是对称矩阵；
② 因为 ( A T A ) T = A T ( A T ) T = A T A (A^TA)^T=A^T(A^T)^T=A^TA (ATA)T=AT(AT)T=ATA，所以 A T A A^TA ATA是对称矩阵。
练习： A A A、 B B B均是 n n n阶矩阵，并且 A A A是对称矩阵，证明 B T A B B^TAB BTAB也是对称矩阵。
证明：因为 ( B T A B ) T = B T A T ( B T ) T = B T A T B (B^TAB)^T=B^TA^T(B^T)^T=B^TA^TB (BTAB)T=BTAT(BT)T=BTATB，
又因为 A A A是对称矩阵，所以 B T A T B = B T A B B^TA^TB=B^TAB BTATB=BTAB，
即 ( B T A B ) T = B T A B (B^TAB)^T=B^TAB (BTAB)T=BTAB，
所以 B T A B B^TAB BTAB是对称矩阵。
5 反对称矩阵
反对称矩阵也和反对称行列式的定义类似，即以主对角线为轴，上下元素对应成相反数的矩阵。
例如： [ 0 1 − 3 − 1 0 − 4 3 4 0 ] \bcancel{\begin{bmatrix}0&1&-3\\-1&0&-4\\3&4&0\end{bmatrix}} ⎣⎡0−13104−3−40⎦⎤
所以： a i j = − a j i a_{ij}=-a_{ji} aij=−aji，对于主对角线上的元素： a i i = − a i i a_{ii}=-a_{ii} aii=−aii，所以 a i i = 0 a_{ii}=0 aii=0，即反对称矩阵主对角线上元素全为零（对称矩阵主对角线上元素没有要求）。
反对称矩阵重要结论： A T = − A \color{red}{A^T=-A} AT=−A，只要证明是反对称矩阵，一般都要使用些公式。
显然，与对称矩阵类似，两个同阶反对称矩阵的和、差、数乘仍然是反对称矩阵，但两个反对称矩阵的乘积一般不再是反对称矩阵。
6 引用
《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_2.3 特殊矩阵