扩展欧几里得算法

一、简介

       扩展欧几里得算法是欧几里得算法（又叫辗转相除法）的扩展。除了计算a、b两个整数的最大公约数，此算法还能找到整数x、y（其中一个很可能是负数）。通常谈到最大公因子时, 我们都会提到一个非常基本的事实: 给予二整数 a 与 b, 必存在有整数 x 与 y 使得ax + by = gcd(a,b)。有两个数a,b，对它们进行辗转相除法，可得它们的最大公约数——这是众所周知的。然后，收集辗转相除法中产生的式子，倒回去，可以得到ax+by=gcd(a,b)的整数解。

 

二、分析

最直观的问题使求解 有多少个整数点（x，y）满足ax+by+c==0

先看一下扩展欧几里得算法——找出一对整数（x，y），使得ax + by = gcd(a,b)，x，y可能小于等于零

行列式变换求解：

其中x，y用来存放解， d用来存放a和b的最大公约数 : 

#include
using namespace std;
void gcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)
{
	if(!b)
		d=a, x=1, y=0;
	else
	{
		gcd(b,a%b,d,y,x);
		y-=x*(a/b);
	}
}

 

那么怎么求其他解：

• 任取一组解（x2，y2），则ax1+by1==ax2+by2（都等于gcd（a，b）==d），
• 变形得a（x1-x2）==b（y2-y1）
• 两边同时除以gcd（a，b）（a/=d ，b/=d）
• 此时a与b互素，因此（x1-x2）一定是b的整数倍，则y2-y1==ka，k为正整数

有了这个结论，很容易求出ax+by=-c

例如：求 6x+15y=9，

根据欧几里得算法得到6*（-2)+15*1=3，

两边同时乘以3，可以得到出x=-6，y=3，

所以，只需要求出d和c的最小公倍数，然后用最小公倍数除以c，得到倍数，然后将x与y分别乘以这个倍数即可

 

四、应用

输入方正整数a，b，n，解方程ax≡b（mod n），也就是求解ax和b关于n同余

由同余定理，ax≡b（mod n）的充要条件是ax-b是n的整数倍

那么我们设这个倍数为y ，则得到 ax-ny=b，可以用上述算法解

当a和n互素的时候，此方程有为一解