欧拉定理详解

0 前言

欧拉定理(Euler Theorem)，也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理，这是一个关于正整数同余的公式，表示为：$$a^{\phi (n)}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$$其中，$a$ 与 $n$ 均为正整数，且两者互质。具体这个公式到底有什么含义，在实际中如何使用，本文将进行详细解释。

1 基本概念

首先，欧拉定理讨论的内容是整数的操作（记为：$\mathbb{N}$），尤其是正整数（${\mathbb{N}}^{+}$）相关的，所以，为了理解欧拉定理，让我们先了解一些基本概念。

1.1 余数 (Reminder)

若整数 $m,n,k,r$ 满足 $m=k\times n+r$，且 $n\ne 0，0\le r<n$，则称 $r$ 是 $m$ 对 $n$ 的余数。举例来说，$13=2\ast 5+3$，其中3就是13除以5的余数。我们也可以换一种方式来表达 $r=m-\lfloor \frac{b}{a}\rfloor n$，即 $\lfloor \frac{b}{a}\rfloor$ 表示取 a 除以 b 的整数部分。为了求余数，定义 mod 作为取余操作，如 $r=m$ mod $n$，当 $r=0$ 时，称 $m$ 可以被 $n$ 整除，记作 $a|b$。

注：$\lfloor \rfloor$ 是对小数的取整数部分的操作，如 $\lfloor \frac{5}{4}\rfloor =\lfloor 1.25\rfloor =3$，$\lfloor 3.1415926\rfloor =3$.

1.2 质数 (Prime)

给定自然数n大于1，若n只能够被1和其本身整除，则n是质数（也叫素数）。如 2，3，5，7，11，13 等都是质数。

1.3 公约数

若正整数 $a,b$ 都可以被 $c$ 整除，则 $c$ 是 $a,b$ 的公约数，记作 $a,b|c$。如6是24和36的公约数。$a,b$的公约数可以有多个，其中最大公约数记作 $gcd(a,b)$ 或简化形式 $(a,b)$。

1.4 互质 (relatively prime)

若 $a,b$ 均为正整数且两者的公约数只有1，则称两个数互质，记为：$(a,b)=1$。举例来说，(5,6)=1, (15, 13)=1。这里要特别注意，互质与这两个数是否为质数没有任何关系，比如 (3,5)=1 是两个质数，而(15,8)=1，则是两个合数。

1.5 同余 (congruence modulo)

给定一个正整数 $m$，如果两个整数 $a$ 和 $b$ 满足 $a-b$ 能够被 $m$ 整除，即 $(a-b)/m$ 的结果为正整数，那么就称 $a$ 与 $b$ 对 模 $m$ 同余，或简称为对 $m$ 同余，记作 $a\equiv b(\text{mod}m)$，其中符号 $\equiv$ 表示同余，对模 $m$ 同余是整数的一个重要等价关系。根据这个定义，我们可以知道欧拉定理是一个关于同余的定理。

2 欧拉函数 $\phi (n)$

2.1 定义

设 $n\in {\mathbb{N}}^{+}$ ，则 $\phi (n)=|A|，其中A=\{m|1\le m<n$, $(m,n)=1\}$。

注：$|S|$ 表示集合S元素的个数。

解释：给定一个正整数 $n$，欧拉函数就是求在 $[1,n)$ 区间上，与 $n$ 互质的整数的个数。举例来说，设$m=8$，则与8互质的正整数集合$A=1,3,5,7$，此集合共有4个元素，所以 $\phi (8)=4$。

2.2 性质

欧拉函数的定义域与值域有一一对应关系，即已知 $m$ 可以求出唯一的 $\phi (m)$，但是反过来不可能，如已知 $\phi (m)=4$，除了8，结果还可以是其他值，如10（此时$A=[1,3,7,9]$）。所以欧拉函数的逆函数的解有多个值，尤其是当 $\phi (m)$ 的值很大时，有更多的解。这个性质很重要，在密码学中有相关的应用。

2.3 计算

有了这个函数以后怎么计算，我们分情况讨论：

• 情况1：$n=1$，则 $\phi (n)=1$，因为1与自身互质；
• 情况2：$n$ 是质数，则 $\phi (n)=n-1$, 因为任何一个质数与比自身小的数都只有1这个公约数；
• 情况3：$n=p^k$，其中 $p>1,k\ge 1$ 且均为正整数，则 $\phi (n)=\phi (p^k)=(p-1)\ast p^{k-1}$；
• 情况4：$n=pq$，其中 $p,q$均为质数，则 $\phi (n)=\phi (pq)=\phi (p)\phi (q)$。

关于情况4，我们可以简单证明：
由于 $p,q$ 是质数，所以与 $pq$ 不互质的数只有两种情况：
1：$p$的整数倍： $p,2p,3p,...,(q-1)p$，共 $q-1$ 个；
2：$q$的整数倍： $q,2q,3q,...,(p-1)q$，共 $p-1$ 个；
所以在区间 $[1,pq)$ 上，与 $qp$ 互质的正整数个数$=$比 $pq$ 小的正整数个数 $-p$ 的倍数 $-q$ 的倍数
即，$\phi (pq)=(pq-1)-(q-1)-(p-1)=pq-p-q+1=(p-1)(q-1)$
证毕。

2.4 计算扩展

我们对情况4进行扩展，可以得到更为一般的欧拉函数的计算方法：

已知 $n,p$ 均为正整数，若 $$n=\prod _{p|n,1\le p<n}{p}^{a_p-1}$$则：$$\phi (n)=\prod (p-1)p^{a_p-1}\dots \dots (Eq.1)$$也可以表示为：$$\phi (n)=n\prod (p-\frac{1}{p})\dots \dots (Eq.2)$$

举例说明，设 $n=72$，则$\phi (n)=\phi (72)=\phi (8\ast 9)=\phi (2^3\ast 3^2)$。此时，我们可以使用以上两个公式分别计算：
使用 $Eq.1$ 可得：$$\phi (2^3\ast 3^2)=(2-1)2^{3-1}\ast (3-1)3^{2-1}=4\ast 6=24$$
使用 $Eq.2$ 可得：$$\phi (2^3\ast 3^2)=72\ast (1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})=72\ast \frac{1}{2}\ast \frac{2}{3}=24$$

使用两种公式计算结果一致。
注1：$p|n$ 表示 $n$ 能被 $p$ 整除。
注2：$a_p$ 表示的是最大次方，如8可以写成 $2^3$，此时 $a_p$ 为 $3$，但是不可以写成 $2^2\ast 2^1$。

3 欧拉公式

3.1 定义

对任意两个正整数 $a,n$，若两者素质，则：$a^{\phi (n)}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$。
注：作为对比，费马小定理（$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$，其中 $p$ 为质数），实际上就是欧拉公式的特殊情况。

3.2 证明

设与 $n$ 互质的正整数集合为：$Z_n=\{x_1,x_2\dots \dots x_{\phi (n)}\}$，共$\phi (n)$个元素，我们考虑再另一个集合 $S=\{m_1,m_2,\dots ,m_{\phi (n)}\}$，其中 $m_i=a\ast x_1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$，则 $Z_n=S$，这是因为：
① 因为 $a$ 与 $n$ 互质，$m_i=a\ast x_{i}modn$，则 $m_i$ 与 $n$ 互质；
② 当 $i\ne j$ 时， $x_i\ne x_j$，所以 $x_i(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)\ne x_j(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$，由 $a,n$ 互质可得 $a\ast x_i(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)\ne a\ast x_j(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$。

设 $P_{Z_n}={\prod }_1^{\phi (n)}{x}_i,P_S={\prod }_1^{\phi (n)}{m}_i$，因为 $Z_n=S$， 所以 $P_{Z_n}=P_S$。

$a^{\phi (n)}\ast P_{Z_n}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$
$=(a^{\phi (n)}\ast x_1\ast x_2\ast ...\ast x_{\phi (n)})\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$
$=(a{x}_1\ast a{x}_2\ast ...\ast a{x}_{\phi (n)})\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$ # 将a的指数展开并分配至每个x
$=(a{x}_1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)\ast (a{x}_2\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)\ast ...\ast (a{x}_{\phi (n)}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$
$=(m_1\ast m_2\ast ...\ast m_{\phi (n)})\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$
$=P_S\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n=P_{Z_n}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$

即 $$a^{\phi (n)}\ast P_{Z_n}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n=P_{Z_n}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$$根据余数性质，两边可以同时消去$P_{Z_n}$，可得：$$a^{\phi (n)}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n=1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$$最终可得：$$a^{\phi (n)}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$$证毕。

4 总结

本文首先介绍了欧拉函数的基础知识，然后介绍了欧拉函数，欧拉定理及其证明。欧拉定理是一个重要的定理，在很多领域都有应用，比如在信息安全领域，非对称公私钥加密算法RSA就是基于欧拉定理。

参考资料

[1] 余数定理，郝老师，2020/05/03.
[2] 欧拉定理，百度百科。