数字信号处理——FFT

作者：BerenCamlost

参考资料：

1. 老师PPT：百度网盘链接 提取码: dhn4
2. 数字信号处理课本
3. 超星视频：B站视频链接

第四章 FFT

4.1 DFT运算量和FFT运算量对比

• DFT：$N^2$次复乘，$N(N-1)$次复加
• FFT：$\frac{N}{2}lo{g}_{2}N$次复乘，$Nlo{g}_{2}N$次复加
  • 其中FFT中的N为2的整次幂

4.2 按时间抽取的基2 - FFT原理

4.2.1 算法原理

$$\{\begin{array}{cc}X[k]=G[k]+W_N^{k}H[k]& k=0,1,2...\frac{N}{2}-1\\ X[k+\frac{N}{2}]=G[k]-W_N^{k}H[k]& k=0,1,2...\frac{N}{2}-1\end{array}$$

• 其中N为2的整次幂

4.2.2 蝶形算法

• 蝶形算法和上面的公式是同一个东西的不同表现形式。

4.3 按时间抽取的FFT流图

• 这里以16点FFT流图为例进行解释（注意这个图的W_N标注的位置可能有些奇怪）
  

4.3.1 算法原理

由蝶形构成基本运算单元，每个流图共有M级，每一竖列有N/2个蝶形，于是得到公式$M=lo{g}_{2}N$

4.3.2 原位运算

由于DFT算法的限制，导致源数据将作为每一次运算的操作数，这使得储存容量的要求很大。而FFT算法，从蝶形图中可以看出，下一个蝶形的数据源和上一次的数据源是不同的，所以可以把每一次蝶形运算得到的数据直接存放在原来的存储区域，大大减小了存储容量的要求。

4.3.3 序数重排

可以看到，FFT的结果值是按顺序排列的，如果把计算结果k的二进制和数据源的n的二进制相比较，可以发现如下规律：

数据源顺序	二进制	二进制	FFT顺序
0	0000	0000	0
8	1000	0001	1
4	0100	0010	2
12	1100	0011	3
2	0010	0100	4
10	1010	0101	5
6	0110	0110	6
14	1110	0111	7

等等……
可以发现前后两个数的二进制是正好反过来的。

4.3.4 系数的确定

随缘