计算机组成原理复习（三）：2.运算方法和运算器（二）
2.运算方法和运算器（二）
前言
- “加减乘除”的本质都是“加法”
- “加法”的本质就是位运算（异或+与）
- 位运算的本质就是逻辑门电路
后面，我会用c语言只用位运算模拟一个加法，然后用这个加法实现“加减乘除”
定点加法、减法运算
定点加法
这个要讲的其实不多，直接看例子吧：
【例1】x = +1001，y = +0101，求x+y
解：[x]补 = 0 1001，[y]补 = 0 0101
0 1001
+ 0 0101
-----------
0 1110
∴x + y = +1110
【例2】x = +1011，y = -0101，求x+y
解：[x]补 = 0 1011，[y]补 = 1 1011
0 1011
+ 1 1011
-----------
[1]0 0110
∴x + y = +0110
讲讲注意点吧：
- 符号位也要参与运算
- 超出的进位要舍去
定点减法
还记得我说的那句话吗？减法的本质就是加法：[x-y] = [x] - [y] = [x] + [-y]
还是直接上例子吧：
【例1】x = -1110，y = +1101，求[x]补、[-x]补、[y]补、[-y]补
[x] = 1 0010
[-x] = 0 1110
[y] = 0 1101
[-y] = 1 0011
【例2】x = +1101，y = +0110，求x-y
解：[x]补 = 0 1101，[-y]补 = 1 1010
0 1101
+ 1 1010
-----------
[1]0 0111
∴x - y = +0111
溢出与检测
运算中，两个数相加，如果大于字长，直接溢出，那不是贼伤，比如：
0 1011
+ 0 1001
-----------
1 0100
==============
1 0011
+ 1 0101
-----------
0 1000
正数+正数=负数？此为正溢。
负数+负数=正数？此为负溢。
那咋办嘛？好办，引入双符号位法（也就是变形补码）：
- 00：正数
- 01：正溢
- 10：负溢
- 11：负数
上例子：
【例1】x = +1100，y = +1000，求x+y
解：[x]补 = 00 1100，[y]补 = 00 1000
00 1100
+ 00 1000
------------
01 0100
∴x + y 正溢出啦
【例2】x = -1100，y = -1000，求x-y
解：[x]补 = 11 0100，[y]补 = 11 1000
11 0100
+ 11 1000
------------
10 1100
∴x + y 负溢出啦
规律其实很简单，两个符号为相同就没毛病，不相同就出问题
诶，要是我不想双符号位，我就只想用单符号可以吗？当然可以！
来，再看一遍这个例子：
0 1011
+ 0 1001
-----------
1 0100
==============
1 0011
+ 1 0101
-----------
0 1000
-
正溢出：最高有效位有进位，符号位无进位
-
负溢出：最高有效位无进位，符号位有进位
牛逼吧？
最基本的二进制加/减法器
我们硬核点，直接上【全加器】（简称FA，FullAdder）的真值表吧
| A | B | Cin | S | Cout |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
可以得到：
- S = A ⊕ B ⊕ Cin
- Cout = AB + A‘BCin + AB’Cin = AB + (A ⊕ B) Cin
电路搭起来！（下图打印错误，左上角是或门，不是异或门）
完成了加法，那减法呢？很简单，把Cin置1，并且在B前面加个非门，把它反过来就行了
时间延迟的计算：
T为单级逻辑电路的单位门延迟，与门、或门1个T，异或门3个T，总延迟为6T
- S的延迟：6T
- Cout的延迟：5T
我们把FA抽象出来，封装成一个黑盒，用一些黑 魔法把它变成一个n位的行波进位加减器（也叫串行）
- 优点：设计简单，节省器件，成本低
- 缺点：延时传递，速度慢
-
通过多加一个M控制器，走到B前面，加个异或门，也走到第一个Cin来完成控制加减法的操作
-
当前FA的Cin是上一个FA的Cout，得前一个算完，才能轮到我
时间延迟的计算：
t = 6 T + 2 T ∗ n + 3 T = ( 2 n + 9 ) T t = 6T + 2T*n + 3T = (2n + 9)T t=6T+2T∗n+3T=(2n+9)T
- 咋算的？
- 最低位的两级“异或门”时延，6T
- Cn的时延，2T*n【2T即2级与门的进位链】
- 溢出时延，3T
这个溢出的判断，就是单符号位法，只是不能判断正溢出还是负溢出
C语言模拟
加法
在模拟之前，我们先来看看大致过程，可能与上文不太相同：
4 + 5 = ?
解：[x]补 = 0 0100，[y]补 = 0 0101
异或：
0 0100
^ 0 0101
-----------
0 0001
# 异或后是无进位的结果
与：
0 0100
& 0 0101
-----------
0 0100
# 与后不为0，将结果左移1位，继续运算
=============================================
异或：
0 0001
^ 0 1000
-----------
0 1001
# 从这次开始的异或，都拿前一次异或的结果和前一次与完并移位的结果
与：
0 0001
& 0 1000
-----------
0 0000
# 与后为0，结束运算
=============================================
异或结果即结果：4 + 5 = 0100 + 0101 = 1001 = 9
代码怎么写呢？
#include 减法
一样用4-5的的例子：
4 + (-5) = ?
1 0101
解：[x]补 = 0 0100，[-y]补 = 1 1011
异或：
0 0100
^ 1 1011
-----------
1 1111
# 异或后是无进位的结果
与：
0 0100
& 1 1011
-----------
0 0000
# 与后为0，结束运算
=============================================
异或结果即结果：4 - 5 = 4 + (-5) = 0 0100 + 1 1011 = 1 1111 = -1
代码就在上面代码的基础上，稍稍封装一下：
int sub(int a,int b){
return add(a,-b);
}
我们跑一下：
xor result is:0x0001
and result is:0x0004
and left shift 1 bit:0x0008
xor result is:0x0009
and result is:0x0000
and result is 0,finished the operation!
4 + 5 = 9
----------------------------------------
xor result is:0xFFFFFFFF
and result is:0x0000
and result is 0,finished the operation!
4 - 5 = -1
硬核吧，哈哈哈哈哈哈哈哈哈
定点乘法运算
给你个式子，x=1101，y=1011，求其乘积，你怎么求？
1101(x)
* 1011(y)
----------------
1101
1101
0000
+ 1101
----------------
10001111
大概率是这么想的吧？人脑的思维模式就是这样算的，但不太适合机器：
- 假设机器是n位，那乘积就很可能是2n位
- 只有两个操作数相加的加法器，很难将n个位积一次加起来
- 多次执行“加法-移位”又太慢
那咋办呢？多亏于大规模集成电路的发展，出现了并行的流水式阵列乘法器
不带符号的阵列乘法器
我们先来看看m*n位不带符号的阵列乘法器逻辑框图（需要m乘n个与门）
实现这个过程还是比较贴合人类的思维模式的：
可能还不够清晰，我们以5位乘5位的乘法器为例：
- FA的斜向方向为进位输出
- FA的竖线方向为和输出
- 时延分析：
- ① 由n*n个与门，同时产生各FA的求和项aibj的时延：T
- ② 垂直方向，每经过一个FA有6T，到倒1层的输入：6T*(n-1)
- ③ 最后一层输入进去的异或门时延：3T
- ④ 最后一层水平方向进位传递，到最后一个FA输入：2T*(n-1)
- ⑤ 总和：(8n-4)T
带符号的阵列乘法器
提到有符，就不得不想到补码，我们可以先看一下常用的补码电路：
符号与数值分开处理，符号采用异或电路，数值采用无符号阵列乘法器：
-
原码数据可以直接运算
-
若输入为补码数据，需转换成原码后再运算
-
E = 0，不变；E = 1，求补
- 如果是原码输入，直接能用，也就不需要求补了
- 如果是补码输入，则需要求补，还原成原码计算
看倒例题：设x=-15,y=-13,用补码求x*y
[x]补 = 1 0001，[y]补 = 1 0011
解：
符号部分：xn⊕yn = 1⊕1 = 0
数值部分：|x|=1111,|y|=1101（这部是把补码还原成原码）
1111(x)
* 1101(y)
----------------
1111
0000
1111
+ 1111
----------------
11000011
因为符号位为0，所以求补输出结果也为：0 11000011
定点除法运算
原码除法
-
规则：符号与数值分开计算
- 商的符号：同号为正，异号相除为负。（可由异或实现）
- 商的数值部分由两数的绝对值相除获得。可看做是两个正数相除
-
直接上例题吧：ｘ＝0.1001,ｙ＝0.1011.求x÷y
一样，这是符合我们人脑的思维模式；但机器需要先做减法，看余数正负才知道够不够减，减下去不够减，就得恢复余数，这就有了恢复余数法，当然，也有不恢复余数法（加减交替法），根据余数符号继续往下减
除法器的设计
可控加减法单元（CAS）
这可是组成我们阵列的基本单元，FA的升级版
-
P=0，CAS做加法
-
P=1，CAS做减法
-
考虑最大的信号时延，则对于Ci的输入，Ci+1的时延为：3T
一样，做除法器也是需要牛的阵列
-
2n位除以n位的不恢复余数阵列除法器，含有(n+1)^2 个CAS单元。
-
考虑最大信号延迟，除法执行时间为： 3(n+1)^2*T
当然啦，这个不是重点，重点是它的组成结构——不恢复余数除法器
恢复余数除法器
虽然不是重点，但我们也先说一下，有个对比先
大致流程：
-
通过减法依次比较被除数和除数，判定商；若不够减，则通过回加余数恢复
-
缺点：控制复杂
-
运算要求
- 确保参与运算的均是纯小数， 且被除数小于除数
- 被除数数值位扩充为除数数值位2倍
具体例子不说了，直接上重点
不恢复余数除法器
流程如下：
-
不恢复余数法
- 通过减法依次比较被除数和除数，判定商。
- 若不够减，不恢复余数，而根据余数的符号决定下一步操作
- 最后一步的操作特殊处理，若商为0要恢复余数
- 也称为加减交替法
-
注意
- 被除数（数值部分，即尾数）长度= 2*除数长度
- 送入不恢复余数阵列除法器计算时，必有被除数<除数。若原始数据不满足，则通过比例因子进行处理。
这样一来，降低了控制的复杂程度
光说没内味，直接上例题吧！
【例题】x=0.101001, y=0.111, 求q = x÷y
解：
[x]补＝0.101001，[y]补＝0.111 ，[-y]补＝1.001
0.101001 ;被除数x
+[-y] 1.001 ;第一步减除数y
---------------------------
1.110001 <0 q4=0 ;余数为负，商0，下步做加法
+[y] 0.0111 ;除数右移1位加（正0）
---------------------------
0.001101 >0 q3=1 ;余数为正，商1，下步做减法
+[-y] 1.11001 ;除数右移1位减（负1）
---------------------------
1.111111 <0 q2=0 ;余数为负，商0，下步做加法
+[y] 0.000111 ;除数右移1位加（正0）
---------------------------
0.000110 >0 q1=1 ;余数为正，商1，直接结束
商：q = q4.q3q2q1 = 0.101
余数：r = 0.000110
C语言模拟
乘法
int mul(int a,int b){
int i,res=0;
int flag;
// if the result is positive
if(a>0 && b>0 || a<0 && b<0){
flag = 1;
}else{
flag = 0;
}
a = abs(a);
b = abs(b);
for(i=0;i<b;i++){
res = add(res,a);
}
if(flag)
return res;
else
return -res;
}
除法
int div(int a,int b){
int i,count,res,quotient=0;
int flag;
// if the result is positive
if(a>0 && b>0 || a<0 && b<0){
flag = 1;
}else{
flag = 0;
}
a = abs(a);
b = abs(b);
res = a;
while(sub(res,b)>0){
res = sub(res,b);
quotient++;
}
if(flag)
return quotient;
else
return -quotient;
}
一些小练习
- X=-1100， Y=-1000，则X+Y的结果用变形补码可表示为（），其中符号位为（），说明（）（有/无）溢出 。
解：[x]补 = 11 0100，[y]补 = 11 1000
11 0100
+ 11 1000
------------
10 1100
∴ x + y = 10 1100，符号位为10，有溢出（负溢出）
- Y=-10001，在字长为8位的机器中，[-Y]的补码为（）。
解：
[Y]原 = 1 10001
[-Y]原 = 0 10001
[-Y]补 = 0 10001 = 0001 0001
- 实现8位*8位的不带符号阵列乘法器，共需要（）个全加器，（）个与门。
FA：8 * (8-1) = 56
与门：8 * 8 = 64
- X=11000，Y = -11111，请用不恢复余数除法计算X÷Y，写出完整的解题过程。
提示：
①先将X和Y转换为纯小数；
②符号位和数值部分分开计算，仅将X和Y的绝对值部分（正数）按流程计算
解：
x = 0.11000*2^5, y = -0.11111*2^5, 相互抵消一下，其实就没了
这边我们暂时把x和y的2^5去掉，负号也暂时先放一边
[x]补＝0.11000 00000，[y]补＝0.11111 ，[-y]补＝1.00001
0.1100000000 ;被除数x
+[-y] 1.00001 ;第一步减除数y
---------------------------
1.1100100000 <0 q6=0;余数为负，商0，下步做加法
+[y] 0.011111 ;除数右移1位加（正0）
---------------------------
0.0100010000 >0 q5=1;余数为正，商1，下步做减法
+[-y] 1.1100001 ;除数右移1位减（负1）
---------------------------
0.0000011000 >0 q4=1;余数为正，商1，下步做减法
+[-y] 1.11100001 ;除数右移1位减（负1）
---------------------------
1.1110011100 <0 q3=0;余数为负，商0，下步做加法
+[y] 0.000011111 ;除数右移1位加（正0）
---------------------------
1.1111011010 <0 q2=0;余数为负，商0，下步做加法
+[y] 0.0000011111 ;除数右移1位加（正0）
---------------------------
1.1111111001 <0 q1=0;最后一位商为0，要恢复余数
+[y] 0.0000011111 ;恢复余数时，均+[y]补
---------------------------
0.0000011000
商：q = -q6.q5q4q3q2q1 = -0.11000
余数：r = 0.0000011000 * 2^5 = 0.11000