5G NR LDPC码（1）—— LDPC码设计原理

5G NR中规定了控制消息和广播信道用Polar码，数据传输用LDPC码的方案。

1. LDPC属于线性分组码，常用校验矩阵或者Tanner图来描述。

• 用校验矩阵来描述LDPC码，可以清晰的看到信息比特和校验比特之间的约束关系，在编码过程中使用较多。
• Tanner图把校验节点和变量节点分为两个集合，然后通过校验方程的约束关系连接校验节点和变量节点。如果为1，则有连线。圆圈为变量节点，方框代表校验方程。

2. LDPC为低密度奇偶校验编码，校验矩阵一般是一个稀疏矩阵，即其中只有一小部分元素是1，其余元素皆为0。对于校验矩阵为H的LDPC码，其码字c满足Hc=0。定义列重为 i 的列所占的比例为vi，行重为 i 的行所占的比例为hi，称为度分布。
3. LDPC码基于消息传递算法进行译码，校验矩阵的稀疏性保证了译码算法复杂度随着码长线性增长。

LDPC码设计原理

​ LDPC码的校验矩阵或Tanner图决定了其性能。消息传递算法可以理解为在Tanner图上传递消息的过程，这些消息代表码字中编码比特值的概率分布。通过跟踪Tanner图上传递的消息，采用密度演进算法可以估计LDPC码的性能。另一方面，在实际应用中，LDPC码必须以低复杂度的描述和编译码来实现，支持灵活的资源调度和重传。随着LDPC码技术的发展，一些重要的技术特性涌现以满足这些需求。比如，RL（Raptor Like）结构的出现使得LDPC码可以很好的支持多码率、多码长以及增量冗余混合自动重传请求（IR-HARQ，Incremental Redundancy Hybrid Automatic Repeat request）；准循环（Quasi-Cyclic）结构使LDPC码的低复杂度、高吞吐的编译码器易于实现。针对这些关键技术，本节介绍LDPC码的设计原理。

1. 消息传递算法与密度演进

（1）消息传递算法

• 将Tanner图加以推广，可以得到更一般的因子图，用来描述多变量函数的结构，校验节点在因子图中称为函数节点，如果变量节点是某个因子函数（检验方程）的自变量，那么在因子图上各变量节点和函数节点之间通过一条边连接。
• 求解边缘函数时，利用因子图将一个复杂任务分解成多个子任务，每个子任务对应到因子图上的一个函数节点，这使得计算时不需要因子图其他部分的消息，且传送其计算结果仅由这些局部函数的自变量来承担，从而简化计算。计算边缘函数需要计算乘积和求和，所以基于因子图的这种计算边缘函数的算法也叫做和积（SP，Sum-Product）算法。
• 在LDPC码的译码过程中，消息传递算法计算的是每个比特的后验概率（Posterior Probability），输入是来自于解调模块的各比特的先验概率(Prior Probability)，传递的是编码比特的概率分布，如LLR。对于无环的因子图，一次消息传递就可以求出所有变量节点的边缘函数。对于有环的因子图，需要通过多次迭代计算，才能逼近变量节点的边缘函数。 LDPC码的校验矩阵中一般都有环存在,所以消息传递算法是一种次优的逼近最大后验概率(MAP，Maximum A Posteriori)的算法。在设计LDPC码校验矩阵的过程中，增大最小环的环围(girth) ，使得消息传递译码过程中传递消息的相关度降低，是提升LDPC码性能的技术之一。

（2）密度演进

• 密度演进算法通过跟踪消息传递过程，可以评估校验矩阵的性能，以指导LDPC码的设计。在消息传递算法中，变量节点到校验节点之间传递的消息是编码比特为1或者0的LLR，其概率密度函数可以表征LDPC码的性能。

• 假设所有的消息概率密度分布是相互独立的，即信道是无记忆的。根据变量节点向校验节点的消息传递公式，输出消息的概率密度函数可以通过卷积获得。

• 由于密度演进算法需要非常复杂的概率密度函数计算，往往假设LLR服从高斯分布。由于高斯分布的卷积仍然是高斯分布，这近似 使得密度演进算法只需要追踪随机变量均值和方差的变化即可。密度演进算法可以计算出服从某种度分布的校验矩阵的译码门限，进而评估这种度分布情况下LDPC码的性能。

2. 速率匹配/HARQ

为了支持灵活调度和提升系统吞吐量，LDPC码需要支持多码率编码和IR-HARQ。

• 一种方案与Turbo码类似，即先编码得到一个低码率(如LTE Turbo码采用1/3) 的母码，然后通过打孔实现高码率。当需要重传时，重传打孔比特以实现IR-HARQ。该方案使LDPC码和打孔方案的设计复杂度都很高。
• LT码和Raptor 码的出现提供了另一种方案：Raptor-Like 结构的LDPC码(RL-LDPC)。RL-LDPC码先设计一个高码率的校验矩阵，然后通过扩展校验矩阵以增量产生校验比特，实现多码率编码，重传扩展的校验比特即实现了对IR-HARQ的支持。
• 在LDPC码的设计中，瀑布区(Waterfal Region,此区域内译码错误奉随信噪比增加快速降低)的性能和错误平层是一对矛盾。 往往瀑布区较好的矩阵具有较高的错误平层，具有较低错误平层的矩阵瀑布区性能较差。

3. QC-LDPC码

支持多种信息块大小是LDPC码实用化的另一个设计要求。

• 如果直接根据信息块大小设计LDPC码的校验矩阵，则需要非常多个校验矩阵以满足5GNR调度的信息块颗粒度的需求，这对于LDPC码的描还和编译码实现都不可行。QC-LDPC 码的提出使这个问题得以解决。

• QC-LDPC码是一类结构化的 LDPC码，其校验矩阵可以分解为ZxZ的全零矩阵和循环移位矩阵。其中循环移位矩阵通过对ZxZ的单位矩阵向右循环移位获得。扩展之前的矩阵称为基矩阵[对应的Tanner图称为基图(BG， Base Graph)]，只包含元素“0”和“I”。“0” 的位置替换为ZxZ的全零矩阵，“1” 的位置替换为ZXZ的循环移位矩阵。

• QC-LDPC码的设计

  首先确定一个mxn的稀疏矩阵作为BG，然后复制这个BG，复制的倍数为Z，即矩阵变为mZxnZ。复制之后，对变量节点和校验节点之间的连线进行交织(这里是循环移位)，构成校验矩阵。已经证明， 通过优化设计mxn的BG，可以保证扩展之后的mZxnZ校验矩阵拥有较好的性能。BG的设计过程可以采用常规的LDPC码设计方法，比如通过密度演进算法挑选具有较好译码门限的BG。

• QC-LDPC码的优点

  第一，通过分析BG就可以对校验矩阵的性能有大致的了解。

  第二，描述复杂度低。对于传统的LDPC码，当其需要支持较长的消息序列时，校验矩阵的规模巨大。然而对于QC-LDPC码，只需要描述BG中非0元素的位置和相应的循环移位大小即可。

  第三，编译码复杂度低。由于其采用ZxzZ的循环移位矩阵，所以编码时可以实现并行度为Z的编码过程，译码时可以实现Z个校验方程相关消息的同时更新和传递，可以大大提升LDPC码译码器的吞吐量。