使用排序化简组合生成算法

　　组合问题在日常生活中随处可见，先来看一个摘于《离散数学》（第六版，Richard Johnsonbaugh著）的例子：

　　摇滚乐队“Unhinged Universe”录制了n段视频节目，时间长度分别为t₁ ,t₂ ,t₃ ,…,t_n 秒。一盘磁带可以容纳C秒的视频。这是Unhinged Universe发行的第一盘磁带，乐队希望这盘磁带能尽可能多的收入他们的视频节目。问题转化为从{1,2,3,...,n}中选出一个子集{i₁ ,i₂ ,i₃ ,…,i_k } 使在∑^k _j=1 t_ij 不超过C的情况下尽可能大。最直接的算法是穷举{1,2,3,...,n}的所有子集，选出使上式在不超过C的情况下最大的子集。该算法需要生成n元素集合的所有组合。

　　生活中有很多像Unhinged Universe这样的例子，我们可能并不总是在整数集合上生成组合，为了解决这些问题，我们需要生成n元素集合X的所有组合，至于X中的元素并不总是整数，它们可以是任何东西。

　　问题看来是那么熟悉，也许你立刻就能给出一个生成X上所有组合的思路：遍历X中的所有元素，每遇到一个元素视为一步，每步都作出两种选择，将该元素加入到正在生成的组合中或不将其加入这个组合。这样，生成所有组合的过程就是作出n步选择的过程。由乘法原理得，n步选择会让我们得到2ⁿ 种可能的情况，这正好是X子集的总数。这个想法着实不错，那就开始实现吧，每作出一次选择问题的规模就会减一，这也许会让你想的递归，下边给出递归算法的伪代码：
/************************************************************************* 算法1 组合生成算法：生成集合{Sk,Sk+1,...,Sn}上的所有组合，每个加以前缀a。 若生成{S1,S2,...,Sn}上的所有组合，则调用combination_rc(S,1,n,"")。 输入：S，k，n，字符串a 输出：生成集合{Sk,Sk+1,...,Sn}上的所有组合，每个加以前缀a **************************************************************************/ combination_rc(S, k, n , a) { if(n == 0) { println(a); return; } //打印包含Sk的组合 b = a + "" + Sk; //字符串连接 combination_rc(S, k+1, n-1, b); //打印不包含Sk的组合 combination_rc(S, k+1, n-1, a); }  

　　递归函数总是带来一些让我们无法接受的额外开销，一般需要提供一个非递归的版本，这可以使用辅助栈和辅助队列来实现，这里只提供一种使用辅助栈实现的思路。定义两个栈用以存放结果，同一时间只有一个栈是有效的。开始时向一个栈中压入一个空集合，并置该栈有效。然后遍历X中的元素，每遇到一个元素Xi就依次弹出当前有效栈中的所有元素，每弹出一个元素，就把它压入当前无效栈，再把Xi加入到刚弹出的栈元素所代表的X的一个子集中，并把新子集压入当前无效栈，然后反置栈的有效和无效标志。这样重复n次，当前有效栈中的元素就是X上所有的组合。分析算法1及它的非递归版本，他们的时间复杂度都是 θ(2ⁿ ) ，符合组合问题的固有复杂度。虽然递归算法在构建栈和反解栈时开销很大，但我们的非递归版本可以很好的解决问题。Unhinged Universe乐队一定会很满意。

　　故事还没有结束，后来Unhinged Universe乐队决定，要在这盘磁带中收入r个视频节目。现在问题变为了求解n元素集合X的所有r组合，我们可以简单的剔除算法1结果中非r元素子集来得到新问题的解，删除操作需要进行 2ⁿ -C(n,r) 次。问题似乎有得到了解决。

　　但这次Unhinged Universe乐队可能会抱怨了。他们也许明白我们现在得到的候选解较之以前少了 2ⁿ -C(n,r) 个，但却耗掉的和原来一样甚至更长的时间。也许他们会问，生成 2ⁿ 个候选解的时间复杂度为 θ(2ⁿ ) ，那为什么生成C(n,r)个候选解的时间复杂度不可以是θ(C(n,r))？

　　迫于压力，你开始修改算法1，以使该算法能尽早发现并结束对不可能产生最终解情况的计算，算法可能像是这样：
/*************************************************************************** 算法2 组合生成算法：生成集合{Sk,Sk+1,...,Sn}上的所有r组合，每个加以前缀a。 若生成{S1,S2,...,Sn}上的所有r组合，则调用r_combination_rc(r,S,1,n,"")。 输入：r，S，k，n，字符串a 输出：生成集合{Sk,Sk+1,...,Sn}上的所有r组合，每个加以前缀a ****************************************************************************/ r_combination_rc(r, S, k, n , a) { if(r == 0) { println(a); return; } if(r ==n ) { println(a, Sk, Sk+1, ..., Sn); return; } else if(n < r) { return; } //打印包含Sk的r组合 b = a + "" + Sk; //字符串连接 r_combination_rc(r-1, S, k+1, n-1, b); //打印不包含Sk的r组合 r_combination_rc(r-1, S, k+1, n-1, a); } 

　　算法执行过程中，当出现n

　　让我们放弃以前的思路，从长计议，排序可以使问题得到化简。

　　首先让我们给出一些假设。假设R是集合X上的一个偏序关系，则R可以定义集合X上元素的序。换言之，我们可以使用R对X中的元素排序。此处规定：若x∈X，y∈X，x≠y且xRy，则x排在y的前边，记作x{x₁ ,x₂ ,…,x_r } 记为字符串 S₁ S₂ …S_r ，其中 S₁ 2 <…r ，且 {x₁ ,x₂ ,…,x_r }={S₁ ,S₂ ,…,S_r } 。并且假设集合Y是由所有的字符串S组成。接着，我们再定义一个对X上字符串 S₁ S₂ …S_r 排序的偏序关系Q，在关系Q中，当需要对X中的元素排序时，使用关系R。

　　有了上边这些假设，我们的新思路就很清晰了。因为集合Y是有限的且存在关系Q，可得Y是良序的，即可以在Y中找到一个最小的串a。又由关系Q可以确定的求出Y中任何一个非最大串b的后续c。这样，从a开始重复进行C(n,r)次对c的求解，就可以得到Y中的所有元素，即X上的所有r组合。

　　也许上边的描述让你迷惑，让X={1,2,...,n}是个不错的想法，这个整数集合上的特化版本会让你更好的理解思路。这里之所以把X定义在整数集合上，主要原因是将问题域定义在整数集合更具有代表性。因为X可以是任何东西的集合，所以其上关系R的确定多样且通常并不容易。此时我们可以简单的使用集合X中各元素的下标来代替真正的元素（虽然数学意义上的集合是无序的，也就不存在下标；但当在计算机中存储集合时，却总是按某一顺序进行的，计算机中存储的集合是一个序列，此处我们假设这个序列以下标1开始），求出这些下标的组合后，把下标替换为相应的元素即可。现在我们只要使用整数集合上的二元关系“小于等于”来定义R，就可以解决所有的问题。在给出算法前我们还差点什么呢？对，我们需要定义关系Q。这里使用字典序来定义Q，即把字典中的有序字母集替换为有序整数集{1,2,...,n}（该整数集的序由其上的二元关系“小于等于”关系来定义），这样我们就把单词在字典中的顺序推广为定义在整数集{1,2,...,n}上的字典序，其定义如下：

　　定义1  设a= S₁ S₂ …S_p 和b= T₁ T₂ …T_q 为定义在{1,2,...,n}上的字符串。称在字典序中a在b之前，当且仅当(1)或(2)成立，记为a　　1)pS_i =T_i ，i=1,2,...,p。
　　2)i为使 S_i ≠ T_i 成立的最小的i，且 S_i i 。

　　所有的准备工作都已完成，下面让我们来看怎样确定串b的后续c。假设b= S₁ S₂ …S_r ，c= T₁ T₂ …T_r ，在串b中从右向左找到第一个非最大值的元素 S_m （ S_r 的最大值为n， S_r-1 的最大值为n-1，依此类推），则：

　　T_i =S_i , i=1,2,…,m-1

　　T_n =S_m +1

　　T_m+1 T_m+2 …T_r =(S_m +2)(S_m +3)…

 

　　一切都已明了，终于迎来了我们的算法：

/*************************************************************************** 算法3 按照字典序生成n元素集合{1,2,...,n}上的所有r组合。 输入：r，n 输出：按照字典序生成n元素集合{1,2,...,n}上的所有r组合 ****************************************************************************/ r_combination_n(r, n) { for i = 1 to r Si = i; println(S1, S2, ..., Sr); //打印第一个r组合 for i = 2 to C(n,r) { m = r; max_val = n; while(Sm == max_val) { //从右向左找到第一个非最大值的元素 m = m - 1; max_val = max_val - 1; } //将从右向左第一个非最大值的元素加一 Sm = Sm + 1; //Sm之后的元素一次递增 for j = m+1 to r Sj = Sj-1 + 1; println(S1, S2, ..., Sr); //打印第i个组合 } } 　

　　我们的新算法好高效的解决了问题，同时也证明了生成n元素集合上的r组合的时间复杂度为O(C(n,r))。对比前边的两种方法，算法2像一个莽夫，它盲目的尝试将一个元素加入一个中间集合或者不加入其中，直到发现这个中间集合不可能得到任何最终解时，才停止对该集合的进一步计算；而算法三不存在这样的尝试，像一位智者，它永远都那么明确的生成下一个解，而且它知道下一个解一定是一个要求的r组合。
　　整个过程中我们所做的就是把组合问题化简为排序问题，而我们得到的是无与伦比的效率。