相似对角化的意义（转载）

矩阵用来描述两组向量之间的关系，对角化以后这个关系更简单。
以$AX=b$来说，如果$A$不是对角的，那么意味着$x$的各分量和$b$的各分量的关系是耦合的，即$b$的某一分量至少与$x$的多个分量有关系。
通过对角化：
$$A=P\Lambda P^{-1}$$，
其中$\Lambda$是一个对角矩阵，将这个对角化等式代入原来的方程，得到下式：
$$Ax=b$$
$$P\Lambda P^{-1}x=b$$
左乘$P^{-1}则有：$
$$\Lambda P^{-1}x=P^{-1}b$$

令：
$x_0=P^{-1}x$
$b_0=P^{-1}b$
得到：
$$\Lambda x_0=b_0$$

不难看出，$b_0$的各个分量是与$x_0$的各分量一一对应的，即:
$b_0$的第一分量只与$x_0$的第一个分量有关，以此类推．
这就是＂解耦＂．我们求得$x_0$的话，可以倒过去算出$x$．

这只是举个例子,最终结果不过是绕着圈子解了个普通的矩阵方程．
实际上当我们处理矩阵微分方程，即一个微分方程组，每一行代表了一个一对多的微分方程)时，对角化的优点才会体现出来.
$b$的各分量与$x$的各分量是耦合的，还带有微分关系，通过这个变换，分量一一对应后，就变成$b_0$的第一分量只与$x_0$的第一分量有关，原来微分方程组变成了多个独立的微分方程（一对一）．

Reference:
知乎－对称矩阵对角化的意义何在？？－康庄庄的回答