集合论—关系的自反、对称和传递闭包

关系的自反、对称和传递闭包定义

设$\text{R}$是非空集合$A$上的关系，$\text{R}$的自反(对称、传递)闭包是$A$上的关系${\text{R}}^{\prime }$，且${\text{R}}^{\prime }$满足以下条件：

1. ${\text{R}}^{\prime }$是自反(对称、传递)的
2. $\text{R}\subseteq {\text{R}}^{\prime }$
3. 对$A$上的任何包含$\text{R}$的自反(对称、传递)关系${\text{R}}^{\prime \prime }$都有${\text{R}}^{\prime }\subseteq {\text{R}}^{\prime \prime }$

一般将$\text{R}$的自反闭包(reflexive)记作$r(\text{R})$，对称闭包(symmetry)记作$s(\text{R})$，传递闭包(transfer)记作$t(\text{R})$

构造$A$上关系的$R$包

设$R$为非空集合$A$上的关系，则有定理：

1. $r(R)=R\cup R^0$
2. $s(R)=R\cup R^{-1}$
3. $t(R)=R\cup R^2\cup R^3\cup ...$

例：设$A=\{a,b,c,d\}$，$R=\{<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>\}$，则$R$和$r(R)、s(R)、t(R)$如图所示：
$R:$

a

b

c

d

$r(R):$节点作圈

自反

自反

自反

自反

a

b

c

d

$s(R):$节点互逆

对称

对称

a

b

c

d

$t(R):$首尾连接

传递

传递

传递

传递

传递

a

b

c

d

设$R$的关系矩阵为$M$，相应的自反、对称、传递闭包的矩阵为$M_r$、$M_s$、$M_t$，将以上三条定理公式转化为矩阵表示。即得：

1. $M_r=M+E$
2. $M_s=M+M^{\prime }$
3. $M_t=M+M^2+M^3+...$

其中$E$为同阶单位矩阵，$M^{\prime }$为$M$的转置

例：设$A=\{a,b,c,d\}$，$R=\{<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>\}$，则$M_r、M_s、M_t$如下所示：

$$M_r=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 0\\ 1& 1& 1& 0\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$$$M_s=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$$$$M_t=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 1\\ 1& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$