线性代数 05.03 相似矩阵

§第五章第三节相似矩阵 

一、相似矩阵的概念 

定义7.设A,B都是n阶方阵,若存在可逆矩阵P使P −1 AP=B则称B是A的相似矩阵,或说B与A相似.对A进行运算P −1 AP称为对A进行相似变换,可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.记作A∼B. 

二、相似矩阵的性质 

相似是矩阵之间的一种关系,这种关系具有以下性质: 
1)反身性:任意方阵A,都有A∼A. 
2)对称性:若A∼B,则B∼A. 
3)传递性:若A∼B,B∼C,则A∼C. 
证:由定义存在可逆矩阵P 1 和P 2 ,使B=P −1 1 AP 1 ,C=P −1 2 BP 2 ,所以C=P −1 2 (P −1 1 AP 1 )P 2 =P −1 2 P −1 1 AP 1 P 2 =(P 1 P 2 ) −1 A(P 1 P 2 ) 

二、相似矩阵的定理 

定理3.若矩阵A与B相似,则A与B的特征多项式相同,从而A与B的特征值相同. 
证:因A与B相似,即有可逆矩阵P,使P −1 AP=B,故|B−λE|=|P −1 AP−P −1 (λE)P|=|P −1 (A−λE)P|=|P −1 ||A−λE||P|(注:|P −1 |=1|P| )=|A−λE|故矩阵A与B有相同的特征多项式,从而有相同的特征值. 

推论:若n阶矩阵A与对角矩阵相似,则λ 1 ,λ 2 ,⋯,λ n 是A的n个特征值.Λ=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ λ 1  λ 2  ⋱ λ n  ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟  
证:显然λ 1 ,λ 2 ,⋯,λ n 是Λ的n个特征值.由定理3知λ 1 ,λ 2 ,⋯,λ n 是A的n个特征值. 

容易推证:若A=PBP −1 ,则A k =PB k P −1 .φ(A)=Pφ(B)P −1  
特别地,若有可逆矩阵P,使P −1 AP=Λ为对角矩阵,则A k =PΛ k P −1 ,φ(A)=Pφ(Λ)P −1 而对角矩阵Λ,有Λ k =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ λ k 1  λ k 2  ⋱ λ k n  ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ,φ(Λ)=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ φ(λ 1 ) φ(λ 2 ) ⋱ φ(λ n ) ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟  

由此可方便计算出A的多项式φ(A) 
有一个有趣的结论:设f(λ)是矩阵A的特征多项式,则f(A)=0,这个结论的证明比较困难,但若A与对角矩阵相似,则容易证明结论.这是因为:若A与对角矩阵相似,即有可逆矩阵P,使P −1 AP=Λ=diag(λ 1 ,λ 2 ,⋯,λ n ),其中λ i 为A的特征值,有f(λ i )=0.由A=PΛP −1 ,有f(A)=Pf(Λ)P −1 =P⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ f(λ 1 ) f(λ 2 ) ⋱ f(λ n ) ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ P −1  

定理4.n阶方阵A与对角矩阵相似(A能对角化)的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量. 
证:必要性:若n阶方阵A与对角矩阵Λ=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ λ 1  λ 2  ⋱ λ n  ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 相似,则存在可逆矩阵P,使P −1 AP=Λ=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ λ 1  λ 2  ⋱ λ n  ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 把P按列分块,得P=(P 1 ,P 2 ,⋯,P n )其中P 1 ,P 2 ,⋯,P n 是矩阵P的n个列向量,把AP=PΛ改写成A(P 1 ,P 2 ,⋯,P n )=(P 1 ,P 2 ,⋯,P n )⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ λ 1  λ 2  ⋱ λ n  ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ (AP 1 ,AP 2 ,⋯,AP n )=(λ 1 P 1 ,λ 2 P 2 ,⋯,λ n P n )所以,P j (j=1,2,⋯,n)是Λ的特征值λ j 所对应的特征向量,因为P可逆,所以P 1 ,P 2 ,⋯,P n 线性无关,充分性:若A有n个线性无关的特征向量P 1 ,P 2 ,⋯,P n ,则AP j =λ j P j (j=1,2,⋯,n)令P=(P 1 ,P 2 ,⋯,P n ),则P为可逆矩阵.因为AP=A(P 1 ,P 2 ,⋯,P n )=(AP 1 ,AP 2 ,⋯,AP n )=(λ 1 P 1 ,λ 2 P 2 ,⋯,λ n P n )=(P 1 ,P 2 ,⋯,P n )⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ λ 1  λ 2  ⋱ λ n  ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ =P⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ λ 1  λ 2  ⋱ λ n  ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 即AP=PΛ,所以P −1 AP=Λ. 

推论：如果n阶方阵A有n个不同的特征值,则A能与对角矩阵Λ相似. 

例1.求一可逆矩阵P,把A=⎛ ⎝ ⎜ −20−4 121 103 ⎞ ⎠ ⎟ 化为对角矩阵. 
解:①由|A−λE|=0,求A的全部特征值.|A−λE|=∣ ∣ ∣ ∣ −2−λ0−4 12−λ1 103−λ ∣ ∣ ∣ ∣ =(−1) (2+2) (2−λ)[(−2−λ)(3−λ)−(−4×1)]=−(λ+1)(λ−2) 2 =0解得全部特征值为λ 1 =−1,λ 2 =λ 3 =2.②由(A−λE)x=0,求A的特征向量.当λ 1 =−1时,解方程组(A+E)x=0,由A+E=⎛ ⎝ ⎜ −10−4 131 104 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 100 010 −100 ⎞ ⎠ ⎟ 得基础解系p 1 =⎛ ⎝ ⎜ 101 ⎞ ⎠ ⎟ .当λ 2 =λ 3 =2时,解方程组(A−2E)x=0.由A−2E=⎛ ⎝ ⎜ −40−4 101 101 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 100 −14 00 −14 00 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ 得基础解系p 2 =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 14 10 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ,p 3 =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 14 01 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ③把p 1 ,p 2 ,p 3 拼成矩阵P,即P=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 101 14 10 14 01 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ (P|E)=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 101 14 10 14 01 100 010 001 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 100 010 001 43 0−43  −13 113  −13 043  ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ P −1 =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 43 0−43  −13 113  −13 043  ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 则P−1AP=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 43 0−43  −13 113  −13 043  ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ −20−4 121 103 ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 101 14 10 14 01 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ −43 0−83  13 223  13 083  ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 101 14 10 14 01 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ =⎛ ⎝ ⎜ −100 020 002 ⎞ ⎠ ⎟  

例2.设矩阵A与B相似,其中A=⎛ ⎝ ⎜ −223 0x1 021 ⎞ ⎠ ⎟ ,B=⎛ ⎝ ⎜ −100 020 00y ⎞ ⎠ ⎟ .(1)求x,y的值,(2)求可逆矩阵P,使P −1 AP=B. 
解:(1)因为A∼B,所以B的主对角线元素是A的特征值,因此有 
{−2+x+1=−1+2+y(A的迹=特征值的和)|A−λE|=|A+E|=0  
整理得{x−y=2x=0 ,即得{x=0y=−2  
(2)由于A∼B,所以A的特征值为λ 1 =−1,λ 2 =2,λ 3 =−2.由(A−λE)x=0,求A的特征值.当λ 1 =−1时,A+E=⎛ ⎝ ⎜ −123 011 022 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 100 010 020 ⎞ ⎠ ⎟ 得基础解系p 1 =⎛ ⎝ ⎜ 0−21 ⎞ ⎠ ⎟ 当λ 1 =2时,A−2E=⎛ ⎝ ⎜ −423 0−21 02−1 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 100 010 0−10 ⎞ ⎠ ⎟ 得基础解系:p 2 =⎛ ⎝ ⎜ 011 ⎞ ⎠ ⎟ 当λ 1 =−2时,A+2E=⎛ ⎝ ⎜ 023 021 023 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 100 010 100 ⎞ ⎠ ⎟ 得基础解系p 3 =⎛ ⎝ ⎜ −101 ⎞ ⎠ ⎟ 将p 1 ,p 2 ,p 3 拼成矩阵P,得P=(p 1 ,p 2 ,p 3 )=⎛ ⎝ ⎜ 0−21 011 −101 ⎞ ⎠ ⎟ 即为所求. 

3.设矩阵A=⎛ ⎝ ⎜ 3−k4 2−12 −2k−3 ⎞ ⎠ ⎟ 问当k为何值时,存在可逆矩阵P,使得P −1 AP为对角矩阵,并求出P和相应的对角矩阵. 
解:由|A−λE|=∣ ∣ ∣ ∣ 3−λ−k4 2−1−λ2 −2k−3−λ ∣ ∣ ∣ ∣ =∣ ∣ ∣ ∣ λ−100 −2λ+10 2−kλ+1 ∣ ∣ ∣ ∣ =(λ+1) 2 (λ−1)=0得A的特征值为:λ 1 =λ 2 =−1,λ 3 =1.把λ 1