常微分方程(Ordinary Differential Equation II)

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常微分方程(Ordinary Differential Equation I)
常微分方程(Ordinary Differential Equation II)
常微分方程(Ordinary Differential Equation III)

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高阶微分方程

高阶微分方程的一般形式为
$$F(x,y,y^{\prime },\cdots ,y^{(n)})=0$$
一般的高阶微分方程没有普遍的解法，处理问题的基本原则是降阶。

高阶线性微分方程
$$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}(x)y^{\prime }+a_n(x)y=f(x)\text{\hspace{1em}(1)}$$
称为n阶非齐次线性方程，其中 $a_i(x)(i=1,2,\cdots ,n)$及$f(x)$都是区间 $a⩽x⩽b$ 上的连续函数。
当 $f(x)\equiv 0$，则方程 (1) 变为
$$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}(x)y^{\prime }+a_n(x)y=0\text{\hspace{1em}(2)}$$
称为对应于方程(1)的n阶齐次线性方程。

高阶线性微分方程的初值条件

$$y(x_0)={\eta }_1,y^{\prime }(x_0)={\eta }_2,\cdots ,y^{(n-1)}(x_0)={\eta }_n\text{\hspace{1em}(3)}$$

定理 1 解的存在和唯一性定理：如果$a_i(x)(i=1,2,\cdots ,n)$及$f(x)$都是区间 $[a,b]$ 上的连续函数，则对任一 $x_0\in [a,b]$ 及任意的 ${\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_n$ ，方程 (1) 满足初始条件 (3) 的解在区间 $[a,b]$ 上存在且唯一解。
这个定理是一阶线性方程在高阶线性方程的推广，关于定理的证明在后边学习线性方程组时得出。

高阶线性齐次方程

高阶线性齐次方程
$$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}(x)y^{\prime }+a_n(x)y=0\text{\hspace{1em}(2)}$$

解的性质
(1) $y\equiv 0$ 是线性齐次方程的解，称为方程的平凡解。
(2) 任意两个解之和是方程的解。
(3) 任一解的常数倍也是方程的解。

定理 2 叠加原理：若$y_1(x),y_2(x),\cdots ,y_k(x)$是方程(2)的$k$个解，则他们的线性组合 $c_1{y}_1(x)+c_2{y}_2(x)+\cdots +c_k{y}_k(x)$ 也是方程(2)的解，其中$c_1,c_2,\cdots ,c_k$是任意常数。
特别的，当$k=n$时，即方程有解 $\phi (x)=c_1{y}_1(x)+c_2{y}_2(x)+\cdots +c_n{y}_n(x)$ ，它含有 n 个任意常数 $c_1,c_2,\cdots ,c_n$ ，考虑将此解作为方程(2)的通解。
根据通解的定义，n 个任意常数相互独立，即雅克比行列式(Jacobian)满足
$$\frac{\partial (\phi ,{\phi }^{\prime },\cdots ,{\phi }^{(n-1)})}{\partial (c_1,c_2,\cdots ,c_n)}=\left|\begin{array}{cccc}\frac{\partial \phi }{\partial c_1}& \frac{\partial \phi }{\partial c_2}& \cdots & \frac{\partial \phi }{\partial c_n}\\ \frac{\partial {\phi }^{\prime }}{\partial c_1}& \frac{\partial {\phi }^{\prime }}{\partial c_2}& \cdots & \frac{\partial {\phi }^{\prime }}{\partial c_n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial {\phi }^{(n)}}{\partial c_1}& \frac{\partial {\phi }^{(n)}}{\partial c_2}& \cdots & \frac{\partial {\phi }^{(n)}}{\partial c_n}\end{array}\right|\ne 0$$
导数求解如下
$$\begin{gathered} \phi (x)=c_1{y}_1(x)+c_2{y}_2(x)+\cdots +c_n{y}_n(x) \\ {\phi }^{\prime }(x)=c_1{y}_1^{\prime }(x)+c_2{y}_2^{\prime }(x)+\cdots +c_n{y}_n^{\prime }(x) \\ \cdots \cdots \\ {\phi }^{(n-1)}(x)=c_1{y}_1^{(n-1)}(x)+c_2{y}_2^{(n-1)}(x)+\cdots +c_n{y}_n^{(n-1)}(x) \end{gathered}$$
因此
$$\frac{\partial (\phi ,{\phi }^{\prime },\cdots ,{\phi }^{(n-1)})}{\partial (c_1,c_2,\cdots ,c_n)}=\left|\begin{array}{cccc}{y}_1(x)& y_2(x)& \cdots & y_n(x)\\ y_1^{\prime }(x)& y_2^{\prime }(x)& \cdots & y_n^{\prime }(x)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ y_1^{(n-1)}(x)& y_2^{(n-1)}(x)& \cdots & y_n^{(n-1)}(x)\end{array}\right|\ne 0$$

定义：在区间 $[a,b]$上的 n 个函数$y_1(x),y_2(x),\cdots ,y_n(x)$及导数所确定的行列式
$$\begin{gathered} W[y_1(x),y_2(x),\cdots ,y_n(x)]=W(x) \\ =\left|\begin{array}{cccc}{y}_1(x)& y_2(x)& \cdots & y_n(x)\\ y_1^{\prime }(x)& y_2^{\prime }(x)& \cdots & y_n^{\prime }(x)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ y_1^{(n-1)}(x)& y_2^{(n-1)}(x)& \cdots & y_n^{(n-1)}(x)\end{array}\right| \end{gathered}$$
称为由这些函数所确定的伏朗斯基行列式(Wronskian)。

考虑定义在区间 $[a,b]$ 上的函数 $y_1(x),y_2(x),\cdots ,y_k(x)$，如果存在不全为零的常数 $c_1,c_2,\cdots ,c_k$ ，使得恒等式
$$c_1{y}_1(x)+c_2{y}_2(x)+\cdots +c_k{y}_k(x)\equiv 0$$
对所有的 $x\in [a,b]$ 都成立，称这些函数在所给区间是线性相关的，否则称这些函数在所给区间是线性无关的。
即，在区间 $x\in [a,b]$ 上，要使得下式恒成立
$$c_1{y}_1(x)+c_2{y}_2(x)+\cdots +c_k{y}_k(x)\equiv 0$$
当且仅当 $c_1=c_2=\cdots =c_k=0$
例如函数 $\cos x$ 和 $\sin x$ 在任何区间都是线性无关的；但函数 ${\cos }^{2}x$ 和 ${\sin }^{2}x-1$ 在任何区间都是线性相关的。

定理 3：若函数 $y_1(x),y_2(x),\cdots ,y_n(x)$ 在区间$a⩽x⩽b$上线性相关，则在区间 $[a,b]$ 上它们的伏朗斯基行列式 $W(x)\equiv 0$ 。
证明：由假设，即知存在一组不全为零的常数 $c_1,c_2,\cdots ,c_n$ 使得
$c_1{y}_1(x)+c_2{y}_2(x)+\cdots +c_n{y}_n(x)\equiv 0(a⩽x⩽b)$
依次对 $x$ 求导，得到
$\{\begin{array}{l}{c}_1{y}_1(x)+c_2{y}_2(x)+\cdots +c_n{y}_n(x)\equiv 0\\ c_1{y}_1^{\prime }(x)+c_2{y}_2^{\prime }(x)+\cdots +c_n{y}_n^{\prime }(x)\equiv 0\\ \cdots \cdots \\ c_1{y}_1^{(n-1)}(x)+c_2{y}_2^{(n-1)}(x)+\cdots +c_n{y}_n^{(n-1)}(x)\equiv 0\end{array}$
上式可看出关于$c_1,c_2,\cdots ,c_n$的齐次线性代数方程组，它的系数行列式就是 $W(x)$ ，于是由线性代数理论知道，要此方程组存在非零解，则它的系数行列式必须为零，即 $W(x)\equiv 0$ 。

注意，定理 3的逆定理不一定成立。也就是说，由某些函数组构成的伏朗斯基行列式为零，但它们也可能是线性无关的。

定理 4：齐次线性方程(2)的解 $y_1(x),y_2(x),\cdots ,y_n(x)$ 在区间$a⩽x⩽b$上线性无关，等价于 $W[y_1(x),y_2(x),\cdots ,y_n(x)]=W(x)$ 在这个区间的任何点上都不等于零，即 $W(x)\ne 0(a⩽x⩽b)$ 。
证明：用反证法即可。

根据定理 3和定理 4可以知道，由n阶齐次线性微分方程 (2) 的n个解构成的伏朗斯基行列式要么恒等于零，要么恒不为零。

现在考虑方程(2)是否存在n个线性无关的解。根据解的存在唯一性定理，取n组初始值 $(a⩽x_0⩽b)$
$\{\begin{array}{l}{y}_1(x_0)=1,y_1^{\prime }(x_0)=0,\cdots ,y_1^{(n-1)}(x_0)=0\\ y_2(x_0)=0,y_2^{\prime }(x_0)=1,\cdots ,y_2^{(n-1)}(x_0)=0\\ \cdots \cdots \\ y_n(x_0)=0,y_n^{\prime }(x_0)=0,\cdots ,y_n^{(n-1)}(x_0)=1\end{array}$
存在n个唯一解 $y_1(x),y_2(x),\cdots ,y_n(x)$
又因为 $W(x_0)=\left|\begin{array}{cccc}{y}_1(x_0)& y_2(x_0)& \cdots & y_n(x_0)\\ y_1^{\prime }(x_0)& y_2^{\prime }(x_0)& \cdots & y_n^{\prime }(x_0)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ y_1^{(n-1)}(x_0)& y_2^{(n-1)}(x_0)& \cdots & y_n^{(n-1)}(x_0)\end{array}\right|=1$
所以在区间$[a,b]$上$W(x)\ne 0$，然后 $y_1(x),y_2(x),\cdots ,y_n(x)(a⩽x_0⩽b)$ 线性无关。
可以看出，n个线性无关的解组不是唯一的。

定理 5：n阶齐次线性方程(2)一定存在n个线性无关的解。

定理 6 通解结构定理 若$y_1(x),y_2(x),\cdots ,y_n(x)$是n阶齐次线性方程(2)的n个线性无关的特解，则方程(2)的通解可表示为
$$y^{\ast }(x)=c_1{y}_1(x)+c_2{y}_2(x)+\cdots +c_n{y}_n(x)\text{\hspace{1em}(5)}$$
其中 $c_1,c_2,\cdots ,c_n$ 是任意常数，且此通解包含了方程 (2) 所有的解。
证明：(1) 由叠加原理，$y^{\ast }(x)$ 是方程(2)的解。
(2) 证明 $y^{\ast }(x)$ 是方程(2)的通解。
任意常数$c_1,c_2,\cdots ,c_n$的雅克比行列式(Jacobian)满足
$\frac{\partial (\phi ,{\phi }^{\prime },\cdots ,{\phi }^{(n-1)})}{\partial (c_1,c_2,\cdots ,c_n)}\equiv W(x)$
因为n个特解线性无关，$W(x)\ne 0$，因此 $c_1,c_2,\cdots ,c_n$相互独立
(3) 证明 $y^{\ast }(x)$ 包含了方程 (2) 所有的解。
由解的存在和唯一性定理，任取方程(2)满足初始条件
$$y(x_0)={\eta }_1,y^{\prime }(x_0)={\eta }_2,\cdots ,y^{(n-1)}(x_0)={\eta }_n$$
的一个解 $y(x)$ ，只需确定常数$c_1,c_2,\cdots ,c_n$的值，使其满足(5)式，作非齐次线性代数方程组
$$\left(\begin{array}{cccc}{y}_1(x_0)& y_2(x_0)& \cdots & y_n(x_0)\\ y_1^{\prime }(x_0)& y_2^{\prime }(x_0)& \cdots & y_n^{\prime }(x_0)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ y_1^{(n-1)}(x_0)& y_2^{(n-1)}(x_0)& \cdots & y_n^{(n-1)}(x_0)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ ⋮\\ c_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\eta }_1\\ {\eta }_2\\ ⋮\\ {\eta }_n\end{array}\right)$$
它的系数行列式即为 $W(x_0)\ne 0$ ，根据线性代数方程组的理论，上述方程组有唯一解 ，记为${\bar{c}}_1,{\bar{c}}_2,\cdots ,{\bar{c}}_n$。
因此 $y(x)={\bar{c}}_1{y}_1(x)+{\bar{c}}_2{y}_2(x)+\cdots +{\bar{c}}_n{y}_n(x)$，并且满足初始条件。
定理证毕。

推论：n阶齐次线性方程 (2) 的线性无关解的最大个数等于n。
解的集合记为 $S(n)$ ，构成了一个n维的线性空间。方程 (2) 的一组n个线性无关的解就是解空间的一组基，称为基本解组(fundamental system of solutions)。其它的解可由基本解组线性表示即可。显然，基本解组不是惟一的。

高阶线性非齐次方程

高阶线性非齐次方程
$$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}(x)y^{\prime }+a_n(x)y=f(x)\text{\hspace{1em}(1)}$$

解的性质
(1) 高阶非齐次线性方程的解与其对应齐次方程的解之和是非齐次方程的解。
如果 $\bar{y}(x)$ 是方程 (1) 的解，而 $y(x)$ 是方程 (2) 的解，则 $\bar{y}(x)+y(x)$ 是方程 (1) 的解。
(2) 高阶非齐次线性方程的任意两个解之差是其对应齐次方程的解。

定理 7 通解结构定理：设$y_1(x),y_2(x),\cdots ,y_n(x)$是方程(2)的基本解组，而 $\bar{y}(x)$ 是方程 (1) 的某一特解，则方程 (1) 的通解可表示为
$$y^{\ast }(x)=c_1{y}_1(x)+c_2{y}_2(x)+\cdots +c_n{y}_n(x)+\bar{y}(x)\text{\hspace{1em}(6)}$$
其中 $c_1,c_2,\cdots ,c_n$ 是任意常数，且此通解包含了方程 (1) 所有的解。
证明：(1) 由解的性质知，$y^{\ast }(x)$ 是方程(1)的解。
(2) 表达式(6)含有n个相互独立的任意常数，因此 $y^{\ast }(x)$ 是方程(1)的通解。
(3) 证明 $y^{\ast }(x)$ 包含了方程 (1) 所有的解。
现设 $\tilde{y}(x)$ 是方程 (1) 的任一解，则 $\tilde{y}(x)-\bar{y}(x)$ 是对应的齐次方程(2)的解，根据定理 6，并有一组确定的常数 ${\tilde{c}}_1,{\tilde{c}}_2,\cdots ,{\tilde{c}}_n$ ，使得 $\tilde{y}(x)-\bar{y}(x)={\tilde{c}}_1{y}_1(x)+{\tilde{c}}_2{y}_2(x)+\cdots +{\tilde{c}}_n{y}_n(x)$ ，即 $\tilde{y}(x)={\tilde{c}}_1{y}_1(x)+{\tilde{c}}_2{y}_2(x)+\cdots +{\tilde{c}}_n{y}_n(x)+\bar{y}(x)$
定理证毕。

常数变易法[^const]：定理 7告诉我们，要解非齐次线性方程只需知道它的一个特解和对应的齐次线性方程的基本解组。我们可以用常数变易法求得非齐次线性方程的一个解。
设 $y_1(x),y_2(x),\cdots ,y_n(x)$是齐次方程(2)的基本解组，因而方程 (2) 的通解为 $y=c_1{y}_1(x)+c_2{y}_2(x)+\cdots +c_n{y}_n(x)$ 。
用常数变易法，令
$$y=c_1(x)y_1(x)+c_2(x)y_2(x)+\cdots +c_n(x)y_n(x)$$
为非齐次方程 (1) 的解。这一证明类似一阶非齐次方程组的常数变易法，可以推导出系数满足的矩阵方程
$$\left(\begin{array}{cccc}{y}_1(x)& y_2(x)& \cdots & y_n(x)\\ y_1^{\prime }(x)& y_2^{\prime }(x)& \cdots & y_n^{\prime }(x)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ y_1^{(n-1)}(x)& y_2^{(n-1)}(x)& \cdots & y_n^{(n-1)}(x)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{c}_1^{\prime }(x)\\ c_2^{\prime }(x)\\ ⋮\\ c_n^{\prime }(x)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ f(x)\end{array}\right)$$

可求得
$$c_k(x)={\int }_{x_0}^x\frac{A_k(s)}{W(s)}f(s)ds$$

得方程一个特解
$$\bar{y}=\sum _{k=1}^n{y}_k(x)c_k(x)$$
这里 $W(x)$ 为伏朗斯基行列式，$A_k(x)$为 $W(x)$ 中第 $n$ 行第 $k$ 列的代数余子式，即
$A_k(x)=(-1{)}^{n+k}\left|\begin{array}{cccccc}{y}_1(x)& \cdots & y_{k-1}(x)& y_{k+1}(x)& \cdots & y_n(x)\\ y_1^{\prime }(x)& \cdots & y_{k-1}^{\prime }(x)& y_{k+1}^{\prime }(x)& \cdots & y_n^{\prime }(x)\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ y_1^{(n-2)}(x)& \cdots & y_{k-1}^{(n-2)}(x)& y_{k+1}^{(n-2)}(x)& \cdots & y_n^{(n-2)}(x)\end{array}\right|$

示例：求 $y^{\prime \prime }+y=\frac{1}{\cos x}$ 的通解。
解：对应齐次方程的基本解组为 $\cos x,\sin x$
(1) 令方程特解为 $y=c_1(x)\cos x+c_2(x)\sin x$
(2) 解方程组 $\{\begin{array}{l}{c}_1^{\prime }\cos x+c_2^{\prime }\sin x=0\\ -c_1^{\prime }\sin x+c_2^{\prime }\cos x=\frac{1}{\cos x}\end{array}$
解得 $c_1=\ln |\cos x|+{\gamma }_1,c_2=x+{\gamma }_2$
(3) 原方程特解为 $\bar{y}=\cos x\ln |\cos x|+x\sin x$
(4) 原方程通解为 $y={\gamma }_1(x)\cos x+{\gamma }_2\sin x+\cos x\ln |\cos x|+x\sin x$

常系数线性齐次微分方程

先引入高阶线性微分方程复值解的性质（请自行证明）
定理 8 如果方程(2)中所有系数 $a_i(x)(i=1,2,\cdots ,n)$ 都是实值函数，而 $y=z(x)=\phi (x)+\mathrm{i}\psi (x)$ 是方程的复值解，则 $z(x)$ 的共轭复值函数 $\bar{z}(x)=\phi (x)-\mathrm{i}\psi (x)$ 也是方程(2)的解。

定理 9 如果方程
$$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}(x)y^{\prime }+a_n(x)y=u(x)+\mathrm{i}v(x)$$
有复值解 $y=U(x)+\mathrm{i}V(x)$ ，这里 $a_i(x)(i=1,2,\cdots ,n)$ 及 $u(x),v(x)$ 都是实值函数，那么这个解的实部$U(x)$和虚部$V(x)$分别是方程
$$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}(x)y^{\prime }+a_n(x)y=u(x)$$
和
$$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}(x)y^{\prime }+a_n(x)y=v(x)$$
的解。

高阶常系数线性齐次微分方程
$$L[y]=y^{(n)}+a_1{y}^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}{y}^{\prime }+a_{n}y=0\text{\hspace{1em}(7)}$$
其中系数 $a_i(i=1,2,\cdots ,n)$ 为常数，这里 $L=\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}+a_1\frac{{\mathrm{d}}^{n-1}}{\mathrm{d}{x}^{n-1}}+\cdots +\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}+a_n$ 称为n阶线性微分算子(differential operator)。
按照定理，为了求方程的通解，只需要求出基本解组。实际上它的求解问题可以归结为代数方程求根问题，下面介绍基本解组的欧拉待定指数函数法。

回顾一阶常系数齐次线性方程 $y^{\prime }+ay=0$ 通解为 $y=c{e}^{-ax}$，他有特解 $y=e^{-ax}$ ，这启示我们对于方程 (7) 也寻求类似形式的解 $y=e^{\lambda x}$ ，其中 λ 是待定常数，可以是实数或复数。
带入方程(7) 可得
$$\begin{array}{rl}L[e^{\lambda x}]& =(e^{\lambda x}{)}^{(n)}+a_1(e^{\lambda x}{)}^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}(e^{\lambda x}{)}^{\prime }+a_n(e^{\lambda x})\\ & =({\lambda }^n+a_1{\lambda }^{n-1}+\cdots +a_n)e^{\lambda x}\\ & =0\end{array}$$
由 $e^{\lambda x}\ne 0$ 知
$$F(\lambda )={\lambda }^n+a_1{\lambda }^{n-1}+\cdots +a_n=0\text{\hspace{1em}(8)}$$
我们称方程(8)为特征方程，它的根称为特征根。
结论 $y=e^{\lambda x}$ 是方程 (7) 的解的充要条件是：λ 是代数方程 (8) 的根。

下面根据特征根的不同情形讨论

1. 特征根为单根：如果特征方程 (8) 有 n 个互不相同的根 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$，则齐次方程有 n 个解 $e^{{\lambda }_{1}x},e^{{\lambda }_{2}x},\cdots ,e^{{\lambda }_{n}x}$， 这n个解的弗朗斯基行列式为
   $W(x)=\left|\begin{array}{cccc}{e}^{{\lambda }_{1}x}& e^{{\lambda }_{2}x}& \cdots & e^{{\lambda }_{n}x}\\ {\lambda }_1{e}^{{\lambda }_{1}x}& {\lambda }_2{e}^{{\lambda }_{2}x}& \cdots & {\lambda }_n{e}^{{\lambda }_{n}x}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\lambda }_1^{n-1}{e}^{{\lambda }_{1}x}& {\lambda }_2^{n-1}{e}^{{\lambda }_{2}x}& \cdots & {\lambda }_n^{n-1}{e}^{{\lambda }_{n}x}\end{array}\right|=e^{({\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n)x}\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ {\lambda }_1& {\lambda }_2& \cdots & {\lambda }_n\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\lambda }_1^{n-1}& {\lambda }_2^{n-1}& \cdots & {\lambda }_n^{n-1}\end{array}\right|\ne 0$
   这里需要用到线性代数里的范德蒙行列式， $W(x)\ne 0$，因此解组 $e^{{\lambda }_{1}x},e^{{\lambda }_{2}x},\cdots ,e^{{\lambda }_{n}x}$ 线性无关，为齐次方程的一个基本解组。
   (1) 如果 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ 都是实数，方程通解为
   $$y=c_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+c_2{e}^{{\lambda }_{2}x}+\cdots +c_n{e}^{{\lambda }_{n}x}$$

   (2) 如果 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ 中有复数，那么由方程的系数是实数知，复根必然成对共轭出现。设 ${\lambda }_k=a+ib$ 为一特征根，则 ${\bar{\lambda }}_k=a-ib$ 也是特征根。这两个根对应的解为
   $$\begin{gathered} e^{(a+ib)x}=e^{ax}(\cos bx+i\sin bx) \\ {e}^{(a-ib)x}=e^{ax}(\cos bx-i\sin bx) \end{gathered}$$
   根据定理 8 他们的实部和虚部也是方程 (7) 的解，这样一来对于特征方程的一对共轭复根 $\lambda =a\pm ib$，对应一对线性无关的实值解
   $$e^{ax}\cos bx,e^{ax}\sin bx$$

2. 特征根有重根：设 ${\lambda }_1$ 为特征方程的 k 重根，则 $F(\lambda )$ 可表示为 $F(\lambda )=(\lambda -{\lambda }_1{)}^{k}P(\lambda ),P({\lambda }_1)\ne 0$
   可知 $F({\lambda }_1)=F^{\prime }({\lambda }_1)=\cdots =F^{(k-1)}({\lambda }_1)=0,F^{(k)}({\lambda }_1)\ne 0$
   (i) 先设 ${\lambda }_1=0$，即 $F(\lambda )={\lambda }^{k}P(\lambda )$，于是 $a_n=a_{n-1}=\cdots =a_{n-k+1}=0$
   特征方程变为 ${\lambda }^n+a_1{\lambda }^{n-1}+\cdots +a_{n-k}{\lambda }^k=0$
   对应的齐次方程变为 $y^{(n)}+a_1{y}^{(n-1)}+\cdots +a_{n-k}{y}^{(k)}=0$
   易见他有 k 个线性无关的解 $1,x,x^2,\cdots ,x^{k-1}$
   (ii) 若 ${\lambda }_1\ne 0$，做变量变换 $y=t{e}^{{\lambda }_{1}x}$，注意到
   $y^{(m)}=(t{e}^{{\lambda }_{1}x}{)}^{(m)}=e^{{\lambda }_{1}x}[t^{(m)}+m{\lambda }_1{t}^{(m-1)}+\frac{m(m-1)}{2!}{\lambda }_1^2{t}^{(m-2)}+\cdots +{\lambda }_m^{2}t]$
   所以 $L[t{e}^{{\lambda }_{1}x}]=(t^{(n)}+b_1{t}^{(n-1)}+\cdots +b_{n}t)e^{{\lambda }_{1}x}=L_1[t]e^{{\lambda }_{1}x}$
   于是齐次方程 (7) 化为 $L_1[t]=t^{(n)}+b_1{t}^{(n-1)}+\cdots +b_{n}t=0$
   对应的特征方程为 $F_1(\mu )={\mu }^n+b_1{\mu }^{n-1}+\cdots +b_n=0$
   直接计算可得 $F(\mu +{\lambda }_1)e^{(\mu +{\lambda }_1)x}=L[e^{(\mu +{\lambda }_1)x}]=L_1[e^{\mu x}]e^{{\lambda }_{1}x}=F_1(\mu )e^{(\mu +{\lambda }_1)x}$
   因此 $F(\mu +{\lambda }_1)=F_1(\mu )$
   $F^{(j)}(\mu +{\lambda }_1)=F_1^{(j)}(\mu ),j=1,2,\cdots ,k$
   可见特征方程 $F(\lambda )=0$ 的重根 ${\lambda }_1$ 对应于特征方程 $F_1(\mu )=0$ 的重根 ${\mu }_1=0$，且重数相同。这样问题转化为前面讨论过的情形。
   重根 ${\mu }_1=0$ 对应于方程 $L_1[t]=0$ 的 k个解 $t=1,x,x^2,\cdots ,x^{k-1}$
   因而重根 ${\lambda }_1$ 对应于方程 $L[y]=0$ 的 k个解 $y=e^{{\lambda }_{1}x},x{e}^{{\lambda }_{1}x},x^2{e}^{{\lambda }_{1}x},\cdots ,x^{k-1}{e}^{{\lambda }_{1}x}$

于是我们下面的定理
定理 10：如果特征方程 $F(\lambda )=0$ 有 m 个互异的特征根 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_m$，他们的重数依次为 $k_1,k_2,\cdots ,k_m,k_i⩾1$，并且 $k_1+k_2+\cdots +k_m=n$，则下面的 n 个解：
$$\begin{array}{c}{e}^{{\lambda }_{1}x},x{e}^{{\lambda }_{1}x},x^2{e}^{{\lambda }_{1}x},\cdots ,x^{k_1-1}{e}^{{\lambda }_{1}x}\\ e^{{\lambda }_{2}x},x{e}^{{\lambda }_{2}x},x^2{e}^{{\lambda }_{2}x},\cdots ,x^{k_2-1}{e}^{{\lambda }_{2}x}\\ \cdots \cdots \cdots \\ e^{{\lambda }_{m}x},x{e}^{{\lambda }_{m}x},x^2{e}^{{\lambda }_{m}x},\cdots ,x^{k_m-1}{e}^{{\lambda }_{m}x}\end{array}$$
构成齐次方程 $L[y]=0$ 的基本解组。

示例：求方程 $y^{(4)}-y=0$ 的通解。
(1) 特征方程 ${\lambda }^4-1=0$ 的根为 $\pm 1,\pm i$
(2) 两个共轭复根对应的实值解为 $\cos x,\sin x$
(3) 通解为 $c_1{e}^x+c_2{e}^{-x}+c_3\cos x+c_4\sin x$

欧拉方程：变系数微分方程，形如
$$y^{(n)}+p_1{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +p_{n-1}x{y}^{\prime }+p_{n}y=0$$
的方程（其中$p_1,p_2,\cdots ,p_n$为常数），叫做欧拉方程。此方程可通过变量变换化为常系数微分方程。
做变换¹$x=e^t$，将自变量 $x$ 换为 $t$，求得
$$\begin{array}{rl}& \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=e^{-t}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\\ & \frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=e^{-2t}(\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t})\end{array}$$
用数学归纳法可证明有
$$\frac{{\mathrm{d}}^{k}y}{\mathrm{d}{x}^k}=e^{-kt}(\frac{{\mathrm{d}}^{k}y}{\mathrm{d}{t}^k}+a_1\frac{{\mathrm{d}}^{k-1}y}{\mathrm{d}{t}^{k-1}}+\cdots +a_{k-1}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t})$$
把他带入欧拉方程，便得到一个以 $t$ 为自变量得常系数线性微分方程
$$\frac{{\mathrm{d}}^{n}y}{\mathrm{d}{t}^n}+b_1\frac{{\mathrm{d}}^{n-1}y}{\mathrm{d}{t}^{n-1}}+\cdots +b_{n-1}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+b_{n}y=0$$
其中$b_1,b_2,\cdots ,b_n$为常数

常系数线性非齐次微分方程

高阶常系数线性非齐次微分方程
y ( n ) + a 1 y ( n − 1 ) + ⋯ + a n − 1 y ′ + a n y = f ( x