含参量正常积分

定义

• $$\phi (x)={\int }_c^{d}f(x,y)dy,x\in [a,b]$$ $$F(x)={\int }_{c(x)}^{d(x)}f(x,y)dy,x\in [a,b]$$都是定义在$[a,b]$上的含参量$x$的（正常积分），简称为含参量积分
• $c(x),d(x)$是定义在$[a,b]$上的连续函数

积分的连续性①

• $f(x,y)$在$R=[a,b]\times [c,d]$上连续
• 那么：$$\phi (x)={\int }_c^{d}f(x,y)dy$$在$[a,b]$上连续
• 即对$\forall x_0\in [a,b]$,$$\underset{x\to x_0}{\lim }{\int }_c^{d}f(x,y)dy={\int }_c^d\underset{x\to x_0}{\lim }f(x,y)dy$$

证明

• 令$x\in [a,b]$，对充分小的$△x$，让$x+△x也\in [a,b]$
• 那么，就有$$\phi (x+△x)-\phi (x)={\int }_c^d[f(x+△x,y)-f(x,y)]dy$$
• 由于$f(x,y)$在有界闭域R上连续，所以一致连续，于是$\forall \epsilon >0,总\exists \delta >0$，在R内任意两点$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$，只要$$|x_1-x_2|<\delta ,|y_1-y_2|<\delta$$就满足$$|f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2)|<\epsilon$$
• 所以只要让$|△x|<\delta$,jiuyou$$\phi (x+△x)-\phi (x)\le {\int }_c^d|f(x+△x,y)-f(x,y)|dy$$ $$<\epsilon (d-c)$$故$\phi (x)$在[a,b]上连续

积分的连续性②

• $f(x,y)$在$G=\{(x,y)|c(x)\le y\le d(x),x\in [a,b]\}$上连续
• $c(x),d(x)$是定义在$[a,b]$上的连续函数
• 那么：$$F(x)={\int }_{c(x)}^{d(x)}f(x,y)dy$$在$[a,b]$上连续

证明

• 可以将这种情况转化为第一种，只需用到换元法，哼哼哈嘿，让$$y=c(x)+t(d(x)-c(x)),t\in [0,1]$$且$$dy=(d(x)-c(x))dt$$
• 所以有$$F(x)={\int }_{c(x)}^{d(x)}f(x,y)dy$$ $$={\int }_0^{1}f(x,c(x)+t(d(x)-c(x)))(d(x)-c(x))dt$$顺利转化为第一种连续

积分的可微性①

• $f(x,y)$和$f_x(x,y)$都在$R=[a,b]\times [c,d]$上连续
• 那么，$$\phi (x)={\int }_c^{d}f(x,y)dy$$可微，而且$$\frac{d}{dx}{\int }_c^{d}f(x,y)dy={\int }_c^d{f}_x(x,y)dy$$

证明

• 对$\forall x\in [a,b]$，让$x+△x也\in [a,b]$
• $$\frac{\phi (x+△x)-\phi (x)}{△x}={\int }_c^d\frac{f(x+△x,y)-f(x,y)}{△x}dy$$
• 由$f,f_x$都在有界闭域上连续，于是都一致连续，还能用拉格朗日中值定理，只要$|△x|<\epsilon$，就有$$|\frac{f(x+△x,y)-f(x,y)}{△x}-f_x(x,y)|$$ $$=|f_x(x+\theta △x,y)-f_x(x,y)|<\epsilon$$ $$\theta \in (0,1)$$
• So,$$|\frac{△\phi }{△x}-{\int }_c^d{f}_x(x,y)dy|<\epsilon (d-c)$$所以就有$$\frac{d}{dx}{\int }_c^{d}f(x,y)dy={\int }_c^d{f}_x(x,y)dy$$(补充：$\frac{dy}{dx}=f^{\prime }(x)=\underset{△x\to 0}{\lim }\frac{f(x+△x)-f(x)}{△x}$)

积分的可微性②

• $f(x,y)$和$f_x(x,y)$都在$R=[a,b]\times [p,q]$上连续
• $c(x),d(x)\in [p,d],x\in [a,b]$且可微
• $$F(x)={\int }_{c(x)}^{d(x)}f(x,y)dy$$可微，且$$F^{\prime }(x)={\int }_{c(x)}^{d(x)}{f}_x(x,y)dy+f(x,d(x))d^{\prime }(x)-f(x,c(x))c^{\prime }(x)$$

• 证明

• 复合函数求导法则即可，让$$F=H(x,c,d),c=c(x),d=d(x)$$

积分的可鸡性

是不是觉得很奇怪，什么积分的可鸡性，它不都积分了那当然可鸡啦!听起来有点绕，但这里其实是想说累次求积（二次求积），之前有一个累次极限，和它差不多的概念，就是对x或y求积完之后还能再对y或x求积，废话！求完积之后是连续的，当然还能再求啦！

• $f(x,y)$在$R=[a,b]\times [c,d]$上连续
• 那么$\phi (x),\varphi (y)$分别在$[a,b],[c,d]$上可鸡

累次积分的可交换

• $f(x,y)$在$R=[a,b]\times [c,d]$上连续
• 那么$${\int }_a^{b}dx{\int }_c^{d}f(x,y)dy={\int }_c^{d}dy{\int }_a^{b}f(x,y)dx$$