瑕积分的收敛判别和性质

收敛充要条件

瑕积分${\int }_a^{b}f(x)dx$（瑕点为a），收敛的充要条件为：

$\forall \epsilon >0，\exists \delta >0,只要u_1,u_2\in (a,a+\delta )$,总有$$|{\int }_{u_1}^{b}f(x)dx-{\int }_{u_2}^{b}f(x)dx|$$ $$=|{\int }_{u_1}^{u_2}f(x)dx|<\epsilon$$
三条性质和无穷积分都一样！

非负函数瑕积分收敛判别

定理11.6（比较原则）

• 同定义在$(a,b]$上的$f,g$，瑕点同为$x=a$
• 在$\forall [u,b]\subset (a,b]$可鸡
• 且$$0\le f(x)\le g(x)$$
  $\Rightarrow$
• $${\int }_a^{b}g(x)dx收\Rightarrow {\int }_a^{b}f(x)dx收$$
• $${\int }_a^{b}f(x)dx发\Rightarrow {\int }_a^{b}g(x)dx发$$

推论1（与无穷同）

若选用的比较对象是${\int }_a^b\frac{dx}{(x-a{)}^p}\Rightarrow$柯西判别法

推论2（柯西判别）

$f定义于(a,b],x=a瑕点，\forall 子区间可鸡$

• 若$$0\le f(x)\le \frac{1}{(x-a{)}^p},0<p<1$$ $$\Rightarrow {\int }_a^{b}f(x)dx收$$
• 若$$f(x)\ge \frac{1}{(x-a{)}^p},p\ge 1$$ $$\Rightarrow {\int }_a^{b}f(x)dx发$$

推论3（柯西判别）

$非负f定义于(a,b],x=a瑕点，\forall 子区间可鸡，若$ $$\underset{x\to a^{+}}{\lim }(x-a{)}^{p}f(x)=\lambda$$那么

• $0<p<1,0\le \lambda <+\infty \Rightarrow$ $${\int }_a^{b}f(x)dx收$$
• $p\ge 1,0<\lambda \le +\infty \Rightarrow$ $${\int }_a^{b}f(x)dx发$$
  这里对$p$的讨论除了$p=1$都发散，和无穷积分刚好相反

一般瑕积分

狄屎判别法

• $a$为$f$瑕点,$x\in (a,b]$
• $F(x)={\int }_u^{b}f(x)dx有界$
• $g(x)$单调且$\underset{x\to a^{+}}{\lim }g(x)=0$
• $\Rightarrow$ $${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx收$$

阿贝尔判别法

• ${\int }_a^{b}f(x)dx收$
• $g$单调有界
• $\Rightarrow$ $${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx收$$