深度学习笔记（15）：第二课第一周第三次作业

剖析与心得

在本次实验中，我们使用梯度检验方法，将输入的参数稍稍改变一点，因为我们有很大把握使得最后的损失值是对的，所以，我们直接用损失值的变化量除以自变量的改变量，得到的就是导数值的近似值，在一定误差允许范围内，如果其和我们使用梯度下降求出来的值相近，那么说明，我们梯度下降的算法的书写没有问题；否则则说明有问题。

本次实验中，写了两部分代码：
第一部分是针对简单的单元变量进行检验，热身；
第二部分是对于神经网络进行梯度检验。

注意理解抽象含义：对于某一个变量的偏导数就是所谓的梯度的一部分，而偏导数实则近似的话来看就是应变量（代价函数）变化量/自变量变化量。
（补充一点，在这个实验里面，最后按照他的地方去修改是改不到1e-7的…而是这个数，注意一下就好，没啥大事其实

ok现在开始

梯度检验原理（题干引入）

反向传播计算梯度$\frac{\partial J}{\partial \theta }$，其中$\theta$表示模型的参数。使用正向传播和损失函数来计算$J$。

由于正向传播相对容易实现，相信你有信心能做到这一点，确定100％计算正确的损失$J$。为此，你可以使用$J$来验证代码$\frac{\partial J}{\partial \theta }$。

让我们回顾一下导数（或者说梯度）的定义：
$$\frac{\partial J}{\partial \theta }=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{J(\theta +\epsilon )-J(\theta -\epsilon )}{2\epsilon }\text{\hspace{1em}(1)}$$

如果你还不熟悉"$\underset{\epsilon \to 0}{\lim }$"表示法，其意思只是“当$\epsilon$值趋向很小时”。

我们知道以下内容：

• $\frac{\partial J}{\partial \theta }$是你要确保计算正确的对象。
• 你可以计算$J(\theta +\epsilon )$和$J(\theta -\epsilon )$（在$\theta$是实数的情况下），因为要保证$J$的实现是正确的。

让我们使用方程式（1）和 $\epsilon$的一个小值来说服CEO你计算$\frac{\partial J}{\partial \theta }$的代码是正确的

一维部分的代码

# GRADED FUNCTION: forward_propagation

def forward_propagation(x, theta):
    """
    Implement the linear forward propagation (compute J) presented in Figure 1 (J(theta) = theta * x)
    
    Arguments:
    x -- a real-valued input
    theta -- our parameter, a real number as well
    
    Returns:
    J -- the value of function J, computed using the formula J(theta) = theta * x
    """
    
    ### START CODE HERE ### (approx. 1 line)
    J = theta*x
    ### END CODE HERE ###
    
    return J

# GRADED FUNCTION: backward_propagation

def backward_propagation(x, theta):
    """
    Computes the derivative of J with respect to theta (see Figure 1).
    
    Arguments:
    x -- a real-valued input
    theta -- our parameter, a real number as well
    
    Returns:
    dtheta -- the gradient of the cost with respect to theta
    """
    
    ### START CODE HERE ### (approx. 1 line)
    dtheta = x
    ### END CODE HERE ###

    
    return dtheta

练习：为了展示backward_propagation（）函数正确计算了梯度$\frac{\partial J}{\partial \theta }$，让我们实施梯度检验。

说明：

• 首先使用上式（1）和$\epsilon$的极小值计算“gradapprox”。以下是要遵循的步骤：
  1. ${\theta }^{+}=\theta +\epsilon$
  2. ${\theta }^{-}=\theta -\epsilon$
  3. $J^{+}=J({\theta }^{+})$
  4. $J^{-}=J({\theta }^{-})$
  5. $gradapprox=\frac{J^{+}-J^{-}}{2\epsilon }$
• 然后使用反向传播计算梯度，并将结果存储在变量“grad”中
• 最后，使用以下公式计算“gradapprox”和“grad”之间的相对差：

$$difference=\frac{\mid \mid grad-gradapprox\mid {\mid }_2}{\mid \mid grad\mid {\mid }_2+\mid \mid gradapprox\mid {\mid }_2}\text{\hspace{1em}(2)}$$

你需要3个步骤来计算此公式：
* 1. 使用np.linalg.norm（…）计算分子
* 2. 计算分母，调用np.linalg.norm（…）两次
* 3. 相除

• 如果差异很小（例如小于$10^{-7}$），则可以确信正确计算了梯度。否则，梯度计算可能会出错。

# GRADED FUNCTION: gradient_check

def gradient_check(x, theta, epsilon = 1e-7):
    """
    Implement the backward propagation presented in Figure 1.
    
    Arguments:
    x -- a real-valued input
    theta -- our parameter, a real number as well
    epsilon -- tiny shift to the input to compute approximated gradient with formula(1)
    
    Returns:
    difference -- difference (2) between the approximated gradient and the backward propagation gradient
    """
    
    # Compute gradapprox using left side of formula (1). epsilon is small enough, you don't need to worry about the limit.
    ### START CODE HERE ### (approx. 5 lines)
    thetaplus = theta + epsilon                              # Step 1
    thetaminus = theta - epsilon                        # Step 2
    Jplus =  forward_propagation(x,thetaplus)                                # Step 3
    Jminus =  forward_propagation(x,thetaminus)                                # Step 4
    gradapprox =  (Jplus - Jminus)/(2*epsilon)                             # Step 5
    ### END CODE HERE ###

    # Check if gradapprox is close enough to the output of backward_propagation()
    ### START CODE HERE ### (approx. 1 line)
    grad = backward_propagation(x,theta)
    ### END CODE HERE ###

    ### START CODE HERE ### (approx. 1 line)
    fenzi = np.linalg.norm(grad-gradapprox)                       # Step 1'
    fenmu = np.linalg.norm(grad)+np.linalg.norm(gradapprox)      # Step 2'
    difference = fenzi/fenmu                                # Step 3'
    ### END CODE HERE ###
    
    if difference < 1e-7:
        print ("The gradient is correct!")
    else:
        print ("The gradient is wrong!")
    
    return difference

高维数据的梯度检验

def forward_propagation_n(X, Y, parameters):
    """
    Implements the forward propagation (and computes the cost) presented in Figure 3.
    
    Arguments:
    X -- training set for m examples
    Y -- labels for m examples 
    parameters -- python dictionary containing your parameters "W1", "b1", "W2", "b2", "W3", "b3":
                    W1 -- weight matrix of shape (5, 4)
                    b1 -- bias vector of shape (5, 1)
                    W2 -- weight matrix of shape (3, 5)
                    b2 -- bias vector of shape (3, 1)
                    W3 -- weight matrix of shape (1, 3)
                    b3 -- bias vector of shape (1, 1)
    
    Returns:
    cost -- the cost function (logistic cost for one example)
    """
    
    # retrieve parameters
    m = X.shape[1]
    W1 = parameters["W1"]
    b1 = parameters["b1"]
    W2 = parameters["W2"]
    b2 = parameters["b2"]
    W3 = parameters["W3"]
    b3 = parameters["b3"]

    # LINEAR -> RELU -> LINEAR -> RELU -> LINEAR -> SIGMOID
    Z1 = np.dot(W1, X) + b1
    A1 = relu(Z1)
    Z2 = np.dot(W2, A1) + b2
    A2 = relu(Z2)
    Z3 = np.dot(W3, A2) + b3
    A3 = sigmoid(Z3)

    # Cost
    logprobs = np.multiply(-np.log(A3),Y) + np.multiply(-np.log(1 - A3), 1 - Y)
    cost = 1./m * np.sum(logprobs)
    
    cache = (Z1, A1, W1, b1, Z2, A2, W2, b2, Z3, A3, W3, b3)
    
    return cost, cache

def backward_propagation_n(X, Y, cache):
    """
    Implement the backward propagation presented in figure 2.
    
    Arguments:
    X -- input datapoint, of shape (input size, 1)
    Y -- true "label"
    cache -- cache output from forward_propagation_n()
    
    Returns:
    gradients -- A dictionary with the gradients of the cost with respect to each parameter, activation and pre-activation variables.
    """
    
    m = X.shape[1]
    (Z1, A1, W1, b1, Z2, A2, W2, b2, Z3, A3, W3, b3) = cache
    
    dZ3 = A3 - Y
    dW3 = 1./m * np.dot(dZ3, A2.T)
    db3 = 1./m * np.sum(dZ3, axis=1, keepdims = True)
    
    dA2 = np.dot(W3.T, dZ3)
    dZ2 = np.multiply(dA2, np.int64(A2 > 0))
    dW2 = 1./m * np.dot(dZ2, A1.T) * 2
    db2 = 1./m * np.sum(dZ2, axis=1, keepdims = True)
    
    dA1 = np.dot(W2.T, dZ2)
    dZ1 = np.multiply(dA1, np.int64(A1 > 0))
    dW1 = 1./m * np.dot(dZ1, X.T)
    db1 = 4./m * np.sum(dZ1, axis=1, keepdims = True)
    
    gradients = {"dZ3": dZ3, "dW3": dW3, "db3": db3,
                 "dA2": dA2, "dZ2": dZ2, "dW2": dW2, "db2": db2,
                 "dA1": dA1, "dZ1": dZ1, "dW1": dW1, "db1": db1}
    
    return gradients

梯度检验原理

与1和2中一样，你想将“gradapprox”与通过反向传播计算的梯度进行比较。公式仍然是：

$$\frac{\partial J}{\partial \theta }=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{J(\theta +\epsilon )-J(\theta -\epsilon )}{2\epsilon }\text{\hspace{1em}(1)}$$

但是，$\theta$不再是标量。 而是一个叫做“参数”的字典。 我们为你实现了一个函数"dictionary_to_vector()"。它将“参数”字典转换为称为“值”的向量，该向量是通过将所有参数(W1, b1, W2, b2, W3, b3)重塑为向量并将它们串联而获得的。

反函数是“vector_to_dictionary”，它输出回“parameters”字典。

图2：dictionary_to_vector（）和vector_to_dictionary（）
你将在 gradient_check_n()中用到这些函数

我们还使用gradients_to_vector()将“gradients”字典转换为向量“grad”。

练习：实现gradient_check_n()。

说明：这是伪代码，可帮助你实现梯度检验。

For each i in num_parameters:

• 计算J_plus [i]：
  1. 将${\theta }^{+}$设为 np.copy(parameters_values)
  2. 将${\theta }_i^{+}$ 设为${\theta }_i^{+}+\epsilon$
  3. 使用forward_propagation_n(x, y, vector_to_dictionary( ${\theta }^{+}$ ))计算$J_i^{+}$
• 计算J_minus [i]：也是用${\theta }^{-}$
• 计算$gradapprox[i]=\frac{J_i^{+}-J_i^{-}}{2\epsilon }$

因此，你将获得向量gradapprox，其中gradapprox[i]是相对于parameter_values[i]的梯度的近似值。现在，你可以将此gradapprox向量与反向传播中的梯度向量进行比较。就像一维情况（步骤1’，2’，3’）一样计算：
$$difference=\frac{\Vert grad-gradapprox{\Vert }_2}{\Vert grad{\Vert }_2+\Vert gradapprox{\Vert }_2}\text{\hspace{1em}(3)}$$

代码实现

# GRADED FUNCTION: gradient_check_n

def gradient_check_n(parameters, gradients, X, Y, epsilon = 1e-7):
    """
    Checks if backward_propagation_n computes correctly the gradient of the cost output by forward_propagation_n
    
    Arguments:
    parameters -- python dictionary containing your parameters "W1", "b1", "W2", "b2", "W3", "b3":
    grad -- output of backward_propagation_n, contains gradients of the cost with respect to the parameters. 
    x -- input datapoint, of shape (input size, 1)
    y -- true "label"
    epsilon -- tiny shift to the input to compute approximated gradient with formula(1)
    
    Returns:
    difference -- difference (2) between the approximated gradient and the backward propagation gradient
    """
    
    # Set-up variables
    parameters_values, _ = dictionary_to_vector(parameters)
    grad = gradients_to_vector(gradients)
    num_parameters = parameters_values.shape[0]
    J_plus = np.zeros((num_parameters, 1))
    J_minus = np.zeros((num_parameters, 1))
    gradapprox = np.zeros((num_parameters, 1))
    
    # Compute gradapprox
    for i in range(num_parameters):
        
        # Compute J_plus[i]. Inputs: "parameters_values, epsilon". Output = "J_plus[i]".
        # "_" is used because the function you have to outputs two parameters but we only care about the first one
        ### START CODE HERE ### (approx. 3 lines)
        thetaplus = np.copy(parameters_values)# Step 1
        thetaplus[i] = thetaplus[i]+epsilon # Step 2
        J_plus[i],cache_plus = forward_propagation_n(X, Y, vector_to_dictionary(thetaplus))                 # Step 3
        ### END CODE HERE ###

        # Compute J_minus[i]. Inputs: "parameters_values, epsilon". Output = "J_minus[i]".
        ### START CODE HERE ### (approx. 3 lines)
        thetaminus = np.copy(parameters_values)# Step 1
        thetaminus[i] = thetaminus[i]-epsilon # Step 2
        J_minus[i],cache_minus = forward_propagation_n(X, Y, vector_to_dictionary(thetaminus))                 # Step 3
        ### END CODE HERE ###

        # Compute gradapprox[i]
        ### START CODE HERE ### (approx. 1 line)
        
        gradapprox[i] = (J_plus[i]-J_minus[i])/(2*epsilon)

        ### END CODE HERE ###
    
    # Compare gradapprox to backward propagation gradients by computing difference.
    ### START CODE HERE ### (approx. 1 line)
    fenzi = np.linalg.norm(grad-gradapprox)                       # Step 1'
    fenmu = np.linalg.norm(grad)+np.linalg.norm(gradapprox)      # Step 2'
    difference = fenzi/fenmu                                # Step 3'
    ### END CODE HERE ###

    if difference > 1e-7:
        print ("\033[93m" + "There is a mistake in the backward propagation! difference = " + str(difference) + "\033[0m")
    else:
        print ("\033[92m" + "Your backward propagation works perfectly fine! difference = " + str(difference) + "\033[0m")
    
    return difference

差距较大，认为有错误

看起来backward_propagation_n代码似乎有错误！很好，你已经实现了梯度检验。返回到backward_propagation并尝试查找/更正错误*（提示：检查dW2和db1）*。如果你已解决问题，请重新运行梯度检验。请记住，如果修改代码，则需要重新执行定义backward_propagation_n()的单元格。

你可以进行梯度检验来证明你的导数计算的正确吗？即使作业的这一部分没有评分，我们也强烈建议你尝试查找错误并重新运行梯度检验，直到确信实现了正确的反向传播。

注意

• 梯度检验很慢！用$\frac{\partial J}{\partial \theta }\approx \frac{J(\theta +\epsilon )-J(\theta -\epsilon )}{2\epsilon }$ 逼近梯度在计算上是很耗费资源的。因此，我们不会在训练期间的每次迭代中都进行梯度检验。只需检查几次梯度是否正确。
• 至少如我们介绍的那样，梯度检验不适用于dropout。通常，你将运行不带dropout的梯度检验算法以确保你的backprop是正确的，然后添加dropout。

Nice！现在你可以确信你用于欺诈检测的深度学习模型可以正常工作！甚至可以用它来说服你的CEO。

你在此笔记本中应记住的内容：

• 梯度检验可验证反向传播的梯度与梯度的数值近似值之间的接近度（使用正向传播进行计算）。
• 梯度检验很慢，因此我们不会在每次训练中都运行它。通常，你仅需确保其代码正确即可运行它，然后将其关闭并将backprop用于实际的学习过程。