Josh 的学习笔记之数字通信（Part 1——信号和频谱）

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1. 数字通信信号处理

1.1 为什么要进行数字化

  为什么通信系统，无论是军用系统还是商用系统，都在进行“数字化”？这有许多原因，其中最主要的原因是，与模拟信号相比，数字信号更易于再生。图 1.1 是在传输线上传输的理想二进制数字脉冲。波形的形状受到两个基本因素的影响：

1. 所有传输线和电路的频域传递函数都是非理想的；
2. 存在电子噪声或其他干扰。

这两个因素都会引起波形失真，并且此项失真是传输线长度的函数，如图 1.1 所示。在传输脉冲仍然能够被可靠识别之前，即在传输脉冲恶化到模糊状态之前，由数字放大器将脉冲放大，并恢复其最初的理想形状，这样脉冲就“再生”了。在传输系统中，在规则的时间间隔内执行这种功能的电路称为“再生中继器"（regenerative repeater）。

图1.1 脉冲的失真和再生

  与模拟电路相比，数字电路有更好的抗失真和抗干扰能力。二进制数字电路的工作状态只有两个——开或关，因此只有能够把电路从一个状态变换到另一个状态的干扰才能起到破坏作用。这样的两状态工作有助于信号的再生，因而能在传输中有效地抑制噪声和其他累积干扰。然而，模拟信号不是“双态”信号，它的波形有无限多个。在模拟电路中，即使很小的干扰也能导致信号产生难以接受的失真，且失真一旦产生，就无法通过放大器来抑制。因为模拟信号不能去除累积的噪声，所以就不能很好地再生信号。若采用数字技术，可以通过检错与纠错可以获得极低的差错概率从而产生高保真信号，而模拟系统则没有类似的技术。

  数字通信系统还有其他优点：数字电路比模拟电路更可靠，且其生产成本比模拟电路低；数字硬件比模拟硬件更具灵活性，比如微处理器、数字开关、大规模集成（LSI）电路等；时分复用（TDM）信号比频分复用（FDM）的模拟信号更简单；不同类型的数字信号（数据、电报、电话、电视等）在传输和交换中都被看成是相同的信号——比特信号；为方便交换，还可将数字信号以数据包（packet）的形式进行处理。数字技术因为能够抗自然干扰和人为干扰，能够进行加密处理而更适于信号处理。计算机与计算机之间、数字设备或终端与电脑之间的数据通信需求越来越多，这些数字终端可以通过数字通信链路获得最好的服务。

  数字通信系统能够获得这些优点必然有相应的代价。与模拟系统相比，数字系统需要更多的信号处理技术。在通信的各个阶段，数字系统都需要分配一部分资源用于实现同步，而在模拟系统中，同步相对较容易。数字通信系统的另一个缺点是具有“门限效应”（nongraceful degradation），即当信噪比下降到一定限度时，服务质量就会急剧恶化，而大部分模拟通信系统服务质量的下降则比较平滑。

1.2 典型通信系统的方框图

  图 1.2 所示的功能框图描述了典型数字通信系统（DCS）的信号流程和信号处理过程，该图可以作为学习通信系统的指南。方框图的上部表示从信源到发送端（XMT） 的信号传输过程，包括格式化、信源编码、加密、信道编码、多路复用、脉冲调制、带通调制、频率扩展、多址接入；下部表示从接收端（RCV）到信宿的信号传输过程，基本上是方框图上部信号处理的反过程。调制（modulate）和解调/检测（demodulate/detect）方框合称为调制解调器（modem）。“调制解调器”通常由图 1.2 所示的信号处理过程中的一部分构成，这时调制解调器相当于系统的“大脑”，而发送端和接收端则相当于系统的“肌肉”。在无线应用中，发送端将频率上变频到射频频段（RF），经过高功率放大器馈送到天线；接收端部分由天线、低噪声放大器（LNA）组成，下变频由接收器或解调器的前级末端完成。

图1.2 典型数字通信系统的方框图

  图 1.2 显示出上部的发送方框图和下部的接收方框图存在可逆性，发送方框图中大部分信号处理步骤与接收方框图中的步骤相反。在图 1.2 中，输入信息源先转换成二进制数字（比特），然后将其组合为数字消息（digital message）或消息码元（message symbol），每个码元（$m_i,i=1,\cdots ,M$）都是长度为 $M$ 的码元集中的一个，因而当 $M=2$ 时，消息码元 $m_i$ 就是二进制的（这意味着它仅包含 1 比特的信息）。虽然在一般意义上二进制符号也是 $M$ 进制的，但 $M$ 进制一般都在 $M>2$ 的情况下使用，所以每个 $M$ 符号都由两个或两个以上比特构成（与 DCS 中这种有限码元集不同，模拟系统的信号波形集是无限的）。对于采用信道编码（纠错编码）的系统而言，消息码元序列转变成了信道码元（编码码元）序列，每个信道码元标识为 $u_i$。由于每个消息码元或信道码元由 1 个或 1 组比特构成，这样的码元序列也称为比特流（bit stream），如图 1.2 所示。

  图 1.2 中 DCS 必不可少的信号处理方框有：格式化、调制、解调/检测和同步。格式化把源信息转换成比特，从而保证信息与 DCS 信号处理的一致性。在图 1.2 中，脉冲调制方框之前的信息仍是比特流的形式。调制过程将消息码元或信道码元（采用信道编码）转换成与传输信道特性匹配的波形（wavefom）。脉冲调制（Pulse Modulation）是必不可少的步骤，因为要传送每个符号必须先将其从二进制代码（表示二进制 1 或 0 的电压电平）转换成基带波形。基带（baseband）是指从直流（或接近直流）延伸到某个有限值的信号频谱，这个值通常是小于几 MHz 的有限数。脉冲调制方框通常包含使传输带宽最小化的滤波器。当对二进制符号应用脉冲调制时，产生的二进制波形就称为脉冲编码调制（PCM）波形。PCM 波形有好几种类型，在电话通信中这些波形通常称为线路码（line code）。当脉冲调制用于非二进制符号时，产生的波形称为 $M$ 进制脉冲调制波形，这样的波形也有好几种类型，在后续将会描述这几种波形，并且重点介绍脉冲幅度调制（PAM）。经过脉冲调制后，每个消息码元或信道码元都转变为基带波形 $g_i\left(t\right)$（其中 $i=1,\cdots ,M$）形式。在任何通信设备中，脉冲调制之前的比特流都用电压电平表示。既然实际上代表二进制 1 和 0 的不同电平，可以看做每个脉冲占用一个比特时间的冲激或理想矩形脉冲，那么为什么还需要一个单独的方框用于脉冲调制呢？这是因为这些电压电平和用于调制的基带波形之间有两个重要区别：

1. 脉冲调制方框适用于各种二进制和 $M$ 进制脉冲波形，后续会描述这些波形的不同性质；
2. 脉冲调制方框中的滤波器产生待续时间大于 1 比特时间的脉冲。

由于滤波器产生的脉冲有时间展宽，因而会占据相邻比特的时间。这种滤波有时候称为脉冲成形，用于把传输带宽限制在给定的频谱范围内。

  在涉及到射频传输的应用中，下一个重要的步骤是带通调制（bandpass modulation），只要传输介质不支持脉冲波形的传输，就必须应用带通调制， 此时传输介质所要求的信号是带通波形 $s_i\left(t\right)$（其中 $i=1,\cdots ,M$）。带通意味着基带波形 $g_i\left(t\right)$ 的频谱通过一个载波被搬移到一个比 $g_i\left(t\right)$ 频谱大得多的频率点。当 $s_i\left(t\right)$ 经信道传输时，会受到信道特性的影响，而信道特性可以用信道冲激响应（impulse response）$h_c\left(t\right)$ 来描述。此外，在信号传输线路的各点上，加性随机噪声会使接收信号 $r\left(t\right)$ 进一步失真，所以接收信号是发送信号 $s_i\left(t\right)$ 的失真版本。接收信号 $r\left(t\right)$ 可以表示为
$$r\left(t\right)=s_i\left(t\right)\ast h_c\left(t\right)+n\left(t\right),i=1,\cdots ,M$$其中，$\ast$ 表示卷积运算，$n\left(t\right)$ 是噪声过程。

  在相反方向上，接收机前端或解调器对每个带通波形 $r\left(t\right)$ 进行下变频转换，解调器把 $r\left(t\right)$ 恢复成最佳基带脉冲波形 $z\left(t\right)$，为后面的检测做准备。通常还会有几个与接收机、解调器相连的滤波器，滤除不需要的高频部分（带通波形的下变频），并改善脉冲波形。均衡可以认为是一种滤波过程，用以对抗由信道引起的不良影响，它可以包含在解调器之中，也可以在解调器之后；当信道冲激响应 $h_c\left(t\right)$ 使接收信号严重失真时，均衡器就不可或缺了，它用于补偿（即消除或削弱）由非理想的 $h_c\left(t\right)$ 所导致的任何形式的信号失真。最后，采样过程把成形的脉冲 $z\left(t\right)$ 变换成采样信号 $z\left(T\right)$，而检测则把 $z\left(T\right)$ 变成信道码元或信息码元（若没有采用信道编码）的估值 $u_i$ 或 $m_i$。需要说明的是，此处的解调是波形（基带脉冲）的恢复， 而检测则指与波形的数字意义有关的判决。

  调制解调器中其他的信号处理步骤可根据系统的具体需求进行选择。信源编码（source coding）对模拟信号进行模数（Analog-to-Digtal, A/D）转换，去除冗余信息。值得注意的是，典型的 DCS 或采用信源编码（数字化和压缩信源信息），或采用较简单的格式化变换（只有数字信号时），系统不会同时采用信源编码和格式化，因为前者已经包含数字化信源信息这一必要步骤。加密用于提供通信的保密性，防止没有被授权的用户获得信息或将差错信息加入到系统中。对于给定的数据速率，在增加传输带宽或解码器复杂性的条件下，信道编码能降低差错概率 $P_E$，或者在保持期望的差错概率 $P_E$ 的条件下降低所需的信噪比。多路复用（multiplexing）和多址接入（multiple-access）把不同特性或不同信源的信号进行合成，以便共享通信资源（如频谱、时间）。扩频能产生抵御干扰（自然或人为干扰）的信号，提高通信装置的保密性，同时它在多址接入方面也是一项有用的技术。

  图 1.2 所示的信号处理方框是一种很典型的结构，但有时这些方框会有不同的顺序。例如多路复用可以先于信道编码或先于调制，对于双重调制（ 副载波和载波） 的情况，还可以在双重调制之间完成；同样，扩频也可以在 图 1.2 上部的不同地方，它的准确位置有赖于采用何种技术。DCS 中对所有信号处理的控制都涉及到同步及其关键成分——时钟信号。为简单起见，图 1.2 所示的同步方框没有与其他方框相连，事实上它协调图中每一个方框的工作。

图1.3 基本数字通信变换

  图 1.3 给出的基本的信号处理操作，可以看做对信号的变换，分为以下 9 大类：

1. 格式化和信源编码
2. 基带信号处理
3. 带通信号处理
4. 均衡
5. 信道编码
6. 复用和多址接入
7. 扩展
8. 加密
9. 同步

虽然这种结构有一些交叉， 但它为学习数字通信系统提出了一个有用的结构框架。后续会分别讲述这 9 大基本变换。

1.3 基本的数字通信术语

  下面是经常出现在数字通信文献中的基本术语：

图1.4 术语实例

• 信源（information source）：DCS 中产生需要传输的信息的装置，信源的输出可以是模拟的或是离散的。模拟信源的输出可以在幅度范围内取任何一个值，而离散信息源的输出则是某一有限数组中的一个。模拟信源可通过采样（sampling）和量化（quantization）变成离散信源。采样和量化技术也称为格式化和信源编码（见图 1.3）。

• 文本消息（textual message）：字符序列（见图 1.4a）。为了进行数字传输，文本消息应该是一组数字流，或是有限符号集或字母表中的符号。

• 字符（character）：某个字母表或符号集中的一个（见图 1.4b）。每个字符可以映射成一个二进制数字序列。字符编码有数种标准码，包括美国信息交换标准码（ASCll）、扩展二-十进制交换码（EBCDIC）、霍尔瑞斯码（Hollerith）、博多码（Baudot）、默里码（Murray）、莫尔斯码（Morse）。

• 二进制数字（binary digit）（比特）：所有数字系统的基本信息单元。比特（bit）还用做信息量单位。

• 比特流（bit stream）：二进制数据（0 和 1）流。比特流通常称为基带信号，这意味着其频谱范围是从直流（或接近直流）到一个有限值，这个值通常小于几 MHz 。图 1.4c 中，文本信息“HOW”用 7 比特的 ASCII 码表示，其比特流可以用二电平脉冲图形表示。这里的脉冲序列由理想矩形形状的脉冲组成，两个相邻的脉冲之间存在间隔。实际系统中的脉冲不可能与图中所绘的相同，因为这种间隔没有任何用处。对于给定的比特速率，脉冲间隔会增加所需的传输带宽；对于给定的带宽，脉冲间隔会增加获得信息的时延。

• 码元（symbol）（数字消息）：一个码元由 $k$ 比特组成，该 $k$ 比特就是一个单元，可用于表示来自有限码元集或字母表中的消息码元 $m_i\left(i=1,\cdots ,M\right)$（见图 1.4d）。字符集的大小为 $M=2^k$，其中 $k$ 为码元的比特数。对于基带传输，每个码元 $m$，用一组基带脉冲波形 $g_1\left(t\right),g_2\left(t\right),\cdots ,g_M\left(t\right)$ 之一来表示。传送这些脉冲序列的速率，即脉冲速率（或码元速率），可以用波特（Baud）来表示。对于典型的带通传输，每个脉冲 $g_i\left(t\right)$ 都由一组带通波形 $s_1\left(t\right),s_2\left(t\right),\cdots ,s_M\left(t\right)$ 之一来表示。在无线系统中，码元 $m_i$ 通过在 $T$ 秒内发送数字波形 $s_i\left(t\right)$ 来实现，$T$ 为码元持续时间。下一个码元将在下一个时间间隔 $T$ 内发送。DCS 所发送的码元是有限符号集中的一个，这是 DCS 和模拟系统的一个主要区别。DCS 接收机仅需判别发送的波形是 $M$ 个波形中的哪一个，而模拟系统的接收机却要精确地估计波形。

• 数字波形（digital waveform）：用于表示数字符号的电压或电流波形（基带传输的脉冲或带通传输的正弦波）。波形参数（脉冲的幅度、宽度、位置或正弦波的幅度、频率、相位）使其可用于表示有限符号集中的任意符号。图 1.4e 给出了带通数字波形的例子。虽然该波形是正弦波，具有模拟信号的特性，但由于它已被数字信息进行编码，所以称为数字波形。图中每个时间间隔 $T$ 内， 一个预先给定的频率表示一个数字的取值。

• 数据速率（data rate）：此数值的单位是比特每秒（bit per second, b/s），由 $R=\frac{k}{T}=\frac{1}{T}{\log }_{2}M\text{b/s}$ 给出，其中的 $k$ 比特确定了 $M=2^k$ 符号集中的一个符号，$T$ 是 $k$ 比特符号的持续时间。

1.4 数字通信与模拟通信的性能比较

  模拟通信系统与数字通信系统的一个主要区别是性能评估的方法不同。模拟系统的波形是连续的，因而有无穷多个，这说明接收机必须处理无穷多个波形。衡量模拟通信系统的性能的指标是保真度标准， 如信噪比、百分比失真、发端波形和收端波形之间的期望均方误差。

  与模拟通信系统不同，数字通信系统发送的是代表数字的信号，这些数字组成一个有限集或字符表，且对于接收机而言该表是先验已知的。衡量数字通信系统的一个性能参数是错误判决的概率或者差错概率（$P_E$）。

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2. 信号分类

2.1 确定信号和随机信号

  若信号是确定的（deterministic），表明其在任何时间的值都是确定已知的；若是随机的（random），则表明在信号实际发生之前具有一定的不确定性。确定的信号或波形可以用明确的数学表达式来建模，例如 $x\left(t\right)=5\cos \left(10t\right)$。对于随机信号却不可能这样表达。若要描述在相当长时间内的一个随机波形（也称为随机过程），可以采用概率和统计平均。这种随机过程的概率描述模型，对于通信系统中分析信号和噪声性能非常有用。

2.2 周期信号和非周期信号

  对于信号 $x\left(t\right)$，若存在常常数 $T_0>0$，使得
$$x\left(t\right)=x\left(t+T_0\right),-\infty <t<\infty$$成立，则称 $x\left(t\right)$ 是时间周期的（periodic in time），其中 $t$ 表示时间。满足条件的 $x\left(t\right)$ 的最小值称为 $x\left(t\right)$ 的周期，周期 $T_0$ 定义了 $x\left(t\right)$ 的一个完整周期时间。如果不存在满足式这样的 $T_0$，则称该信号为非周期信号（non periodic signal）。

2.3 连续信号和离散信号

  模拟信号 $x\left(t\right)$ 是时间的连续函数，即 $x\left(t\right)$ 唯一地定义于所有时间 $t$ 上。物理信号（如声音）通过变换器得到的电信号就是模拟信号。而离散信号 $x\left(kT\right)$ 只在离散时间点上存在，其值是在每个时间点 $kT$ 上的数字序列，其中，$k$ 是整数，$T$ 是固定的时间间隔。

2.4 能量信号和功率信号

  电信号可以由电压 $v\left(t\right)$ 或电流 $i\left(t\right)$ 流过电阻 $R$ 产生的瞬时功率 $p\left(t\right)$ 来表示，瞬时功率定义如下：
$$p\left(t\right)=\frac{v^2\left(t\right)}{R}\text{或}p\left(t\right)=i^2\left(t\right)R$$在通信系统中，通常假定电阻 $R$ 为 1 欧姆而得到归一化的功率值。但实际电路中的电阻可能是其他值，如果需要功率的真实值，可以通过对归一化值（normalized value）进行去归一化（denormolazation）而获得。归一化后，上两式的形式相同，因此不管信号是电压波形还是电流波形，归一化瞬时功率均可以表示为
$$p\left(t\right)=x^2\left(t\right)$$其中，$x\left(t\right)$ 是电压或电流信号。具有上式所示瞬时功率的实际信号，在时间间隔 $\left(-\frac{T}{2},\frac{T}{2}\right)$ 内的能量为
$$E_x^T={\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{x}^2\left(t\right)\text{d}t$$该间隔内的平均功率为
$$P_x^T=\frac{1}{T}{E}_x^T=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{x}^2\left(t\right)\text{d}t$$  通信系统的性能依赖于接收信号的能量（energy）。大能量信号可以比小能量信号获得较可靠的检测（产生较少的错误）。另外，功率（power）是能量传递的速率，它决定着发射机的电压和无线系统中必须考虑的电磁场强度（例如，连接发射机和天线的波导中的电磁场，天线发射元件周围的电磁场）。

  分析通信信号时，通常需要知道波形能量（waveform energy）。当且仅当 $x\left(t\right)$ 在所有时间上的能量不为零且有限（$0<E_x<\infty$）时，该信号为能量信号（energy signal），其中
$$E_x=\underset{T\to \infty }{\lim }{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{x}^2\left(t\right)\text{d}t={\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2\left(t\right)\text{d}t$$在实际应用中发送信号总是能量有限的（$0<E_x<\infty$），但是，为了描述周期信号（由于它在所有时间上都存在，因而是能量无限的）以及分析能量无限的随机信号，定义如下的功率信号（power signal）：当且仅当信号的功率不为零且有限（$0<P_x<\infty$）时，称该信号为功率信号，其中
$$P_x=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{x}^2\left(t\right)\text{d}t$$能量信号和功率信号是互不相容的，能量信号的能量有限而平均功率为零（zero average power），功率信号的平均功率有限而能量无限（infinite energy）。系统中的波形要么具有能量值，要么具有功率值。一般地，周期信号和随机信号是功率信号，而非周期的确定信号是能量信号。

  信号的能量和功率在通信系统中都是很重要的参数。将信号区分为能量信号和功率信号可以简
化对各种信号和噪声的数学分析，后面将会从数字通信系统的角度进一步阐述这些思想。

2.5 单位冲激函数

  在通信理论中，一个很有用的函数是单位冲激（unit impulse）函数或狄拉克函数 $\delta \left(t\right)$（Dirac delta function）。冲激函数是抽象的，其幅值无限大，脉冲宽度为 0，面积为 1。单位冲激函数具有以下性质：
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\delta \left(t\right)\text{d}t=1$$$$\delta \left(t\right)=0,\text{当}t\ne 0\text{时}$$$$\delta \left(t\right)\to \infty ,\text{当}t=0\text{时}$$$${\int }_{-\infty }^{\infty }x\left(t\right)\delta \left(t-t_0\right)\text{d}t=x\left(t_0\right)$$  单位冲激函数 $\delta \left(t\right)$ 不是通常意义上的函数，可以将其理解为幅度有限、持续时间趋于零的单位面积脉冲。$\delta \left(t-t_0\right)$ 是在 $t=t_0$ 处的尖峰信号，其高度等于它的积分或面积。因此，有常数 $A$ 加权的冲激函数 $A\delta \left(t-t_0\right)$，其面积或重量等于 $A$，其值除点 $t=t_0$ 外，处处为 $0$。

  上述性质最后一条是单位冲激函数的筛分（sifting）或采样特性（sampling property），表明单位冲激乘法器选取了函数 $x\left(t\right)$ 在 $t=t_0$ 时的采样值（sample）。

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3. 频谱密度

  信号的频谱密度（spectral density）是信号的能量或功率在频域上的分布特性。在分析通信系统的滤波时，估计滤波器输出端的信号和噪声需要使用能量谱密度（ESD）或功率谱密度（PSD），所以这个概念非常重要。

3.1 能量谱密度

  实值能量信号 $x\left(t\right)$ 在区间$\left(-\infty ,\infty \right)$上的总能量为$E_x=\underset{T\to \infty }{\lim }{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{x}^2\left(t\right)\text{d}t={\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2\left(t\right)\text{d}t$。利用帕斯瓦尔（Parseval）定理，可以得到时域和频域表示的信号能量
$$E_x={\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2\left(t\right)\text{d}t{\int }_{-\infty }^{\infty }{\left|X\left(f\right)\right|}^2\text{d}f$$其中，$X\left(f\right)$ 是非周期信号 $x\left(t\right)$ 的傅里叶变换。令
$${\psi }_x\left(f\right)={\left|X\left(f\right)\right|}^2$$则 ${\psi }_x\left(f\right)$ 的数值就是信号 $x\left(t\right)$ 的能量谱密度（ESD）。因而，可以将信号 $x\left(t\right)$ 的总能量表示为谱密度的积分
$$E_x={\int }_{-\infty }^{\infty }{\psi }_x\left(f\right)\text{d}f$$该式表明信号能量相当于 ${\psi }_x\left(f\right)$ 关于频率的曲线下的面积。能量谱密度描述了单位带宽上的信号能量，其单位为焦/赫。由于信号 $x\left(t\right)$ 是实值的，$\left|X\left(f\right)\right|$ 是频率的偶函数，所以正负频率部分具有相等的能量。由于能量谱密度在频域上关于原点对称，故信号 $x\left(t\right)$ 的总能量可以表示为
$$E_x=2{\int }_0^{\infty }{\psi }_x\left(f\right)\text{d}f$$

3.2 功率谱密度

  实值功率信号 $x\left(t\right)$ 的平均功率 $P_x$为 $P_x=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{x}^2\left(t\right)\text{d}t$。如果 $x\left(t\right)$ 是周期为 $T_0$ 的周期信号，那么它就是功率信号。周期信号的平均功率为（在信号周期 $T_0$ 上取时间平均）
$$P_x=\frac{1}{T_0}{\int }_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}{x}^2\left(t\right)\text{d}t$$采用实值周期信号的帕斯瓦尔定理，得
$$P_x=\frac{1}{T_0}{\int }_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}{x}^2\left(t\right)\text{d}t=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|c_n\right|}^2$$其中，$\left|c_n\right|$ 是周期信号傅里叶级数的复系数的幅值。

  应用式上述第二式，只需要知道复系数的幅值 $\left|c_n\right|$。周期信号 $x\left(t\right)$ 的功率谱密度（PSD）$G_x\left(f\right)是$ 频域中的非负实偶函数，给定频域中 $x\left(t\right)$ 的功率分布， PSD 定义为
$$G_x\left(f\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|c_n\right|}^2\delta \left(f-n{f}_0\right)$$上式将周期信号 $x\left(t\right)$ 的功率谱密度定义为加权冲激函数序列，因而周期信号的 PSD 是频率的离散函数。应用上式定义的 PSD，可以得到实值信号的归一化平均功率
$$P_x={\int }_{-\infty }^{\infty }{G}_x\left(f\right)\text{d}f=2{\int }_0^{\infty }{G}_x\left(f\right)\text{d}f$$上述 $G_x\left(f\right)$ 只用于表示周期（功率）信号的 PSD。若 $x\left(t\right)$ 是非周期信号，就不能用傅里叶级数来表示；若是非周期功率信号（能量无限），也不能进行傅里叶变换，但可以在极限意义（limiting sense）下表示其功率谱密度。若在间隔$\left(-\frac{T}{2},\frac{T}{2}\right)$ 内对非周期功率信号 $x\left(t\right)$ 进行截断，那么获得的函数 $x_T\left(t\right)$ 是能量有限的，因而具有傅里叶变换形式 $X_T\left(f\right)$ 。可以证明，非周期信号功率谱密度的极限表达式为
$$G_x\left(f\right)=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\left|X_T\left(f\right)\right|}^2$$

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4. 自相关函数

4.1 能量信号的自相关函数

  相关是匹配过程，而自相关（autocorrelation）则是指延迟信号与其自身的匹配。实值能量信号 $x\left(t\right)$ 的自相关函数定义为
$$R_x\left(\tau \right)={\int }_{-\infty }^{\infty }x\left(t\right)x\left(t+\tau \right)\text{d}t,-\infty <\tau <\infty$$自相关函数 $R_x\left(\tau \right)$ 提供了信号与其平移 $\tau$ 时间后所得信号之间关联程度的测度。变量 $\tau$ 表示扫描或搜索参数。$R_x\left(\tau \right)$ 不是时间的函数，而是信号与其平移信号的时间间隔 $\tau$ 的函数。

  实值能量信号的自相关函数具有以下性质：

序号	性质	描述
1	$R_x\left(\tau \right)=R_x\left(-\tau \right)$	函数关于零点对称
2	$R_x\left(\tau \right)⩽R_x\left(0\right)$ ，对所有 $\tau$ 成立	函数在原点获得最大值
3	$R_x\left(\tau \right)\leftrightarrow {\psi }_x\left(f\right)$	自相关函数与 PSD 是傅里叶变换对，用双向箭头表示
4	$R_x\left(0\right)={\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2\left(t\right)\text{d}t$	函数在零点的值等于信号的能量

若性质 1 到 3 成立，则 $R_x\left(\tau \right)$ 满足自相关函数的性质，性质 4 可以由性质 3 得到。

4.2 周期（功率）信号的自相关函数

  实值功率信号 $x\left(t\right)$ 的自相关函数定义为
$$R_x\left(\tau \right)=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x\left(t\right)x\left(t+\tau \right)\text{d}t,-\infty <\tau <\infty$$当功率信号 $x\left(t\right)$ 是周期为 $T_0$ 的周期信号时， 上式的时间平均可以用周期 $T_0$ 平均来代替，故自相关函数可以表示为
$$R_x\left(\tau \right)=\frac{1}{T_0}{\int }_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}x\left(t\right)x\left(t+\tau \right)\text{d}t,-\infty <\tau <\infty$$  实值功率信号的自相关函数与能量信号的自相关函数有类似的性质：

序号	性质	描述
1	$R_x\left(\tau \right)=R_x\left(-\tau \right)$	函数关于零点对称
2	$R_x\left(\tau \right)⩽R_x\left(0\right)$ ，对所有 $\tau$ 成立	函数在原点获得最大值
3	$R_x\left(\tau \right)\leftrightarrow G_x\left(f\right)$	自相关函数与 PSD 是傅里叶变换对
4	$R_x\left(0\right)=\frac{1}{T_0}{\int }_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}{x}^2\left(t\right)\text{d}t$	函数在零点的值等于信号的能量

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5. 随机信号

  通信系统的主要目的就是通过信道传输信息。任何有用信息都是随机出现的，也就是说，接收机不能预知传输的是哪一个信息波形。伴随信息的还有随机电信号引起的噪声，因此，有必要给出随机信号的有效表示形式。

5.1 随机变量

5.2 随机过程

5.3 时间平均和各态遍历

5.1 ~ 5.3 小节请参考随机信号分析相关知识，如北理工《随机信号分析》复习总结。

5.4 随机过程的功率谱密度和自相关函数

  随机过程 $X\left(t\right)$ 通常是功率信号，其功率谱密度（PSD）$G_X\left(f\right)$ 为 $G_X\left(f\right)=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\left|X_T\left(f\right)\right|}^2$。由于 $G_X\left(f\right)$ 描述了信号功率在频域的分布，因而在通信系统中特别有用。根据PSD 可以计算出信号通过频率特性已知网络后的功率。PSD 函数有如下主要性质：

序号	性质	描述
1	$G_X\left(f\right)⩾0$	且为实数
2	$G_X\left(f\right)=G_X\left(-f\right)$	对实值 $X\left(t\right)$
3	$G_X\left(f\right)\leftrightarrow R_X\left(\tau \right)$	PSD 与 自相关函数是傅里叶变换对
4	$P_X={\int }_{-\infty }^{\infty }{G}_X\left(f\right)\text{d}f$	归一化平均功率与 PSD 之间的关系

  图 1.5 给出了自相关函数和功率谱密度。相关（correlation）的含义是什么呢？当研究两个现象的相关性时，需要知道它们的近似程度以及相互匹配程度。在数学上，信号的自相关函数（时域中）用如下方法描述了信号与其自身的一致性：准确地复制该信号，将其放在时域的负无穷大处，然后逐步向正方向移动复制信号，这时就有“这两个信号（信号和复制信号）什么时候刚好吻合？ ”，“现在它们的吻合程度如何？”等问题。信号的相关性是时间间隔 $\tau$ 的函数，可以将其看做扫描参数。

图1.5 自相关函数与功率谱密度

  图 1.5 中 a~d 重点描述了这些步骤中的一部分。图 1.5a 是 WSS 随机过程的一个样本波形，它是单位幅度的双极性二进制随机序列，正脉冲和负脉冲等概率出现，每个二进制数据的持续时间是 $T$ 秒，该随机序列的直流值或均值为零。图 1.5b 是延迟 ${\tau }_1$ 秒后的同一序列，因而将其标识为 $X\left(t-{\tau }_1\right)$。假设 $X\left(t\right)$ 是自相关函数各态遍历的，用时间平均取代集总平均求得 $R_X\left(\tau \right)$。$R_X\left({\tau }_1\right)$ 的值可以通过 $R_X\left(\tau \right)=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}X\left(t\right)X\left(t+\tau \right)\text{d}t$ 计算两个序列 $X\left(t\right)$ 和 $X\left(t-{\tau }_1\right)$ 的乘积平均值而获得。对于各态遍历随机过程，上述 $R_X\left(\tau \right)$ 的计算式只在极限意义下准确成立，不过在周期整数倍上的积分也可以为我们提供 $R_X\left(\tau \right)$ 的一个估计值。值得注意的是，左移或右移 $X\left(t\right)$ 均可得到 $R_X\left({\tau }_1\right)$。图 1.5c 给出了样本序列（图 1.5a）和其平移序列（图 1.5b）的计算结果。曲线 $X\left(t\right)X\left(t-{\tau }_1\right)$ 下的斜线面积是正的，灰色面积是负的，对其进行积分得到的代数面积值，即为 $R_X\left(\tau \right)$ 曲线上的 $R_X\left({\tau }_1\right)$ 值。将序列平移 ${\tau }_2,{\tau }_3,\cdots$，每个平移产生的自相关函数值见图 1.5d。任何随机双极性脉冲都有图 1.5d 所示的自相关函数图形。图形的峰值为 $R_X\left(0\right)$（由于对所有 $\tau$，有 $R_X\left(\tau \right)⩽R\left(0\right)$，故 $\tau$ 为 $0$ 时有最好的吻合），当 $\tau$ 增加时，值随之下降，图 1.5d 中标出了 $R_X\left(0\right)$ 和 $R_X\left({\tau }_1\right)$ 的值。

  图 1.5d 所示的自相关函数 $R_X\left(\tau \right)$ 的解析表达式为
$$R_X\left(\tau \right)=\{\begin{array}{l}\begin{array}{rlr}& 1-\frac{\left|\tau \right|}{T},& \left|\tau \right|⩽T\\ & 0,& \left|\tau \right|>T\end{array}\end{array}$$  注意，由自相关函数可以得到信号的带宽信息。自相关函数是时域函数，上式中没有与频率有关的参数，那么它如何提供带宽信息呢？假设信号是一个缓慢变化（低频带）的信号，当沿着 $\tau$ 轴移动复制信号时， 每移动一次观察“信号和复制信号之间吻合程度如何”，其结果是只在一段时间内两个信号有好的吻合性，换言之，图 1.5d 所示的自相关函数的三角形状和上式的值随 $\tau$ 逐渐下降；如果是变化很快（高频带） 的信号，可能非常小的平移 $\tau$ 就会导致不相关，这时的自相关函数是一个尖峰。因此，由自相关函数的形状可以知道一些信号带宽的信息：如果下降缓慢，则是低频带信号；如果非常陡峭，则是高频带信号。

  通过自相关函数可以直接表示随机信号的功率谱密度。由于 PSD 和自相关函数是傅里叶变换对，随机双极性脉冲序列的 PSD ( 即 $G_X\left(f\right)$）为
$$G_X\left(f\right)=T{\left(\frac{\sin \pi fT}{\pi fT}\right)}^2=T{\text{sinc}}^{2}ft$$其中
$$\text{sinc}y=\frac{\sin \pi y}{\pi y}$$$G_X\left(f\right)$ 的波形见 图 1.5e。

  注意，PSD 曲线下的面积代表了信号的平均功率。衡量带宽（bandwidth）的简便方法是使用频谱的主瓣宽度（main spectral lobe），图 1.5e 表明信号带宽与符号持续时间或脉冲宽度成反比。图 1.5 的 f~j 重复了 图 1.5 的 a~e 的过程，图中的脉冲持续时间更短。与图 1.5d 所示脉冲持续时间较长的 $R_X\left(\tau \right)$ 相比，脉冲持续时间越短，自相关函数 $R_X\left(\tau \right)$ 越窄，见图 1.5i。在图 1.5i 中，$R_X\left({\tau }_1\right)=0$，这说明对于如此短的脉冲持续时间情况，时移 ${\tau }_1$ 就可以产生零吻合，即平移序列间完全不相关。由于图 1.5f 中脉冲持续时间 $T$ 比图 1.5a 中的更短（脉冲速率更高），所以图 1.5j 所示的带宽比图 1.5e 中所示的低脉冲速率信号带宽大。

5.5 通信系统中的噪声

  噪声（noise）是电系统中总会出现的有害（unwanted）电信号。叠加在信号上的噪声的出现，淹没或模糊了有用信号，限制了接收机正确判断码元的能力，从而限制了信息的传输速率。噪声有各种来源，包括自然噪声和人为噪声。人为噪声（man-made noise）包括火花塞点火噪声、开关噪声以及其他电磁辐射信号；自然噪声（natural noise）来自大气、太阳和宇宙。

  通过滤波、屏蔽、选择调制方式以及最佳接收，好的工程设计可以消除很多噪声或由噪声带来的不良效应。例如，灵敏的无线天文测量仪，为了远离人为噪声都安置在偏远的沙漠中，但仍无法消除称为热噪声（thermal noise）或约翰逊噪声（Johnson noise）的自然噪声。热噪声由分立元件的电子热运动产生，分立元件包括电阻、导线等，电子导体也会产生热噪声。

  热噪声可以看做零均值的高斯随机过程。高斯过程 $n\left(t\right)$ 是一个随机函数，它在任意时间点 $t$ 的值 $n$ 由下列高斯概率密度函数统计描述：
$$p\left(n\right)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\exp \left[-\frac{1}{2}{\left(\frac{n}{\sigma }\right)}^2\right]$$式中的 ${\sigma }^2$ 是 $n$ 的方差。令均值为零，方差为 $1$ 可以得到归一化或标准高斯密度函数，见图 1.6。

图1.6 标准高斯概率密度函数

  随机信号通常可以看做高斯随机噪声和直流信号之和，即
$$z=a+n$$其中，$z$ 是随机信号，$a$ 是直流分量，$n$ 是高斯噪声随机变量。概率密度函数 $p\left(z\right)$ 可表示如下
$$p\left(z\right)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\exp \left[-\frac{1}{2}{\left(\frac{z-a}{\sigma }\right)}^2\right]$$其中，${\sigma }^2$ 是 $n$ 的方差。根据中心极限定理，高斯分布通常用于系统的噪声模型中。中心极限定理指出：在通常条件下，不管原来的单个分布函数是什么，$j$ 个统计独立的随机变最之和的概率分布，当 $j\to \infty$ 时，均为高斯分布。因而，即使单个噪声的分布不是高斯分布，大量的噪声之和也会趋于高斯分布。

5.5.1 白噪声

  热噪声的主要频谱特性是，在大多数通信系统中，其功率谱密度在所讨论的频率点上都是一样的，换言之，从直流到 $10^{12}\text{Hz}$ 的频率上，热噪声源在每单位带宽上产生的噪声功率相等。因而热噪声的简单模型是假设功率谱密度 $G_n\left( f \right) $ 在频域内是平坦的，如图 1.7 所示，并且记为
$$G_n\left(f\right)=\frac{N_0}{2}\text{W}/\text{Hz}$$其中，因子 $2$ 表明 $G_n\left(f\right)$ 是双边带功率谱密度。当噪声功率的谱密度为常数时，将该噪声称为白噪声。“白”和白光中的“白”有相同的意思，指在电磁辐射可见范围内所有频率分最的数值都相等。

  白噪声的自相关函数是通过对噪声功率谱密度求傅里叶反变换而得到的，即
$$R_n\left(\tau \right)=F^{-1}\left\{G_n\left(f\right)\right\}=\frac{N_0}{2}\delta \left(\tau \right)$$因此，白噪声的自相关函数是加权因子为 $\frac{N_0}{2}$，在 $\tau =0$ 处出现的冲激函数，见图 1.7b。由于 $\tau \ne 0$ 时 $R_n\left(\tau \right)$ 为零，因而，白噪声的任意两个不同样本，无论距离有多近，都是不相关的。

图1.7 白噪声的特性

  由于白噪声的带宽无限，所以其平均功率也是无限的，即
$$P_n={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{N_0}{2}\text{d}f=\infty$$  白噪声是一个很有用的抽象概念，真正“白”的噪声是不存在的。然而，许多实际系统中遇到的噪声都近似是白的。对于带宽有限的实际系统，只要噪声带宽比系统带宽大得多，就可以认为该噪声的带宽无限，可将其看成“白”的。

  白噪声的自相关函数是冲激函数，这说明，任意时延 $\tau \left(\tau \ne 0\right)$ 的噪声信号和时延前的噪声信号是完全不相关的， 也即白噪声的任意两个不同样本是无关的。由于热噪声是高斯过程，并且样本之间不相关，因此噪声样本是互相独立的叽在加性高斯白噪声（AWGN）信道中，噪声对每个发送码元的影响是互相独立的。加性噪声指噪声简单地迭加于信号上，而不是乘性干扰。

  所有通信系统都会有热噪声，它是大多数系统的主要噪声源。由于热噪声具有加性、白的、高斯分布的性质，在通信系统中通常将其用于对噪声建模。由于零均值的高斯噪声由其方差完全确定，所以在信号检测和最佳接收中使用该模型可以大大简化分析。一般的，若没有特别说明，系统噪声都是指零均值加性高斯白噪声（additive zero-mean white Gaussian nosie）。

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6. 线性系统的信号传输

图1.8 线性系统及其主参数

  建立了一系列信号和噪声模型后，现在分析系统特性及其对信号和噪声的影响 。 由于系统在时域和频域内的特性是对应的，因此可以在这两种域中分析线性系统对任意输入的响应 。 见图 1.8，系统的输入信号可以表示成时域的 $x\left(t\right)$，或其傅里叶变换 $X\left(f\right)$。若运用时域分析方式，系统输出是 $y\left(t\right)$，$h\left(t\right)$ 为网络的特性或冲激响应（impulse respons）；若运用频域分析方法， 则系统和频域传递函数为 $H\left(f\right)$，$H\left(f\right)$ 决定系统的输出 $Y\left(f\right)$。这里假定系统是线性时不变的，且系统在输入时没有储存能量。

6.1 冲激响应

  图 1.8 所示的线性时不变系统在时域中可用冲激响应 $h\left(t\right)$ 来描述。$h\left(t\right)$ 是输入为单位冲激函数 $\delta \left(t\right)$ 时系统的响应，即
$$h\left(t\right)=y\left(t\right),当x\left(t\right)=\delta \left(t\right)$$  用冲激响应来描述线性系统有明确的物理意义。单位冲激响应（不可实现，幅度无穷大，宽度为零且具有单位面积）如图 1.10a 所示，将该冲激输入系统，系统会有什么响应呢？输出响应 $h\left(t\right)$ 就是系统的单位冲激响应（图 1.10b 给出了一种可能波形）。

图1.9 冲激响应的输入与输出

  系统对任意输入信号 $x\left(t\right)$ 的响应是 $x\left(t\right)$ 与 $h\left(t\right)$ 的卷积，表示为
$$y\left(t\right)=x\left(t\right)\ast h\left(t\right)={\int }_{-\infty }^{\infty }x\left(\tau \right)h\left(t-\tau \right)\text{d}\tau$$其中，$\ast$ 为卷积运算。假定系统是因果的，即系统在时刻 $t=0$ 之前没有输出。则积分下限就为零，输出 $y\left(t\right)$ 可以表示为
$$y\left(t\right)={\int }_0^{\infty }x\left(\tau \right)h\left(t-\tau \right)\text{d}\tau 或y\left(t\right)={\int }_0^{\infty }x\left(t-\tau \right)h\left(\tau \right)\text{d}\tau$$上两式都称为卷积积分（convolution integration）。卷积是通信系统中非常重要的一个基本数学运算。

6.2 频域传递函数

  频域输出信号 $Y\left(f\right)$ 由 $y\left(t\right)=x\left(t\right)\ast h\left(t\right)$ 进行双边傅里叶变换得到。由于时域卷积变换到频域就是乘积（反之亦成立），因而有
$$Y\left(f\right)=X\left(f\right)H\left(f\right)或H\left(f\right)=\frac{Y\left(f\right)}{X\left(f\right)}\left(X\left(f\right)\ne 0\right)$$$H\left(f\right)=\mathcal{F}\left\{h\left(t\right)\right\}$，冲激响应的双边傅里叶变换称为频域传递函数（frequency transfer function）或系统频域响应（frequency response）。一般情况下，$H\left(f\right)$ 是复数，可以表示为
$$H\left(f\right)=\left|H\left(f\right)\right|e^{j\theta \left(f\right)}$$其中$\left|H\left(f\right)\right|$是幅频响应。相频响应定义为
$$\theta \left(f\right)=\arctan \frac{\Im \left[H\left(f\right)\right]}{\Re \left[H\left(f\right)\right]}$$其中 $\Re$ 和 $\Im$ 分别表示取“实部”和“虚部”。

  将正弦信号发生器接到系统的输入端，输出端接示波器，就可以测出线性时不变系统的频域传递函数。输入波形 $x\left(t\right)$ 可以表示为
$$x\left(t\right)=A\cos \left(2\pi f_{0}t\right)$$系统的输出为
$$y\left(t\right)=A\left|H\left(f_0\right)\right|\cos \left[2\pi f_{0}t+\theta \left(f_0\right)\right]$$逐步改变输入频率，可以测出输出的幅度和相位。

6.2.1 随机过程和线性系统

  当线性时不变系统的输入为随机过程时，输出也是随机过程，也就是说，输入过程的每个样本函数都产生输出过程的一个样本函数。输入信号功率谱密度 $G_X\left( f \right) $ 和输出信号功率谱 $G_Y\left(f\right)$ 的关系为
$$G_Y\left(f\right)=G_X\left(f\right){\left|H\left(f\right)\right|}^2$$上式给出了求解线性时不变系统输出过程功率谱密度的简单方法。此外，可以证明，如果将高斯过程输入线性时不变系统，则其输出也是高斯的。这是应用于线性系统的高斯过程的基本性质。

6.3 无失真传输

  如果希望一个网络具有与理想传输线一样的特性，那么对此网络有哪些要求呢？理想传输线的输出信号与输入信号相比，有一定的时间延迟，幅度也不同（只是尺度的变化），但却是无失真的——即输出和输入的波形相同。因此，对于理想的无失真传输，输出信号为
$$y\left(t\right)=Kx\left(t-t_0\right)$$其中，$K$ 和 $t_0$ 为常数。对上式进行双边傅里叶变换，得
$$Y\left(f\right)=KX\left(f\right)e^{-f2\pi f_0}$$由 $Y\left(f\right)=X\left(f\right)H\left(f\right)$，可得实现无失真传输的系统的传递函数为
$$H\left(f\right)=K{e}^{-f2\pi f_0}$$因此，要获得理想的无失真传输（ideal distortionless transmission），在系统的全部响应中，幅频响应应是常数，相频响应应是频率的线性函数。但若要对所有频率分量进行相等的放大或衰减，这还是不够的。为了正确迭加，信号的所有频率分量还必须以相同的时延到达。时延 $t_0$ 与相移 $\theta$、角频率 $\omega =2\pi f$ 的关系为
$$t_0\left(s\right)=\frac{\theta \left(\text{rad}\right)}{2\pi f\left(\text{rad}/s\right)}$$显然，为了实现所有频率分量以相同的时延到达，相移要和频率成正比。常用于衡量信号时延特性的指标是群延迟特性（envelope delay 或者 group delay），定义为
$$\tau \left(f\right)=-\frac{1}{2\pi }\frac{\text{d}\theta \left(f\right)}{\text{d}f}$$因此，若要无失真传输，相移是频率的线性函数就等效为群延迟 $\tau \left(f\right)$ 为常数。实际上信号经过系统的某部分时肯定会有失真，若在系统的该部分引入相位或幅度纠正（均衡），网络就可以改善失真。系统性能由所有输入输出特性决定。

6.3.1 理想滤波器

  $H\left(f\right)=K{e}^{-f2\pi f_0}$ 所描述的系统因其带宽无限，因此是无法实现的。系统带宽定义为正频率所占据的频带宽度，在该频带段内幅频响应 $\left|H\left(f\right)\right|$ 的幅值被限制在某个范围内。为了逼似理想无限带宽网络，可以选择这样的截断网络，它可以无失真传输 $f_l$ 和 $f_u$ 之间所有的频率分量，其中 $f_l$ 称为下限频率，$f_u$ 称为上限频率，如图 1.10 所示。任何与之类似的网络都可以称为理想滤波器。对通带 $f_l<f<f_u$ 范围之外的频率，理想滤波器的幅频响应为零。通带的有效宽度为滤波器带宽 $W_f=\left(f_u-f_l\right)\text{Hz}$。

  若 $f_l\ne 0$，并且 $f_u\ne \infty$，则此滤波器称为带通滤波器（BPF），见图 1.10a；若 $f_l=0$ 且 $f_u$ 为有限值时，滤波器称为低通滤波器（LPF），见图 1.10b；当 $f_l$ 不等于零且 $f_u\to \infty$ 时，滤波器称为高通滤波器（HPF），见图 1.10c。

图1.10 理想滤波器的传递函数

  令 $H\left(f\right)=K{e}^{-f2\pi f_0}$ 中的 $K=1$，则带宽为 $W_f=f_u\text{Hz}$ 的理想低通滤波器如图 1.10b 所示。传递函数为
$$H\left(f\right)=\left|H\left(f\right)\right|e^{-j\theta \left(f\right)}$$其中
$$\left|H\left(f\right)\right|=\{\begin{array}{l}\begin{array}{rlr}& 1,& \left|f\right|<f_u\\ & 0,& \left|f\right|⩾f_u\end{array}\end{array}$$以及
$$e^{-j\theta \left(f\right)}=e^{-j2\pi f{t}_0}$$理想低通滤波器的冲激响应（如图 1.11 所示）为
$$\begin{gathered} h\left(t\right)=F^{-1}\left\{H\left(f\right)\right\}={\int }_{-\infty }^{\infty }H\left(f\right)e^{j2\pi ft}\text{d}f={\int }_{-f_u}^{f_u}{e}^{-j2\pi f{t}_0}{e}^{j2\pi ft}\text{d}f={\int }_{-f_u}^{f_u}{e}^{j2\pi f\left(t-t_0\right)}\text{d}f \\ =2f_u\frac{\sin 2\pi f_u\left(t-t_0\right)}{2\pi f_u\left(t-t_0\right)}=2f_u\text{sinc}2f_u\left(t-t_0\right) \end{gathered}$$图 1.11 所示的冲激响应是非因果的，这意味着，在输入时刻 $t=0$之前系统即有非零输出。显然，传输函数 $H\left(f\right)=\left|H\left(f\right)\right|e^{-j\theta \left(f\right)}$ 所描述的滤波器是无法实现的。

图1.11 理想低通滤波器的冲激响应

6.3.2 可实现滤波器

  最简单的可实现低通滤波器由电阻 $R$ 和电容 $C$ 组成，如图 1.12a 所示，称为 $RC$ 滤波器，传递函数为
$$H\left(f\right)=\frac{1}{1+j2\pi fRC}=\frac{1}{\sqrt{1+{\left(2\pi fRC\right)}^2}}{e}^{-j\theta \left(f\right)}$$其中 $\theta \left(f\right)=\arctan 2\pi fRC$。幅频特性 $\left|H\left(f\right)\right|$ 和相频特性 $\theta \left(f\right)$ 分别见图 1.12b、图 1.12c。低通滤波器的带宽定义为其半功率点的频带宽度，半功率点是指信号功率下降为峰值功率1/2 时的频率点或电压下降为峰值电压 $\frac{1}{\sqrt{2}}$时的频率点。

图1.12 RC滤波器及其传递函数

  半功率点通常用 $-3\text{dB}$ 点来表示，即峰值下降 $3\text{dB}$ 的点。这里分贝定义为两点功率 $P_1$ 和 $P_2$ 的比值。由定义：
$$\text{dB}\left(\text{数值}\right)=10{\log }_{10}\frac{P_2}{P_1}=10{\log }_{10}\frac{V_2^2/R_2}{V_1^2/R_1}$$其中，$V_1$ 和 $V_2$ 是电阻 $R_1$ 和 $R_2$ 上的电压。在通信系统分析中，通常采用归一化功率，将$R_1$ 和 $R_2$ 设为 $1\Omega$，于是有
$$\text{dB}\left(\text{数值}\right)=10{\log }_{10}\frac{P_2}{P_1}=10{\log }_{10}\frac{V_2^2}{V_1^2}$$以分贝表示的幅频响应为
$${\left|H\left(f\right)\right|}_{\text{dB}}=\frac{1}{\sqrt{1+{\left(f/f_u\right)}^{2n}}},n⩾1$$其中，$V_1$ 和 $V_2$ 分别是输入和输出电压，这里假设输入和输出电阻相等。

  由低通 $RC$ 滤波器的传递函数容易证明，低通 $R$C 滤波器的半功率点对应于 $\omega =\frac{1}{RC}$ 弧度/秒或 $f=\frac{1}{2\pi RC}\text{ Hz}$，因而带宽 $W_f$ 为 $\frac{1}{2\pi RC}\text{ Hz}$。可实现滤波器和理想滤波器的接近程度可以用滤波器的波形因子（shape factor）来衡量，定义为幅频响应在 $-60\text{ dB}$ 和 $-6\text{ dB}$ 处的带宽之比。具有陡峭截止特性的带通滤波器可使波形因子降低至 $2$，而简单 $RC$ 低通滤波器的波形因子约为 $600$。

  对理想低通滤波器还有几种逼近，其中之一就是巴特沃兹（Butterworth）滤波器，它用函数：
$$\left|H_n\left(f\right)\right|=\frac{1}{\sqrt{1+{\left(f/f_u\right)}^{2n}}},n⩾1$$来逼近理想低通滤波器，其中，$f_u$ 是上限 $-3\text{ dB}$ 截止频率，$n$ 是滤波器的阶数。阶数越高，滤波器越复杂，实现的成本也越高。图 1.13 是 $n$ 取不同值时的幅频特性 $\left|H_n\left(f\right)\right|$（单边），$n$ 越大，幅频特性 $\left|H_n\left(f\right)\right|$ 越接近理想低通滤波器。由于就通带内的最大平坦度而言，该滤波器最接近于理想滤波器，所以巴特沃兹滤波器得到广泛应用。

图1.13 巴特沃兹滤波器的幅频响应

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7. 数字数据的带宽

7.1 基带与带通

  把低通或基带信号 $x\left(t\right)$ 的频谱搬移到高频的一种简单方法是，将基带信号与载波信号 $\cos \left(2\pi f_{c}t\right)$ 相乘，如图 1.14 所示。相乘器的输出波形 $x_c\left(t\right)$，称为双边带（DSB）调制信号（modulated signal），其表达式为
$$x_c\left(t\right)=x\left(t\right)\cos \left(2\pi f_{c}t\right)$$由频谱搬移理论可知， DSB 信号 $x_c\left(t\right)$ 的频谱为
$$X_c\left(f\right)=\frac{1}{2}\left[X\left(f-f_c\right)+X\left(f+f_c\right)\right]$$

图1.14 基带与双边带频谱的比较

  基带信号 $x\left(t\right)$ 的幅频 $\left|X\left(f\right)\right|$ 的带宽为 $f_m$，DSB 信号 $x_c\left(t\right)$ 的幅频 $\left|X_c\left(f\right)\right|$ 的带宽为 $W_{\text{DSB}}$，分别见图 1.14b、c。在 $\left|X_c\left(f\right)\right|$ 的图示中，正的基带频谱分量在 $f_c$ 到 $\left(f_c+f_m\right)$ 范围内，将 DSB 中这一部分称为上边带（USB）；负的基带频谱分址在 $\left(f_c-f_m\right)$到 $f_c$ 的范围内，将 DSB 中这一部分称为下边带（LSB）。USB 和 LSB 频谱的镜像图形在负频率部分。载波（carrier wave）有时候称为本地振荡器（LO）信号、混频信号（mixing signal）或外差信号（heterodyne signal）。通常载波频率要远远大于基带信号的带宽，即
$$f_c\gg f_m$$  比较图 1.14 中基带信号带宽 $f_m$和要传送的 DSB 信号带宽 $W_{\text{DSB}}$，有
$$W_{\text{DSB}}=2f_m$$这说明传送 DSB 信号所需的带宽是传送其基带信号所需带宽的 $2$ 倍。

7.2 带宽问题

  在通信和信息理论中，许多重要定理都是基于带宽严格受限（strictly bandlimited）信道这个假设的，这表明在定义的带宽之外不能有信号功率。但带宽严格受限信号，例如图 1.15b 所示的频谱 $\left|X_1\left(f\right)\right|$ 是不可实现的，因为由图 1.15a 的 $x_1\left(t\right)$（$X_1\left(f\right)$ 的傅里叶反变换）可以看出，信号的持续时间是无限的。图 1.15c 的 $x_2\left(t\right)$ 是持续时间有限的信号，显然该信号是可实现的，但由于其傅里叶变换分布于任意频率上，如图 1.15d 的频谱 $\left|X_2\left(f\right)\right|$ 所示，因而也是不可行的。总之，所有带宽有限的信号都是无法实现的，而所有可实现的波形其绝对带宽又是无限的。实信号的数学描述不可能既是持续时间有限，又是带宽有限，因此，其数学模型是抽象的，没有关于信号带宽的统一的定义也就不足为奇了。

图1.15 带宽严格受限信号、时间严格受限信号的时域、频域表示

图1.16数字数据的带宽

  所有的带宽标准都试图指明带宽 $W$ 的测度，此带宽定义在所有的频率 $\left|f\right|<\infty$ 上，具有非负实功率谱密度。图 1.16 给出了一些常用的带宽定义，这些标准一般是不能交换使用的。单个差拍脉冲 $x_c\left(t\right)$ 的单边带功率谱密度具有如下解析形式：
$$G_x\left(f\right)=T{\left[\frac{\sin \pi \left(f-f_c\right)T}{\pi \left(f-f_c\right)T}\right]}^2$$其中，$f_c$ 是载波频率，$T$ 为脉冲持续时间。此功率谱密度如图 1.16 所示，假定所取的平均时间，相对于脉冲持续时间而言比较长，那么图 1.16 也可以描述为随机脉冲序列（random pulse sequence）。图中有一个主瓣和一些小的对称旁瓣，大多数数字调制方式产生的波形形状大致如此，但有些调制方式产生的波形没有明显的波瓣。以下是图 1.16 中的几种带宽定义：

• (a)半功率带宽（half-power bandwidth）：指 $G_x\left(f\right)$ 的功率下降到峰值的 $\frac{1}{2}$，或比峰值下降 $3\text{ dB}$的两频率点之间的间隔。
• (b)等效矩形或等效噪声带宽（equivalent rectangular or noise equivalent bandwidth）：等效噪声带宽概念的出现，最初是为了从具有宽带噪声输入的放大器中快速计算输出噪声功率，这个概念也可以推广到信号带宽。信号的等效噪声带宽 $W_N$ 定义为 $W_N=\frac{P_x}{G_x\left(f_c\right)}$，其中 $P_x$ 是所有频率上的信号总功率，$G_x\left(f_c\right)$ 是 $G_x\left(f\right)$ 在带宽中心点的值（假设该值是最大值）。
• (c)零点到零点带宽（null-to-null bandwidth）：数字通信最通用的带宽定义是主瓣宽度，在该频带上包含了大部分信号功率。但这个定义不适用于没有明显波瓣的调制方式。
• (d)部分功率保留带宽（fractional power con tainment bandwidth）：这个带宽定义已被联邦通信委员会 FCC 采纳， 此带宽定义要求在正截止频率以上和负截止频率以下各留 $0.5\%$ 的信号功率， 因此该带宽内包含了 $99\%$ 的信号功率。
• (e)有界功率谱密度（bounded power spectral density）：该定义指在确定带宽之外的任意频率处， $G_x\left(f\right)$ 必须比带宽中心点的值低一个确定数，典型的衰减电平值为 $35\text{ dB}$ 或 $50\text{ dB}$。
• (f)绝对带宽（absolute bandwidth）：指在该带宽之外的频谱全为零的频率间隔。该定义在理论上很有用，但对于可实现信号，绝对带宽为无穷大。

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8. 小结

  本文定义了一些数字通信中的一些基本术语，引入了时变信号的基本概念，如分类、频谱密度自相关等，分析了随机信号，并从统计特性和频谱分布两个角度分析了通信系统的主要噪声模型——高斯白噪声； 最后讨论了信号通过线性系统的性质，并给出了理想滤波器的几个可实现的逼近。绝对带宽是很抽象的概念，在实际系统中要根据具体应用选择合适的带宽定义。后续将会以最开始的典型系统方框图为主线，详细分析前面介绍的各个信号处理流程。