概率论中常见分布的数学期望、方差及特征函数推导 （一）离散型随机变量

1.单点分布

随机变量的取值，X=a(常数)
分布律：P(X=a)=1
X只取一个值，可以看成确定变量。

2.两点分布

随机变量的取值，X=k，k=0，1
E(X)=p
$Var(X)=E(X^2)-(EX{)}^2=p-p^2=pq$
$\phi (t)=E{e}^{itX}=q+e^{it}p$

3.二项分布

$X\sim b(n,p)$

随机变量的取值，X=k，k=0，1,……,n
$$分布律：P(X=k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$$
$$E(X)=\sum _{k=0}^{n}k{C}_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$$
$$=\sum _{k=1}^n\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}{p}^k(1-p{)}^{n-k}$$
$$=np\sum _{k=1}^n\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}{p}^{k-1}(1-p{)}^{(n-1)-(k-1)}$$
$$=np\sum _{k=0}^{n-1}\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}{p}^k(1-p{)}^{(n-1)-k},(变量平移)$$
$$=np\sum _{k=0}^{n-1}{C}_{n-1}^k{p}^k(1-p{)}^{(n-1)-k}$$
$$=np(p+1-p{)}^{n-1}=np$$
$$E(X^2)=\sum _{k=0}^n{k}^2{C}_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}，(k与组合数约去一个)$$
$$=\sum _{k=1}^n(k-1+1)\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}{p}^k(1-p{)}^{n-k}，（把剩下的另一个k拆分）$$
$$=\sum _{k=1}^n\frac{n!}{(k-2)!(n-k)!}{p}^k(1-p{)}^{n-k}+E(X)$$
$$=n(n-1)p^2\sum _{k=1}^n\frac{n!}{(k-2)!(n-k)!}{p}^{k-2}(1-p{)}^{(n-2)-(k-2)}+np$$
$$=n(n-1)p^2(p+(1-p){)}^{n-2}+np$$
$$=n(n-1)p^2+np$$
故，$$Var(X)=E(X^2)-(EX{)}^2$$
$$=n(n-1)p^2+np-(np{)}^2$$
$$=npq$$
$$\phi (t)=E{e}^{itX}=\sum _{k=0}^n{e}^{itk}{C}_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$$
$$=\sum _{k=0}^n{C}_n^k(e^{it}p{)}^k(1-p{)}^{n-k}$$
$$=(1-p+p{e}^{it}{)}^n$$
$$=(q+p{e}^{it}{)}^n$$

4.泊松分布

$X\sim P(\lambda )$

随机变量的取值，X=k，k=0，1,2,……

$$分布律：P(X=k)=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }$$
$$EX=\sum _{k=0}^{\infty }k\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }$$
$$=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{{\lambda }^k}{(k-1)!}{e}^{-\lambda }=\lambda \sum _{k=0}^{\infty }\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda },(变量作平移改变积分项的起始项，再由正则性\sum _{k=0}^{\infty }\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }=1)$$
$$=\lambda$$
$$E{X}^2=\sum _{k=0}^{\infty }{k}^2\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }$$
$$=\sum _{k=1}^{\infty }(k-1+1)\frac{{\lambda }^k}{(k-1)!}{e}^{-\lambda },(处理方法同二项分布，约去一个k，另一个k拆分)$$
$$=\sum _{k=2}^{\infty }\frac{{\lambda }^k}{(k-2)!}{e}^{-\lambda }+EX$$
$$={\lambda }^2\sum _{k=0}^{\infty }\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }+\lambda ,(变量平移，正则性)$$
$$={\lambda }^2+\lambda$$
故，$$Var(X)=E(X^2)-(EX{)}^2$$
$$={\lambda }^2+\lambda -{\lambda }^2=\lambda$$
$$\phi (t)=E{e}^{itX}=\sum _{k=0}^{\infty }{e}^{itk}\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }$$
$$=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(e^{it}\lambda {)}^k}{k!}{e}^{-\lambda }$$
$$=e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(e^{it}\lambda {)}^k}{k!},(利用幂级数展开式e^x=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{x^k}{k!})$$
$$=e^{-\lambda }{e}^{\lambda e^{it}}=e^{\lambda (e^{it}-1)}$$

5.超几何分布

$X\sim h(n,N,M)$
N件产品，其中M件不合格品，从中抽取n件，则抽到不合格品的个数服从超几何分布

随机变量的取值X=k，k=0,1，2，……r,(其中r=min{n，M})
$$P(X=k)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{M}{k}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-M}{n-k}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n}\right)}$$
当$n\ll N$时，可用二项分布近似，故数字特征用二项分布近似（待更新其精确的数字特征）

6.几何分布

$X\sim Ge(p)$

随机变量的取值：X=k，k=1,2,……

分布律：$P(X=k)=p(1-p{)}^{k-1}$

$$EX=\sum _{k=1}^{\infty }kp{q}^{k-1}=p\sum _{k=1}^{\infty }k{q}^{k-1}$$

$$=p\sum _{k=1}^{\infty }\frac{d{q}^k}{dq}(凑微分)$$

$$=p\frac{d}{dq}(\sum _{k=0}^{\infty }{q}^k)，(幂级数逐项微分,积分限从0开始)$$

$$=p\frac{d}{dq}(\frac{1}{1-q}),(收敛的等比级数求和，\frac{首项}{1-公比})$$

$$=\frac{p}{(1-q{)}^2}=\frac{1}{p}$$

$$E{X}^2=\sum _{k=1}^{\infty }{k}^{2}p{q}^{k-1}$$

$$=p\sum _{k=1}^{\infty }k(k-1+1)q^{k-1}$$
$$=p\sum _{k=1}^{\infty }k(k-1)q^{k-1}+EX$$
$$=pq\sum _{k=2}^{\infty }k(k-1)q^{k-2}+\frac{1}{p}$$
$$=pq\sum _{k=2}^{\infty }\frac{d^2{q}^k}{d{q}^2}+\frac{1}{p}$$
$$=pq\frac{d^2}{d{q}^2}（\sum _{k=0}^{\infty }{q}^k）+\frac{1}{p}$$
$$=pq\frac{d^2}{d{q}^2}(\frac{1}{1-q})+\frac{1}{p}$$
$$=pq\frac{2}{(1-q{)}^3}+\frac{1}{p}$$
$$=\frac{2q+p}{p^2}$$

故，$$Var(X)=E(X^2)-(EX{)}^2$$
$$=\frac{2q+p}{p^2}-\frac{1}{p^2}=\frac{q}{p^2}$$

$$\phi (t)=E{e}^{itX}=\sum _{k=1}^{\infty }{e}^{itk}p(1-p{)}^{k-1}$$
$$=\frac{p}{1-p}\sum _{k=1}^{\infty }(e^{it}(1-p){)}^k$$
$$=\frac{p}{1-p}\{\sum _{k=0}^{\infty }(e^{it}(1-p){)}^k-1\}$$
$$=\frac{p}{1-p}(\frac{1}{1-e^{it}(1-p)}-1)$$
$$=\frac{p{e}^{it}}{1-q{e}^{it}}$$

6.负二项分布

$X\sim Nb(r,p)$
定义1：在一系列伯努利独立重复试验中，记每次试验中事件A发生的概率为p，如果X表示事件A第r次（r为事先给定的常数）出现时所需要的试验总次数，则X服从负二项分布。

随机变量X的取值，X=k，k=r,r+1,r+2，……$\infty$

此时X可表示为r个独立同为几何分布的独立和。
即$X=X_1+X_2+\dots \dots +X_r\sim Nb(r,p),$
其中$X_i\sim Ge(p),且X_i独立。$
则由数学期望的性质：

$$EX=E(X_1+X_2+\dots \dots +X_r)$$
$$=rE{X}_1=\frac{r}{p}$$
$$Var(X)=Var(X_1+X_2+\dots \dots +X_r)$$
$$=rVar(X_1)=\frac{rq}{p^2}$$
有特征函数的性质，$\phi (t)=E{e}^{itX}$
$$=E{e}^{it（X_1+X_2+\dots \dots +X_r）}$$
$$=(E{e}^{it{X}_1}{)}^r=(\frac{p{e}^{it}}{1-q{e}^{it}}{)}^r$$

（待更新超几何分布和负二项分布期望和方差的定义求法)

参考文献：茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2004，3.